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Una introducción a los conceptos fundamentales del álgebra lineal y la teoría matricial. Abarca temas como matrices, operaciones con matrices, determinantes, sistemas lineales y la inversa de una matriz. El documento incluye ejemplos y ejercicios para facilitar la comprensión de los conceptos.
Tipo: Ejercicios
1 / 130
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❑ SISTEMAS LINEALES TOMO I J&J PAYE Hnos.
.......
.......
.......
: : : ....... :
.......
=
x
x
x x
x
Es un arreglo rectangular de números complejos ó reales que se encuentran ordenados en línea horizontal llamado fila y una línea vertical llamado columna.
CARACTERÍSTICAS
m1 m2 mn
Siendo: i^ 1,2,3,....m j 1,2,3,....n
= (^) =
Dos matrices A y B son iguales si y solo si A=B
A =Baij =bij, i,j;i= 1 , 2 , 3 , 4 ,...,m y j = 1 , 2 , 3 , 4 ,...,n
1
Capítulo
11 12 1n 21 22 2n
m1 m2 mn
a a .... a a a .... a A a a .... a
= ^
matriz transpuesta, la cual se denota por (^) AT, se deben intercambiar los elementos de las filas por las columnas. La nueva matriz ATes de orden n×m.
Es una matriz que tiene igual número de columnas y de filas, es decir m=n
Es una matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero, excepto los de la diagonal principal que
cada uno es igual a 1. IDENTIDAD DE 3x
1 0 0 I 0 1 0 0 0 1
= ^
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos bajo la diagonal principal iguales a cero.
TRIANGULAR SUPERIOR “ U ” DE 3x
11 12 13 22 23 33
a a a U 0 a a 0 0 a
= ^
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos sobre la diagonal principal iguales a cero.
TRIANGULAR INFERIOR “ L ” DE 3x
11 21 22 31 32 33
a 0 0 L a a 0 a a a
= ^
Es una matriz en la que todos sus elementos son iguales a cero.
MATRIZ NULA “ ” DE 3x
0 0 0 0 0 0 0 0 0
= ^
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre y bajo la diagonal principal iguales a cero. Esto es aij= 0 si i≠j
11 22 33
a 0 0 A 0 a 0 0 0 a
= ^
Una matriz cuadrada A, se dice que es simétrica, si y solo si, AT^ =A
Una matriz cuadrada A, se dice que es antisimetrica, si y solo si, AT^ =−A
Esto implica que los elementos de la diagonal principal sean iguales a cero.
Se denominan operaciones elementales a procesos que se realizan a una matriz “A” de orden “mxn” para transformarla en otra matriz “ B ” de orden “mxn” las operaciones elementales son tres:
✓ INTERCAMBIAR DOS FILAS O DOS COLUMNAS DE UNA MATRIZ ✓ SUSTITUIR UNA FILA O UNA COLUMNA DE LA MATRIZ POR EL MÚLTIPLO ESCALAR DE DICHA FILA O COLUMNA EN LA MATRIZ ✓ SUSTITUIR UNA FILA O UNA COLUMNA DE LA MATRIZ POR LA SUMA DE DICHA FILA O COLUMNA CON UN MÚLTIPLO ESCALAR DE OTRA FILA O COLUMNA EN LA MATRIZ
P = producto de matrices elementales en filas.
Dada una matriz cuadrada A , su inversa, la cual se denota por A−^1 es una matriz que cumple con:
AA −^1 = A−^1 A=I
La matriz inversa, en caso de existir, es única.
PROPIEDADES:
1 1 T 1 1 T 1 1 1
( A ) A ( A ) ( A ) R { 0 } A M ( A ) A A,B M
− − − − − − −
− =
Doble inversa Inversa de la transposición: Inversa de la multiplicación por un escalar: Inver
1
sa de la multiplicación entre matrice
**. :
Es aquella matriz que tiene inversa.
Es aquella matriz que no tiene inversa.
