Algebra Tema 1 - Transparencias, Diapositivas de Álgebra Lineal

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TEMA I:

CÁLCULO MATRICIAL

MATRICES DETERMINANTES RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ MATRICES INVERSIBLES

MATRICES

•^ MATRICES •^ SUMA DE MATRICES / PRODUCTO POR UN ESCALAR •^ PRODUCTO DE MATRICES •^ POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS • TRASPOSICIÓN DE MATRICES / MATRIZ TRASPUESTA

ALGUNAS MATRICES ESPECIALES (1) Matriz fila

: toda matriz de orden 1

ä^ n

Matriz columna

: toda matriz de orden m

ä^1

Matriz nula

: matriz cuyos elementos son todos 0

((((^

))))^ 1nn^1

12 11

a

a a^

×××× L (^1121) m1^1 m

a a a

     ^ ××××

   ^ M 

((((^

))))^

JI

j)(i,

/a

a^

ij nm ij^

××××

××××

Matriz rectangular

: matriz de orden m

ä^ n con m

≠^ n

Matriz escalonada

: aquella tal que cada una de las filas, a

partir de la segunda, comienza con una sucesión de cerosque tiene algún cero más (uno como mínimo) que la filaanterior y que puede tener filas formadas sólo por ceros perosiempre en las posiciones finales.

ALGUNAS MATRICES ESPECIALES (2)

nn 1.^7 n 2 nn

22

n 1

12 11

a

0 0

a

a 0

a

a a A

    ^ ××××

  ==== 

L

L L L L

L L

Matriz

triangular

inferior

matriz cuadrada A=tal que a

= 0 para i < jij

Matriz

triangular

superior

matriz cuadrada A=tal que a

= 0 para i > jij

nn nn (^2) n (^1) n

22 11 21

a

a a

0

a a

0

0 a A

    ^ ××××

  ==== 

L

L L L L

L L nn

(^2) n (^1) n

n 2

21

n 1

(^12) a a

a

a

a

a

A

    ^ ××××

  ==== 

L

L

L L

L L

nn

22 11

a

a a

L

i < j

i > j

ALGUNAS MATRICES CUADRADAS

ESPECIALES

((((^ ))))

(^) a ijnn×××× ( (((^ ))))

(^) a ijnn××××

Matriz diagonal matriz cuadrada D=tal que a

= 0 paraij

i^ π

j

ALGUNAS MATRICES CUADRADAS Matriz escalar matriz diagonal cuyoselementos diagonalesson todos iguales Matriz unidad matriz escalar cuyoselementos diagonalesson todos uno

ESPECIALES

((((^ ))))^ ijnn a^ ××××

nn

0 0

0

0

0

0

D

    ^ ××××

  ==== 

L

L

L L

L L

nn

22 11

a

a a

L

nn

0 0

0

0

0

0

A

      ^ ××××

   ====  

L

L

L L

L L

λ

λ λ

L

nn

n

0 0

0

0

0

0

I I

    ^ ××××

  ==== 

L

L

L L

L L

1

1 1

L

MATRICES IGUALES

Dos matrices

A =

y B =

del

mismo orden se dicen

iguales

y se denota

A = B

si:

a= bij^

"^ ij i^ œ^

{1, 2, …, m}

"^ j^

œ^ {1, 2, …, n}

((((^

))))^

nm a^ ij

××××^

((((^

))))^

nm b^ ij

××××

“Dos matrices son iguales si:

-^ tienen el mismo orden •^ son iguales elemento a elemento”

SUMA DE MATRICES

• Se denomina

suma de

las

matrices

A =

y B =

de^ M

män^

(K), a la matriz

A+B

=(a

• bij

)ijmä

œ^ n Mm

(K)än

M m

(K) â n =^ { A / A matriz de orden m

än sobre K }

Operación interna

(M

m â n^

(K)^

,^ +) Grupo conmutativo

, es decir:

( A

+^ B )

+^ C = A

+^ ( B

+^ C )

(P. Asociativa)

A^ +

mân

mân

+^ A = A

(E. Neutro)

A^ +

(-A) = (-A)

+^ A = (0)

mân

(E. Simétrico)

A+

B = B

+^ A

(P. Conmutativa)

"^ A, B

œ^ M

män^

(K)

