ALJEBRA LINEALA ETA GEOMETRIA I
Matematikako gradua. Lehenengo Maila. 31 Taldea.
Bigarren lauhilabeteko azterketa. 2011ko maiatzaren 17a.
1. Izan bedi f:R4×R4−→ R, ondoko matrizeak zehaztutako forma bilineal simetrikoa:
Mβk(f) =
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 0
1 1 0 1
.
(i) fbiderketa eskalarra al da? Erantzuna arrazoitu.
(ii) Aurkitu f-rekiko ortogonala den R4-ren oinarri bat. Posible al da (1,0,0,0) bektorea barne duen oinarri
ortogonalik aurkitzea?
(iii) Erabaki honako matrize hauek f-ri elkartutako matrizeak izan daitezkeen ala ez. Erantzuna baiezkoa
izatekotan, esan zein oinarrirekiko.
B=
1 0 0 0
0−2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
C=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
(iv) Teoria: Eman isometria linealaren definizioa bai eta endomorfismo autoadjuntuarena ere. Enuntziatu
kontzeptu bakoitzerako ezagutzen dituzun karaketerizazio baliokideak.
2. Izan bitez Seta Pondoko azpiespazio afinak R4espazioan:
S= (2,0,0,0) + (0,1,0,0),(0,0,0,1)®P:½x+y−3 = 0
z−1 = 0
(i) Kalkulatu Sazpiespazioaren ekuazio inplizituak eta Pazpiespazioaren ekuazio parametrikoak.
(ii) Aztertu Seta Pazpiespazioen posizio erlatiboa.
(iii) Aurkitu Seta Pazpiespazioekin perpendikularra den Rzuzen afin baten ekuazio inplizituak.
(iv) Kalkulatu d(S, P ) distantziaren balioa.
(v) Teoria: Eman azpimultzo batek sortutako azpiespazio afinaren definizioa bai eta azpiespazio afinen
baturarena ere. Enuntziatu Grassmann-en formulak. Zein da bi zuzen afinen baturaren dimentsioa?
3. Izan bitez Seta Tondoko azpiespazio afinak R2espazioan:
S:{y= 0 T:{x−y+ 1 = 0
(i) Kalkulatu Sazpiespazioaren bitarteko fsimetria ortogonala.
(ii) Kalkulatu Tazpiespazioaren bitarteko gsimetria ortogonala.
(iii) Kalkulatu h=g◦faplikazio konposatua eta eman haplikazioaren puntu finkoen multzoa.
(iv) hmugimendua (isometria afina) al da? Baiezkoan, zein motako mugimendua da?
(v) Teoria: Frogatu azpiespazio afin baten aplikazio afin baten bidezko irudia azpiespazio afina dela. Apli-
kazio afinek dimentsioa gordetzen al dute? eta paralelotasuna?