Es un método que reduce la determinante matricial con los siguientes pasos:
PASO1: Sea una determinante
11 12 13 21 22 23 31 32 33
a a a A a a a a a a
= elegimos una fila o columna cualquiera
11 12 13 21 22 23 31 32 33
a a a A a a a a a a
=
PASO 2 : Añadimos la matriz de signos a la fila seleccionada
+^ −^ + (^) − + − +^ −^ +
PASO 3 : Reducimos la DETERMINANTE
11 12 13 21 22 23 31 32 33
a a a A a a a a a a
=
22 23 12 13 12 13 11 21 31 32 33 32 33 22 23
a a a a a a A a a a a a a a a a = + ^ ^ − ^ ^ + ^
Calcular el determinante para la matriz A. 2 3 1 2 1 1 1 1 A 3 2 1 1 2 2 3 2
− (^) − − = ^ (^) −
Solución: Es un método que reduce la determinante matricial con los siguientes pasos:
PASO1: Sea una determinante
11 12 13 21 22 23 31 32 33
a a a A a a a a a a
= elegimos una fila o columna cualquiera
2 3 1 2 1 1 1 1 A 3 2 1 1 2 2 3 2
− − − = −
PASO 2 : Añadimos la matriz de signos a la fila seleccionada
+^ −^ +^ − (^) − + − + (^) + − + − (^) − + − +
PASO 3 : Reducimos la DETERMINANTE
2 3 1 2 A 1 1 1 1 3 2 1 1 2 2 3 2
− = −^ −
−
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 A 2 2 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 1 1
− − − − − = + − + − − − − − − − −
( )
1 1 1 A 2 2 1 1 2 3 2
− − = + −
( )
3 1 2 1 2 1 1 2 3 2
− − −
( )
3 1 2 3 1 1 1 2 3 2
−
( )
3 1 2 2 1 1 1 2 1 1
− − − −
Ya tenemos la Determinante Reducida en un orden menor al anterior aplicamos el método hasta llegar al orden 2x2 del DETERMINANTE, para reducir los procedimientos aplicaremos los pasos a cada determinante:
1 1 1 2 1 1 2 3 2
− − = −
PASO1: Sea una determinante
1 1 1 2 1 1 2 3 2
− − = −
elegimos una fila o columna cualquiera
1 1 1 2 1 1 2 3 2
− − = −
PASO 2 : Añadimos la matriz de signos a la fila seleccionada
+^ −^ + (^) − + − +^ −^ +
PASO 3 : Reducimos la DETERMINANTE
1 1 1 2 1 1 2 3 2
− − = −
− − − − − − = = − − −
0 5 3 4 f 1 f 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 5 3 4 A A 0 5 2 4 0 5 2 4 0 0 1 4 0 0 1 4
Ordenando para obtener una matriz triangular. Nota: Al cambiar dos filas se debe compensar con un signo negativo al determinante.
( )
− − − − − − = − = − − − 2 + 3
1 1 1 1 1 1 1 1 0 5 3 4 0 5 3 4 A A 0 5 2 4 f f ' 0 0 1 0 0 0 1 4 0 0 1 4
Escogemos el pivote ( ) a 22 que eliminara a todos los elementos que se encuentran por debajo de él.
( )
− − − − = − −^ = − −
− 3 + 4
1 1 1 1 1 1 1 1
A 0 5 3 4 A^0 5 3 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 f f ' 0 0 0 4
Escogemos el pivote ( ) (^) a 33 que eliminara a todos los elementos que se encuentran por debajo de él.
( )( )( )( )
− − − = − = −
1 1 1 1 0 5 3 4 A A 1 5 1 4 0 0 1 0 0 0 0 4
A = − 20
Observamos que la matriz es triangular. Nota: El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
Un sistema de ”m” ecuaciones lineales con “n” incognitas es un conjunto de ecuaciones lineales que son verificadas simultáneamente, y puede escribirse de la forma:
m m mn n m
n n
n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
...
...
...
1 1 2 2
21 1 22 2 2 2
11 1 12 2 1 1
Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Ax=b
m m mn n m
n
n
b
b
b
x
x
x
a a a
a a a
a a a
2
1 2
1
1 2
21 22 2
11 12 1
Donde A es la matriz de coeficientes, x es la matriz de variables y b es la matriz de términos independientes.
