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Matrices: Definición, Tipos, Operaciones y Ejemplos, Diapositivas de Cálculo

Escuela Superior de Diseño de Aragón - ESDACálculo

Documento que presenta la definición de una matriz, sus tipos y operaciones básicas, como la suma y el producto. Además, incluye un ejemplo de una matriz y su matriz opuesta, traspuesta y determinante.

Tipo: Diapositivas

2021/2022

Subido el 10/10/2022

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¡No te pierdas las partes importantes!

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Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 1
Matrices y Determinantes para Matemáticas II.
2n BAT
* Definición de matriz
* Tipos de matrices
* Operaciones con matrices
* Matriz inversa
* Rango de una matriz
* Determinante de una matriz
* Propiedades
* PROBLEMAS RESUELTOS
* TEST DE COMPRENSIÓN
Prof. Ximo Beneyto
IES Sant Blai
Alacant
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¡Descarga Matrices: Definición, Tipos, Operaciones y Ejemplos y más Diapositivas en PDF de Cálculo solo en Docsity!

Matrices y Determinantes para Matemáticas II.

2n BAT

* Definición de matriz

* Tipos de matrices

* Operaciones con matrices

* Matriz inversa

* Rango de una matriz

* Determinante de una matriz

* Propiedades

* PROBLEMAS RESUELTOS

* TEST DE COMPRENSIÓN

Prof. Ximo Beneyto

IES Sant Blai

Alacant

MATRICES

MATRIZ

A lo largo del tema tomaremos como cuerpo (K, +, ·), el cuerpo de los números reales (ú , +, ·), a los números que forman la matriz les llamaremos "entradas" o simplemente "elementos de la matriz", en nuestro caso serán números reales.

NOTACIÓNNOTACIÓNNOTACIÓNNOTACIÓN

Al conjunto de las matrices de "m" filas y "n" columnas, con elementos reales le llamamos Mmxn (ú) o simplemente Mmxn. Cuando m=n, decimos que la matriz es CUADRADA, notamos Mn. Las matrices vienen representadas habitualmente por letras mayúsculas A, B, C, etc. y cuando hacemos mención a sus elementos, notaremos A = ( aij ) i = 1,2,..m ; j = 1,2,..,n. Donde "i" indica el número de la fila y "j" número de la columna que ocupa el elemento..

Al producto indicado ("x") del número de filas por el número de columnas le llamamos DIMESIOES o TAMAÑO de la matriz, y al elemento de la misma que ocupa la posición: fila "i" columna "j" le representamos por aij.

Ejemplo: A =

0 0 0 4×
COLUMAS
FILAS

a 11 a 12 a 13 ··· a 1 n a 21 a 22 a 23 ··· a 2 n a 31 a 32 a 33 ··· a 3 n !! !! !!!! !!!! !!!! !!!! am1 am2 am3 ··· amn

Definición:

Llamamos matriz, a una tabla rectangular de m · n elementos de un cuerpo (K, +, ·),
dispuestos en filas y columnas, de la siguiente forma:

Ejemplo: A =

(^5 4) x

; B =

(^5 5) x

son matrices columna.

3.-MATRIZ ULA
Llamamos matriz nula mxn, a una matriz cuyos elementos son todos ceros, la
representamos por Omxn.

Ejemplo:

Es la matriz nula 3 x

4.- MATRIZ OPUESTA
Llamamos matriz opuesta de una matriz A y notamos - A, a la matriz que obtenemos
cambiando de signo todos los elementos de A. Si A = ( aij ) Y
  • A = ( -aij )

Ejemplo: Si A = 1 2 3 & 4 & 5 & 6 su matriz opuesta es & A = -1^ -2^ - 4 5 6

Ejemplo: A '

es una matriz cuadrada de orden 3. A 0 M 3

5.- MATRIZ TRASPUESTA
Llamamos matriz traspuesta de una matriz A y notamos At^ , a la matriz que
obtenemos cambiando filas por columnas en la matriz A. Si A = ( aij ) Y
At^ = ( aji )
5.1.- Propiedades de la trasposición de matrices:
i) (At)t^ = A
ii) ( A + B)t^ = At^ + Bt
iii) ( A · B )t^ = Bt^ · At^ ( Si el producto A·B está definido )
iv) (a · A)t^ = a · At, a0ú0ú0ú0ú
Ejemplo: Si A =
la matriz traspuesta A t^ =

Observa, que al trasponer una matriz, los elementos de la diagonal principal quedan invariables

6.- MATRIZ CUADRADA
Llamamos matriz cuadrada, a una matriz que tiene el mismo número
de filas que columnas. Al número de filas o columnas de una matriz
cuadrada se le llama ORDE de la matriz.

