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Matrices y determinantes
LOGRO DE LA SESIÓN DE CLASE: Al finalizar la sesión, el estudiante analiza y aplica el concepto de matrices,
operaciones con matrices y determinantes en la resolución de ejercicios, mostrando responsabilidad y
capacidad de aprender por su propia cuenta.
CONTENIDOS
MOTIVACIÓN
1. Matrices - Definición - Orden de una matriz - Matriz por extensión - Tipos de matrices - Traspuesta de una matriz 2. Operaciones con matrices - Suma de matrices - Multiplicación de una matriz por un escalar - Multiplicación de matrices 3. Determinantes - Definición - Determinante de orden 2 × 2 y 3 × 3 4. Practiquemos en clase - Ejercicios 5. Practiquemos más en casa - Ejercicios 6. Respuestas
MOTIVACIÓN
Una matriz es simplemente un conjunto rectangular de números. Las matrices se usan para organizar
información en categorías que corresponden a las filas y columnas de la matriz. Por ejemplo, un científico podría
organizar información sobre una población de ballenas en peligro como sigue:
Ésta es una forma compacta de decir que hay 12 machos inmaduros, 15 hembras inmaduras, 18 machos adultos,
etc.
En general las matrices son de suma importancia en las ciencias, como la ingeniería, la economía y otras ciencias
aplicadas. Son útiles para representar datos en forma ordenada, para modelar problemas y resolver sistemas de
ecuaciones lineales, para indicar las interrelaciones que existen en los diferentes sectores de la economía (Matriz
Insumo – Producto), entre otras aplicaciones.
1. MATRICES
Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números reales, ordenados en filas y columnas.
❖ Generalmente las matrices se escriben de la forma: 𝐴 = [𝑎
𝑖𝑗
]
𝑚×𝑛
Donde: 𝑎
𝑖𝑗
indica la posición 𝑖- ésima fila con la 𝑗- ésima columna de sus elementos, por ejemplo: 𝑎
21
nos
indica la posición fila 2 - columna 1.
𝑚 × 𝑛: Nos indica el orden de la matriz, es decir, 𝑚 filas y 𝑛 columnas (manteniendo el orden “primero las
filas y luego las columnas”)
❖ Las matrices se denotan con letras mayúsculas, por ejemplo, 𝐴, 𝐵, etc.
❖ Si el número de filas es igual al número de columnas, es decir 𝑚 = 𝑛, las matrices reciben el nombre de
matrices cuadradas.
El orden de una matriz es el número de filas por el número de columnas que tiene dicha matriz, y se representa
por 𝑚 × 𝑛.
Ejemplo 1 : La matriz 𝐴 = [
] es de orden 2 × 3 porque hay 2 filas y 3 columnas. Además, por ejemplo,
el valor en la posición 𝑎 12
es 5.
[
𝟏𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝒏
𝟐𝟏
𝟐𝟐
𝟐𝒏
𝒎𝟏
𝒎𝟐
𝒎𝒏
]
𝑚 filas
𝑛 columnas
Orden 𝑚 × 𝑛
Ejemplo 3 : Sea la matriz 𝐴 = [
] entonces 𝐴
𝑇
= [
]
Igualdad de matrices: Las matrices 𝐴 = [𝑎 𝑖𝑗
] y 𝐵 = [𝑏
𝑖𝑗
] son iguales si y solo si tienen el mismo orden 𝑚 × 𝑛 y
𝑖𝑗
𝑖𝑗
para 𝑖 = 1 , 2 , ⋯ , 𝑚 y 𝑗 = 1 , 2 , ⋯ , 𝑛
Ejemplo 4: Las matrices [
] = [
] son iguales si 𝑎 = 3 y 𝑏 = − 5.
2. OPERACIONES CON MATRICES
Sean las matrices 𝐴 = [𝑎 𝑖𝑗
] y 𝐵 = [𝑏
𝑖𝑗
] de orden 𝑚 × 𝑛, la suma de la matriz 𝐴 y 𝐵 es otra matriz 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 de
orden 𝑚 × 𝑛, definida por 𝐶 = [𝑐 𝑖𝑗
] , donde 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 = [𝑎
𝑖𝑗
𝑖𝑗
]. Esto es:
𝐴 + 𝐵 = [𝑎
𝑖𝑗
𝑖𝑗
] = [
11
21
𝑚 1
11
21
𝑚 1
12
22
𝑚 2
12
22
𝑚 2
1 𝑛
2 𝑛
𝑚𝑛
1 𝑛
2 𝑛
𝑚𝑛
]
Observación: Solo se suman matrices del mismo orden.