La representación del sistema de ecuaciones de la matriz aumentada es de la siguiente forma:
m m mn m
n
n
a a a b
a a a b
a a a b
|
|
|
|
1 2
21 22 2 2
11 12 1 1
también existen otros métodos matriciales que se detallaran en los problemas resueltos
Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
Si en un sistema de ecuaciones se cumple que la matriz de términos independientes es una matriz nula, entonces se dice que dicho sistema es homogéneo
3
Capítulo
( )
− + − + = − + −
4 1 3 1 2 1
a 3 2 2 2 c c ' 2 a 3 2 2 c c ' A b 2 2 a 3 2 c c ' 2 2 2 a 3
como la matriz es simétrica sumamos todo a la primera
fila
( )
− + + + + − + + + + − + + + + − − = − −
a 3 2 2 2 2 a 3 2 2 2 2 a 3 2 2 2 2 a 3 2 a 3 2 2 A b 2 2 a 3 2 2 2 2 a 3
( )
= − − −
a 3 a 3 a 3 a 3 A b 2 a^3 2 2 2 a 3 2 2 2 2 a 3
( )( ) ( )( )
− + − − + − = + → = + − − + − − −
1 2 1 3 1 4
1 1 1 1 c c ' 1 0 0 0 2 a 3 2 2 c c ' 2 a 5 0 0 A b a 3 A b a 3 2 2 a 3 2 c c ' 2 0 a 5 0 2 2 2 a 3 2 0 0 a 5 Como la matriz determinante es triangular entonces la determinante será el producto de la diagonal principal A = ( )(b a + 3 )( )( 1 a − 5 )( a − 5 )( a − 5 ) → A = ( )(b a + 3 )( a − 5 )^3
Nota: Si el determinante de la matriz es distinta de cero entonces será la solución será consistente determinado A 0
( b^ )( a^ +^3 )(^ a^ −^5 )^0 →^ b^ ^0 a^ −^3 a^ ^5 CONSISTENTE DETERMINADO: b 0 a − 3 a 5 PASO 2: CON LOS VALORES DE LA DETERMINANTE IGUALADA A CERO CALCULAMOS SI ES CONSISTENTE E INCONSISTENTE
( )
− (^) − (^) − (^) = (^) → = − (^) − (^) + (^) +
1 1 2 2 3 3 4 4
a 3 2 2 2b (^) x 5 2 2 2 2b x 5 2 a 3 2 2b (^) x 10 a 2 2 2 2b x 5 2 2 a 3 2b (^) x a 2 2 2 2b x 5 2 2 2 b a (^3) x a b 2 2 2 2b x 5 b
^ = ^ (^) +
1 2 3 4
2 2 2 2b x 5 2 2 2 2b x 5 2 2 2 2b x 5 2 2 2 2b x 5 b
A X =B
RESOLVEMOS EL SISTEMA LINEAL Es conveniente el análisis de la solución siempre por la matriz aumentada para luego aplicar el teorema de Rouché-Frobenius
Teorema de Rouché-Frobenius Un sistema A X =Bde m ecuaciones con n incógnitas es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes A es igual al rango de la matriz ampliada H =A B. Rg(A)=Rg(H). Además, suponiendo que Rango(A)= Rango (H)=r entonces:
Si Rango(A)= Rango(H) el sistema es consistente determinado. Si r < n el sistema es consistente indeterminado. Si Rango (A) Rango (H) el sistema es consistente indeterminado
Gauss Jordan (Matriz Aumentada) H =A B
^ ^ = ^ (^) + (^)
1 2 3 4
2 2 2 2b x 5 2 2 2 2b x 5 2 2 2 2b x 5 2 2 2 2b x 5 b
=
2 2 2 2b 5 2 2 2 2b 5 H 2 2 2 2b 5 2 2 2 2b 5 b
Paso 1: nos concentramos en la primera columna de la matriz, buscamos un pivote (generalmente es el número “1”) en este caso tenemos a “2” en la fila 1. Este pivote anulara a todos los elementos de la columna.