Ejemplo: A '

es una matriz TRIA)GULAR SUPERIOR.

6.4 MATRIZ DIAGOAL
Una matriz cuadrada A 0 Mn es diagonal, si todos sus elementos son
nulos excepto, tal vez, los situados en la diagonal principal.

Ejemplo: A '

es una matriz diagonal.

6.5 MATRIZ UIDAD
Llamamos matriz unidad de orden n y notamos In, a la matriz diagonal,
cuya diagonal está formada por unos.

Ejemplo: A '

es la matriz unidad de orden 3.

6.6 MATRIZ REGULAR
Una matriz cuadrada A 0 Mn, es regular, si su determinante es distinto de
cero.
A 0 Mn es regular si det(A) … 0.
[Las matrices regulares tienen gran importancia en el estudio matricial y sus
aplicaciones, al ser las únicas que admiten matriz inversa ]

Ejemplo: A '

es una matriz regular ( det (A) ' 1 Y … 0 ).

6.7 MATRIZ SIGULAR
Una matriz cuadrada A 0 Mn, es singular, si su determinante es cero.
A 0 Mn es singular si det(A) = 0.

Ejemplo: A '

es una matriz singular ( det (A) ' 0 )

6.10 MATRICES SEMEJATES

Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden, A,B, decimos que A y B son SEMEJATES, si existe una matriz regular P / B = P-1^ · A · P.

Propiedades: Si A y B son matrices SEMEJATES YYYY
i) Tienen el mismo determinante.
ii) Tienen el mismo rango.
iii) Tienen el mismo polinomio característico.
Ejemplo:
Sea B '
6 A '
es SEMEJA)TE a B
pues existe la matriz P '
Tal que B ' P &^1 · A · P
6.11 MATRIZ ADJUTA

Dada una matriz A, llamamos matriz adjunta de A, y notamos adj(A), a la matriz que obtenemos reemplazando cada elemento de la matriz A , por el determinante que resulta de suprimir la fila y la columna en la que se encuentra el elemento aij , multiplicado por (-1)i+j. Notamos Aij al adjunto de aij en la matriz A.

Ejemplo: Sea A '

1 6 3 0 1 3 & 1 1 0

Y adj(A)'

& 3 & 3 1 3 3 & 7 15 & 3 1

ADJU)TOS:

A 11 ' (&1)^1 %^1 / (^00) 0

/ (^00) 0

1 3 1 0 ' &3 ;^ A^12 '^ (&1)

1 % (^2) / 0 00 /^000

0 3 & 1 0 ' &3 ;^ A^13 '^ (&1)

1 % (^3) / 0 00 /^000

0 1 & 1 1 '^1

A 21 ' (&1)^2 %^1 / (^00) 0

/ (^00) 0

6 3 1 0 '^ 3 ;^ A^22 '^ (&1)

2 % (^2) / 0 00 /^000

1 3 & 1 0 '^ 3 ;^ A^23 '^ (&1)

2 % (^3) / 0 00 /^000

1 6 & 1 1 ' &7 ;

A 31 ' (&1)^3 %^1 / (^00) 0

/ (^00) 0

6 3 1 3 '^ 15 ;^ A^32 '^ (&1)

3 % (^2) / 0 00 /^000

1 3 0 3 ' &3 ;^ A^33 '^ (&1)

3 % (^3) / 0 00 /^000

1 6 0 1 '^1

En particular, empleando esta matriz, podemos definir la matriz inversa A-1^ = adj(A)/det(A), como veremos más adelante.