((((^ ))))

(^) a ijnm××^ ××

((((^ ))))

(^) b ijnm××××

• Se denomina

producto de

la^ matriz

A =

œ^ M

m ä n^

(K) por la matriz

B =

œ^ M

(K) a la matriz n ä p

A.B

=^

œ^ M

m â p^

(K)

PRODUCTO DE MATRICES

b1j b2j^ ª bnj

aai^

i^

...^

ain

fila^ i^ de A

Columna j de B

=^

cij

Fila^ i

y^ Columna

j

c=ij

ai

b 1j

+^

ai

b 2j

ain

b nj

“El producto de matrices no es, en general, una operación interna,“El producto de matrices no es, en general, una operación interna,“El producto de matrices no es, en general, una operación interna,“El producto de matrices no es, en general, una operación interna,

((((^ ))))^ sólo si operamos con matrices cuadradas”sólo si operamos con matrices cuadradas”sólo si operamos con matrices cuadradas”sólo si operamos con matrices cuadradas” ij××m×× a^

n ((((^ ))))

(^) b ijp×××× n

pm

n^1 h

j bai

××××

h^

h

1.-^

A. ( B. C ) = ( A. B ). C

(P. Asociativa)

2.-^

A. ( B + C ) = A. B + A. C

(P. Distributiva)

3.-^

( A + B ). C = A. C + B. C

(P. Distributiva)

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Nota

: Se suponen todas las matrices con los órdenes adecuados para la correcta

realización de las operaciones indicadas.

Observaciones: A. I = I. A = A

"^ A

Œ^ M

nân^

( K )

(Existe elemento unidad)

A. B

π^

B. A

(En general no se cumple la P. Conmutativa)

A. B = [0]

î

[ A = [0]

∨∨^ ∨∨

B = [0] ]

(Existen divisores de cero)

A. B = A. C

î

B = C

(No se puede simplificar)

TRASPOSICIÓN DE MATRICES

1.- (A

TT^ )

= A

2.- (A+B)

T^ = A

T^ + B

T

l^ A)

T^ =^

Tl A

l^ A +

m^ B)

T^ =^

Tl A +^ m

T B

5.-^

(A.B)

T^ = B

T^. A

T^

6.- (A

mT^ )

= (A

Tm)

Donde

l ,^ m œ

K, m

œ^ ô

y las matrices A y B tienen los órdenes adecuados para realizar las

operaciones indicadas.

“Trasponer una matriz equivale a intercambiar sus filas por sus columnas” Propiedades:

Se denomina

matriz traspuesta

de una matriz

A = [a

]^ ijm

Ήn

M

mân^

( K ) a la matriz: T^ A

= [^

]nâm

Ta ij

ji T ij^

a a^

====

Sea K =

^ ó

Sea una matriz cuadrada A

œ^ M

nän^

( K ), entonces:

A simétrica

¤^

T^ A

= A

A antisimétrica

¤^

T^ A

= -A

RELACIÓN ENTRE SIMETRÍA Y

TRASPOSICIÓN

Sea K =

^ ó

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

CUADRADA

Sea una matriz cuadrada A = [a

]Œi j

M

nân^

( K ), se llama

determinante

de A y se denota

Det(A)

,^ A

^ ó

al escalar real definido como:

nn n n

2n 22 21

1n 12

a a a

a a a

a a a1 1

L

M OM M

LL

n ==== ∑^ == k^1 ==

A^

a^1 k^

A^1 k

nsi

a A^

11

====

si n > 1

Donde A

es el escalar que se obtiene al multiplicar el signo1k

(-1)

1+k^ por el determinante resultado de suprimir en A la fila 1 y la columna k.

DETERMINANTE DE ALGUNAS

MATRICES

-^ El determinante de la

matriz nula

vale 0

Det( [0]

) = 0nxn

-^ El determinante de la

matriz unidad

vale 1

Det( I

) = 1nxn

-^ El determinante de una matriz cuadrada de

orden 2

:

====^ a

a 11 22

-^ a 12

a 21

-^ El determinante de una

matriz triangular

es el producto de los

elementos de su diagonal principal • El determinante de una

matriz diagonal

es el producto de los

elementos de su diagonal principal

a^11

a^12 a^21

a^22