− + → − +
1 2 1 3 1 4
2 2 2 2b 5 2 2 2 2b 5 f f ' 2 2 2 2b 5 f f ' 2 2 2 2b 5 b f f '
2 2 2 2b 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b
= → =
2 2 2 2b 5 0 0 0 0 0 H H A B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b
Este pivote anulara a todos los elementos de la columna.
− + − − + → − − − + − −
4 1 4 2 4 3
6 2 2 2b 5 3 f f ' 2 6 2 2b 13 f f ' 2 2 6 2b 3 f f ' 2 2 2 6b b 3
− − − − − − − −
0 8 8 16b 3b 4 0 8 0 8b 16 b 0 0 8 8b b 2 2 2 6b b 3
− − − − − − − − (^) + − (^) + − + → → − − − (^) − − − − − − (^) − − + − −
1 1 2
1 4
1 3b 4 3b^4 0 8 8 16b 3b 4 f ' 0 1 1 2b 0 1 1 2b 8 0 8 0 8b 16 b 8 0 0 8 8b 8 0 0 8 8b 12 2b f f ' 12 2b 0 0 8 8b b 0 0 8 8b (^) b 0 0 8 8b b 2 2 2 6b b 3 2 2 2 6b (^) b 3 2 f f ' 2 0 0 2b b 8 4 − − − − − + + + → − − − − − − − −
3 2
3b 4 3b 4 0 1 1 2b 8 0 1 1 2b 8 0 0 8 8b 12 2b f f ' 0 0 0 0 12 b 0 0 8 8b b 0 0 8 8b b 2 0 0 2b b 8 2 0 0 2b b 8 4 4 PARA QUE SEA SOLUCIÓN CONSISTENTE INDETERMINADO LOS RANGOS DEBEN
CONSISTENTE INDETERMINADO: a = − 3 b = − 12 INCONSISTENTE: a = − 3 b 12
( )
−^ − (^) − (^) (^) − (^) − (^) − (^) = (^) → = − (^) − (^) − (^) + ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
1 1 2 2 3 3 4 4
a 3 2 2 2b (^) x 5 a 3 2 2 0 x 5 2 a 3 2 2b (^) x 10 a 2 a 3 2 0 x 10 a 2 2 a 3 2b (^) x a 2 2 a 3 0 x a 2 2 2 b a (^3) x a b 2 2 2 0 x a −^ (^) − ^ (^) − = − ^
1 2 3 4
a 3 2 2 0 x 5 2 a 3 2 0 x 10 a 2 2 a 3 0 x a 2 2 2 0 x a
A X =B
RESOLVEMOS EL SISTEMA LINEAL Es conveniente el análisis de la solución siempre por la matriz aumentada para luego aplicar el teorema de Rouché-Frobenius
Gauss Jordán Matriz Aumentada H =A B
−^ (^) − ^ (^) − = − ^
1 2 3 4
a 3 2 2 0 x 5 2 a 3 2 0 x 10 a 2 2 a 3 0 x a 2 2 2 0 x a
− = −^ − −
a 3 2 2 0 5 H 2 a^3 2 0 10^ a 2 2 a 3 0 a 2 2 2 0 a
Paso 1: nos concentramos en la primera columna de la matriz, buscamos un pivote (generalmente es el número “1”) en este caso tenemos a “2” en la fila 1. Este pivote anulara a todos los elementos de la columna.