OPERACIONES CON MATRICESOPERACIONES CON MATRICESOPERACIONES CON MATRICESOPERACIONES CON MATRICES

A lo largo de este punto, vamos a DEFINIR las operaciones en el conjunto de las
matrices de "m" filas y "n" columnas, Mmxn, con elementos en el cuerpo (ú, +, ·).
1. SUMA DE MATRICES

Sean A = ( aij ) 0 Mmxn y B = ( bi j ) 0 Mm x n , definimos la SUMA DE MATRICES A + B, a la matriz A+B = ( aij + bij ) 0000 Mmxn.

Es decir, la suma de dos matrices se efectúa sumando los elementos de ambas matrices situados en la misma posición. Obviamente, solo podemos sumar entre sí matrices EQUIDIMENSIONALES.

  1. DISTRIBUTIVA DE LA SUMA E úúúú RESPECTO DEL PRODUCTO DE U UMERO POR UA MATRIZ ( a + b ) · A = a · A + b · A œ A 0 Mmxn y œ a , b 0 ú
  2. ASOCIATIVIDAD MIXTA .. a · ( b · A ) = ( a · b ) · A œ A 0 Mmxn y œ a , b 0 ú
  3. EUTRALIDAD.. 1 · A = A œ A 0 Mmxn y 1 0 ú Por consiguiente, si consideramos las propiedades de la ley de composición interna (SUMA DE MATRICES) junto con las de la ley de composición externa ( PRODUCTO DE U ÚMERO REAL POR UA MATRIZ ) obtenemos que el conjunto de las matrices de m filas y n columnas tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL REAL. ( Mmxn(úúúú) , + , · ) tiene estructura de Espacio Vectorial Real

À Condición para poder multiplicar A · B nº de COLUM)AS de A ' nº de FILAS de B

a 11 a 12 a 13 ... a 1 n a 21 a 22 a 23 ..... a 2 n .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. am1 am2 am3 ... amn

·

b 11 b 12 b 13 ... b 1 p b 21 b 22 b 23 ..... b 2 p .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. bn1 bn2 bn3 ... bnp

'

'

n j' 1 a 1 jbj1 '

n j' 1 a 1 jbj2 ..... '

n j' 1 a 1 jbjp

'

n j' 1 a 2 jbj1 '

n j' 1 a 2 jbj2 ... '

n j' 1 a 2 jbjp .. .. ... .. .. .. ... .. '

n j' 1 amjbj1 '

n j' 1 amjbj2 ... '

n j' 1 amjbjp

3. PRODUCTO DE MATRICES

Dos matrices cualesquiera A, B no siempre se pueden multiplicar, debemos imponer unas condiciones dimensionales para que el producto de las mismas sea factible. Dos matrices: A 0 Mmxn , A = ( aij ) y B 0 Mnxp , B = ( bjk ) , se pueden multiplicar en este orden ,si la matriz A tiene el mismo número de columnas que filas tiene B En este caso definimos el producto de matrices: A·B (En este orden ), de la siguiente forma:

Ejemplo: Sean las matrices :

A ' 1 2
B '
A · B ' 1 2
B · A '

Observamos que son matrices distintas.

Por tanto A · B … B · A

Observa, que en el ejemplo anterior, el producto B·A no se podría hallar. El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir, aunque se puedan multiplicar A·B y B·A, el resultado no siempre es el mismo. En particular, cuando tomamos el producto de matrices sobre Mn, es decir, matrices CUADRADAS, todas las matrices se pueden multiplicar entre sí, cumpliéndose las propiedades:

I. PROPIEDAD ASOCIATIVA (A · B) · C = A · (B · C) œœœœ A, B, C 0000 Mn II. ELEMETO EUTRO œœœœ A 0000 Mn, ›››› I 0000 Mn / A · I = I · A = A

Y junto con la suma de matrices definida anteriormente:

I. DISTRIBUTIVA DE LA SUMA RESPECTO DEL PRODUCTO (A+B)·C = A·C+B·C œ A, B, C 0 Mn II. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA A·(B + C) = A·B + A·C œ A, B, C 0 Mn Que junto con las propiedades que ya conocemos de la SUMA DE MATRICES: ( Mn, + , · ) tiene estructura de AILLO UITARIO y no COMUTATIVO. [ No debes confundir el producto (·) de Matrices con el producto por un número real (·), a pesar de que empleemos el mismo símbolo].