Ejemplo 4 : Sean las matrices 𝐴 = [
] y 𝐵 = [
] calcule 𝐴 + 𝐵
Solución:
Como en orden de las matrices son iguales entonces podemos sumar o restar.
𝐴 + 𝐵 = [
] + [
] = [
]
- Multiplicación de una matriz por un escalar.
Sea la matriz 𝐴 = [𝑎 𝑖𝑗
] de orden 𝑚 × 𝑛 y sea 𝑘 un número real. El producto del número 𝑘 por la matriz 𝐴 es otra
matriz de orden 𝑚 × 𝑛 y se denota por 𝑘𝐴 = [𝑘𝑎
𝑖𝑗
]
Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplica el número 𝑘 por cada uno de los elementos de la
matriz 𝐴.
𝑘𝐴 = 𝑘[𝑎
𝑖𝑗
] = [
11
12
1 𝑛
21
22
2 𝑛
𝑚 1
𝑚 2
𝑚𝑛
] = [𝑘𝑎
𝑖𝑗
]
Ejemplo 5 : Sea la matriz 𝐴 = [
] calcule 3 𝐴
Solución: 𝟑𝐴 = 3 [
] = [
]
- Multiplicación de matrices
Sea la matriz 𝐴 = [𝑎 𝑖𝑗
] de orden 𝑚 × 𝑟 y la matriz 𝐵 = [𝑏
𝑖𝑗
] de orden 𝑟 × 𝑛. Entonces el producto de 𝐴 y 𝐵, es
la matriz 𝐶 = [𝑐 𝑖𝑗
] de orden 𝑚 × 𝑛, tal que:
𝐴𝐵 = [𝑎
𝑖𝑗
][𝑏
𝑖𝑗
] = [
11
12
1 𝑟
21
22
2 𝑟
𝑚 1
𝑚 2
𝑚𝑟
] [
11
12
1 𝑛
21
22
2 𝑛
𝑟 1
𝑟 2
𝑟𝑛
]
El producto 𝑨𝑩 = [𝒄 𝒊𝒋
] es la matriz de orden 𝒎 × 𝒏 , donde cada 𝒄
𝒊𝒋
es el resultado de multiplicar la 𝒊 - ésima
fila de la primera matriz con la 𝒋 - ésima columna de la segunda matriz.
Observación
Dos matrices 𝐴 𝑛×𝑟
y 𝐵
𝑟×𝑚
se pueden multiplicar si y sólo si el número de columnas de la matriz 𝐴 es igual al
número de filas de la matriz 𝐵 y el resultado es una matriz 𝐶 𝑛×𝑚
𝑛×𝑟
× 𝐵
𝑟×𝑚
𝑛×𝑚
En general, 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 (respetar el orden de las matrices).
Ejemplo 6 : Dadas las matrices 𝐴 = [
] y 𝐵 = [
] entonces:
𝐴𝐵 = [
] [
] = [
]
Recuerde que para hallar cada elemento de la matriz producto, se multiplica las filas por las columnas , es decir:
11
12
21
22
Ejemplo 7 : Sean las matrices 𝑀 = [
], 𝑁 = [𝑛
𝑖𝑗
]
3 × 2
con 𝑛
𝑖𝑗
y 𝑅 = [
]
a. Determine por extensión la matriz N.
b. Calcule 𝑁
𝑇
− 2 𝑀 y 𝐼
3
− 4 𝑅 si existe, donde 𝐼
3
es una matriz identidad de orden 3 x 3.
c. Calcule 𝑀𝑁 si existe.
Solución:
a. Como la matriz 𝑁 está dada por: 𝑁 = [𝑛
𝑖𝑗
]
3 × 2
, entonces
𝑁 = [
11
12
21
22
31
32
] = [
] = [
]
b. La traspuesta de 𝑁 está dado por:
𝑇
= [
]
31
32
33
𝐴𝐵 = [
]. [
] = [
]
Por lo tanto, obtenemos el producto de matrices
𝐴𝐵 = [
]
b. La traspuesta de 𝐴 está dado por:
𝑇
= [
]
Como las matrices 𝐴
𝑇
y 𝐵 son del mismo orden 3 × 3 entonces existe la matriz 𝐴
𝑇
Además
3 𝐵 = 3 [
] = [
],
Por lo tanto, obtenemos 𝐴
𝑇
𝑇
− 3 𝐵 = [
] − [
] = [
]
Ejemplo 9 : Dada las matrices 𝐴 = [𝑎
𝑖𝑗
]
2 × 2
con 𝑎
𝑖𝑗
𝑖
𝑗
y la matriz 𝐵 = [
] calcule 𝑎 y 𝑏, si se
cumple que 𝐴 = 𝐵.
