Universidad de Salamanca Departamento de MATEM ´
ATICAS
Plaza de la Merced 1–4
37008–SALAMANCA
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ALGEBRA LINEAL I. 10GRADO EN MATEM´
ATICAS MODELO A 19/12/2011
Nombre y apellidos:
1. Dados los vectores eye0, cuyas coordenadas en la base {e1, e2, e3, e4}de R4son (2,−1,−1,2) y
(−2,1,0,3) respectivamente, indica cu´al de las siguientes afirmaciones es falsa:
a) El subespacio he, e0ies un suplementario del subespacio he1, e2i.
b) Los vectores {e, e2, e3, e4}forman una base de R4.
c) El subespacio he3, e4ies un suplementario del subespacio he, e0i.
d) Los vectores {e0, e1, e2, e3}forman una base de R4.
2. Sea f:R3→R3un endomorfismo cuya matriz asociada respecto de la base {e1, e2, e3}es
1 1 −1
−1 3 −3
3−2 2
. S´olo una de las afirmaciones siguientes es cierta:
a) fes inyectiva. ; b) fes epiyectiva.
c) dim Im f= 2 ; d) dim Ker f= 2
3. Consideremos los siguientes subespacios del espacio Ede los polinomios de grado menor que 3:
E1={P(x) = ax2+bx +c:a+b= 0, a + 2b+c= 0};E2=h2x2−x+ 1, x −1i
Es cierto que:
a) E=E1+E2;b) dim E1= dim E2= 2
c) E1∩E2=hx2−x+ 1i;d) E1yE2son subespacios suplementarios.
4. Sea Eun R-espacio vectorial de dimensi´on 2 y {e1, e2}una base de Econ base dual {ω1, ω2}.
La base dual {¯ω1,¯ω2}de la base {¯e1= 3e1+ 2e2,¯e2= 2e1+e2}de Ees:
a) {¯ω1=−ω1+ 2ω2,¯ω2= 2ω1−3ω2};b) {¯ω1= 3ω1+ 2ω2,¯ω2= 2ω1+ω2}
c) {¯ω1= 2ω1+ω2,¯ω2= 3ω1+ 2ω2};d) {¯ω1=ω1,¯ω2=ω2}
5. Sea {e1, e2, e3}una base de Ey sea T:E→Ela aplicaci´on lineal definida por:
T(e2) = e1+e2+e3, e1+ 2e2∈Ker T , T (e3) = e1+ 2e2+ 3e3
La matriz de Ten esta base es:
a)
123
111
222
;b)
−211
−212
−213
;c)
211
212
213
;d)
1−2 1
1−2 2
1−2 3
6. Sea Eel R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 y sea Tel endo-
morfismo de Edefinido por:
T(a+bx +cx2) = (a−b+c) + (2b+ 2c)x+ (a+b+ 3c)x2
S´olo una de las afirmaciones siguientes es cierta:
a) Tes inyectiva. b) Ker Te Im Tson subespacios suplementarios.
c) Ker T=<2 + x+x2>.d) Im T=<1 + x2,1+2x+x2>.
7. Sea {e1, . . . , em}una familia de vectores de E,E1=< e1, . . . , er>yE2=< er+1, . . . , em>
S´olo una de las siguientes afirmaciones es falsa:
a) Si {e1, . . . , em}es base entonces E1yE2son suplementarios.
b) Si E1yE2son suplementarios, entonces {e1, . . . , em}es base.
c) Si E1+E2=Eentonces {e1, . . . , em}es un sistema de generadores de E.
d) Si {e1, . . . , em}son linealmente independientes entonces E1yE2est´an en posici´on de suma
directa.
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