POTECIA n.SIMA DE UA MATRIZ Como aplicación del producto de matrices, dada una matriz cuadrada, A, podemos hallar potencias sucesivas de la misma multiplicando por sí misma esta matriz tantas veces como

Proceso
de Inversa
1.& Trasponer. ( Hallar A t^ )
2.& Adjunta. (Hallar la adjunta de la traspuesta ¡ Ojo con los signos! )
3.& Dividir por el Determinante.

Podemos establecer, pues, el proceso de cálculo de la matriz inversa

MATRIZ IVERSA
Dada una matriz regular ( det(A) … 0 ), A 0000 Mn, decimos que A es una matriz
INVERTIBLE ( o que tiene matriz inversa), si existe una matriz A-1^0000 Mn, :
/ A · A-1^ = A-1^ · A = In.
Para obtener la matriz A-1, hay varios procedimientos ( Método de Gauss, Lange-
Gale, etc. ), en este apartado , vamos a obtener la matriz inversa tal como
definimos en la introducción.

A &^1 ' adj^ (A^

t) det(A)

Inversa = Adjunta de la traspuesta dividida por el determinante.
En la práctica consideraremos invertibles aquellas matrices cuyo
determinante sea distinto de cero (Matrices regulares).

Ejemplo: Hallar la matriz inversa de :

; det(A) ' & 4

Traspuesta '

Adjunta '

Á
1 1 &/^000 /^000
3 1 /^000 /^000
2 0 /^000 /^000
A &^1 '
2 &^

Comprobamos el resultado :

Resolviendo una ecuación matricial con la matriz inversa

RAGO DE UA MATRIZ
Llamamos rango de una matriz dada A 0000 Mmxn, al número de vectores fila/columna
linealmente independientes que forman parte de la matriz. Notaremos el RANGO
de una matriz A:
Rang(A), Rg(A), R(A). En lo sucesivo emplearemos Rang(A).
Propiedades:
i. El RAGO de una matriz no varía si a una fila/columna le sumamos otra
u otras filas/columnas multiplicadas por constantes.
ii. El RAGO de una matriz no varía si cambiamos sus filas por sus columnas
( Rango (A) = Rango (At) )
iii. El RAGO de una matriz es el ORDE DEL MAYOR MEOR no nulo
de la matriz A.
iv. El RAGO de una matriz no varía si suprimimos una fila/columna de
ceros.
v. El RAGO de una matriz no varía si suprimimos una fila/columna que sea
combinación lineal de otras filas/columnas.

Ejemplos: De una forma intuitiva podemos establecer el Rango de estas matrices :

A '

6 Rang(A) ' (^1) Linealmente IndependienteHay una única fila

B '

6 Rang(B) ' 3 ( Las tres filas son Independientes. )

C'

6 Rang(C) ' 0

MÉTODOS DE CALCULO DEL RAGO DE UA MATRIZ
  1. Método del PIVOTE
  2. Método de MENORES ORLADOS
1) MÉTODO DEL PIVOTE1) MÉTODO DEL PIVOTE1) MÉTODO DEL PIVOTE1) MÉTODO DEL PIVOTE

Utilizando las propiedades mencionadas más arriba, el método del pivote consiste en ir efectuando transformaciones elementales en las filas de la matriz mediante combinaciones lineales entre ellas para conseguir una matriz más sencilla del mismo rango. De forma práctica, haremos ceros los elementos de la matriz situados por debajo de la diagonal principal, pivotando sobre los elementos a 11 , a22, así sucesivamente.

El Rango de la matriz será el número de filas con algún elemento no nulo una vez finalizado e interpretado el proceso.

No hay prácticamente limitaciones al establecimiento de combinaciones lineales entre filas/columnas, salvo multiplicar o dividir por cero, aunque tomaremos el mismo consejo del cálculo de determinantes : Efectuar una transformación muy ordenada de la matriz por filas y empezando por la primera. Eso sí, tantas veces como haga falta, podemos permutar la posición de las filas, sin alterar el valor del RANGO de la matriz.