Solución:
La matriz 𝐴, está dada por: 𝐴 = [𝑎
𝑖𝑗
]
2 × 2
entonces
𝐴 = [
11
12
21
22
] = [
1
1
1
2
2
1
2
2
]
Obtenemos la matriz 𝐴
𝐴 = [
]
Como 𝐴 = 𝐵, se tiene que:
[
] = [
]
Entonces:
Por lo tanto, resolviendo el sistema, se tiene que 𝑎 = 1 y 𝑏 = − 2.
3. DETERMINANTES
Definición:
Si 𝐴 es una matriz de orden 𝑛 × 𝑛 entonces la función determinante asocia con 𝐴 exactamente un número
real llamado determinante de 𝐴. Se denota el determinante con
o det 𝐴.
11
] es una matriz de orden 1 × 1 entonces |𝐴| = 𝑎
11
Por ejemplo:
11
12
21
22
] es una matriz de orden 2 × 2 entonces
11
22
12
21
Por ejemplo:
- Para calcular el determinante de una matriz de orden 3 × 3 o más, usaremos el método de menores y
cofactores.
Definición:
Sea 𝐴 una matriz de orden 𝑛 × 𝑛 (𝑛 > 2 ). El determinante de 𝐴, expresado como
o det 𝐴 es la suma
de las entradas de cualquier fila o cualquier columna multiplicada por sus respectivos cofactores 𝐴
𝑖𝑗
, es
decir:
Si 𝐴 = [𝑎
𝑖𝑗
] = [
11
12
1 𝑛
21
22
2 𝑛
𝑛 1
𝑚 2
𝑛𝑛
] entonces 𝑑𝑒𝑡(𝐴) =
𝑖 1
𝑖 1
𝑖 2
𝑖 2
𝑖𝑛
𝑖𝑛
Donde:
❖ El cofactor 𝐴
𝑖𝑗
se define como 𝐴
𝑖𝑗
𝑖+𝑗
𝑖𝑗
❖ El menor 𝑀
𝑖𝑗
se define como el determinante de los números que quedan al eliminar la 𝑖 ésima
fila con la 𝑗 ésima columna.
Por ejemplo:
11
12
13
1 + 1
11
1 + 2
12
1 + 3
13
Nota: En este ejemplo se eligió la fila 1, usted puede elegir otra fila o columna.
2. Sean las matrices 𝐴 = [
], 𝐵 = [𝑏
𝑖𝑗
]
3 × 2
con 𝑏
𝑖𝑗
a. Determine por extensión la matriz 𝐵.
b. Calcule 𝐵
𝑇
c. Calcule 𝐴𝐵 si existe.
3. Sean las matrices 𝐴 = [
] y 𝐵 = [
]
a. Calcule el valor del determinante de la matriz 𝐴𝐵.
b. Calcule 𝐵
𝑇
RESPUESTAS DE PRACTIQUEMOS MÁS EN CASA
1. Parte (a): 𝐴 = [
] y 𝐵 = [
]
Parte (b): 𝐴
2
2
= [
] ; det
2
2
Parte (c): 𝐵
𝑇
𝐴 = [
]
2. Parte (a): 𝐵 = [
]
Parte (b): 𝐵
𝑇
− 3 𝐴 = [
]
Parte (c): 𝐴𝐵 = [
]
3. Parte (a): 𝐴𝐵 = [
] ; det
Parte (b): 𝐵
𝑇
+ 3 𝐴 = [
]
EJERCICIOS RESUELTOS EN VIDEO
Habilidad Enlace Código QR
Determinar los elementos de una
matriz por extensión.
https://bit.ly/3pemH
Calcular la suma, transpuesta y
producto de matrices.
https://bit.ly/39bKn3x
Calcular el determinante una
matriz y realizar operaciones con
matrices.
https://tinyurl.com/y9hden9v
MÁS EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS EN:
Bibliografía Básica:
STEWART James, Redlin, Lothar; WATSON, Saleem y ROMO MUÑOZ, Jorge
Humberto (2017) Precálculo: matemáticas para el cálculo. México, D.F.: Cengage
Learning. (515 STEW/P 2017)
MATRICES : Revisar páginas desde 712 hasta 721.