− + − − + → − +
4 1 3 1 2 1
a 3 2 2 0 5 f f ' 2 a 3 2 0 10 a f f ' 2 2 a 3 0 a f f ' 2 2 2 0 a
− − −
1 a 3 a 3 a 3 0 15 a 1 f ' a 3 2 a 3 2 0 10 a 2 2 a 3 0 a 2 2 2 0 a
− − − → − → − − − + (^) − + + (^1 4) (^) +
15 a^15 a (^1 1 1 0 1 1 1 0) a 3 a (^3 10) a 2 a (^3 2 0 10) a 2 a 3 2 0 2 2 a 3 0 2 2 a 3 0 a a (^2 2 2 0) a 2 f f ' 0 0 0 0 2 15 a a a 3
( ) ( )
− − → −
15 a (^1 1 1 0) a 3 2 a 3 2 0 10 a 2 2 a 3 0 a 0 0 0 0 a 6 a 5 a 3 PARA QUE SEA SOLUCIÓN CONSISTENTE INDETERMINADO LOS RANGOS DEBEN
( + )( − )=
a 6 a (^5 ) a 3 CONSISTENTE INDETERMINADO: b = 0 a = − 6 a = 5 INCONSISTENTE: b = 0 a − 6 a 5
PROBLEMA 3
1 0 1 A 0 1 0 0 0 1
−^ − = ^ − Solución:
2 2
1 0 1 1 0 1 1 0 0 A 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 A I 0 0 1 0 0 1 0 0 1
^ − −^ − − = ^ − ^ − ^ ^ → =
Calculamos A^25 : (^25 12 1) / / 2 25 2 12( ) 1 2 2
= + → = + 25 2 12( )^1 ( 2 ) 12 ( )^12 I
A = A + = A A = I I A = A→^ A^25 =A
PROBLEMA 4
1 2 6 A 3 2 9 2 0 3
− − = ^ − (^) −
Solución:
2
1 2 6 1 2 6 5 6 6 A 3 2 9 3 2 9 = 9 7 9 2 0 3 2 0 3 4 4 3
−^ −^ −^ −^ −^ −^ − = ^ − ^ − ^ ^ (^) − (^) − (^) − − −
3 2 3
5 6 6 1 2 6 1 2 6 A A A 9 7 9 3 2 9 = 3 2 9 A A A 4 4 3 2 0 3 2 0 3
−^ −^ −^ −^ −^ −^ − = = ^ ^ − ^ ^ − = → = − − − − −
( ) ( ) (^37 12 1) / / 3 37 3 12 1 37 3 12 1 3 3 = + → = + → = + 37 3 12( )^1 ( 3 ) 12 12 ( 3 )^44 3 2 2 A A A
A = A + = A A = A A = A A = A A = A A = AA = A = A→^ A^37 =A
PROBLEMA 5
Determinar A si:
1 80
0 1 0 A 1 1 1 0 0 1
− = ^ − COMPETENCIA
Solución: ( )
80 (^1 80 ) 80
B
0 1 0 0 1 0 A 1 1 1 / / A 1 1 1 A B 0 0 1 0 0 1
−^ − = ^ ^ = ^ = − −
(1)
Calculamos B^80 : 0 1 0 B 1 1 1 0 0 1
− = ^ −
2
0 1 0 0 1 0 1 1 1 B B B 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
−^ −^ −^ −^ − = = ^ ^ ^ =^ − −
3 2 3
1 1 1 0 1 0 1 0 0 B B B 1 0 0 1 1 1 0 1 0 B I 0 0 1 0 0 1 0 0 1
−^ −^ −^ − = = ^ ^ ^ = − ^ → = − (^) − (^80 26 2) / / 3 80 3 26( ) 2 3 3
= + → = +
I
B B + B B I −
= = = − (^) I^2 2 80 2
1 1 1 B I B B B B 1 0 0 0 0 1
−^ −^ − = → = → = ^ En (1): 1 1 1 A 1 0 0 0 0 1
− − − = ^
PROBLEMA 6 Sean las matrices: 1 1 1 A 0 2 1 0 0 3
= ^
2 0 0 B 0 3 0 0 0 4
= ^
COMPETENCIA Solución: S = A + AB + AB^2 + AB^3 + ...... + ABn S = A I^ + B + B 2 + B^3 + ...... +Bn 1 1 1 1 0 0 2 0 0 2 0 0 2 2 0 0 3 2 0 0 n S 0 2 1 0 1 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 ...... 0 3 0 0 0 3 0 0 1 0 0 4 0 0 4 0 0 4 0 0 4
^ = ^ ^ ^ ^ ^ + ^ ^ + ^ ^ + ^ ^ + +^ ^ ^ 2 3 n 2 3 n 2 3 n
1 1 1 1 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 S 0 2 1 0 1 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 ...... 0 3 0 0 0 3 0 0 1 0 0 4 0 0 4 0 0 4 0 0 4
^ ^ ^ ^ ^ ^ = ^ ^ ^ ^ ^ + ^ + ^ ^ + ^ ^ + +^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
