ALGEBRA MODERNA ABSTRACTA, Apuntes de Álgebra Lineal

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ÁLGEBRA

AUTOR

LIC. RUDY WILFREDO MAYTA CALLISAYA

LA PAZ - BOLIVIA

El presente libro está enfocado a estudiantes de Ciencias y Tecnología, debido a que en este li- bro se tratan los temas de Lógica Elemental en el cual se enfoca la relación que existe de los teoremas, corolarios, afirmaciones y propiedades que se presentan en el campo de la matemática cuyos enunciados están compuestos por oraciones denominadas proposiciones y estos resultan ser equivalentes a enunciados cuya forma se presentan en el lenguaje lógico los cuales se pueden llegar a analizar según el requerimiento del enunciado bajo las leyes lógicas y el razonamiento deductivo y así obtener un enunciado en nuestro lenguaje común que llegue a ser más comprensible; El tema de Conjuntos es otro lenguaje cuyos enunciados son equivalentes a algún enunciado en el lenguaje lógico y gracias a esta relación se llegan a verificar la veracidad de estos enunciados que se en- cuentran en términos del lenguaje lógico bajo las leyes lógicas y el razonamiento deductivo; En el tema de Relaciones y Funciones se estudian las relaciones de equivalencia el cual nos permitirá comprender la idea de partición de un conjunto y también se estudia la relación de orden que nos permite relacionar los elementos en un determinado conjunto para llegar a estudiar sus diferentes propiedades y bajo la idea de relación se define lo que es una función y la biyectividad de una funciones nos permite realizar el estudio de la cardinalidad de conjuntos que intuitivamente nos indica si un conjunto tiene la misma cantidad de elementos que otro conjunto; El tema de los nú- meros Naturales y Enteros está enfocado al estudio de la inducción matemática y a la divisibilidad el cual nos permite ver las formas diferentes de determinar el máximo común divisor de números enteros el cual a su vez nos permite realizar la solución de ecuaciones diofánticas, ecuaciones que se resuelven en el conjunto de los números enteros; El tema de Estructuras Algebraicas es un tema introductorio al estudio del Álgebra Abstracta.

• 1. Lógica Elemental
  • 1.1. Introducción:
  • 1.2. Proposición y Valor de verdad:
  • 1.3. Clasificación de las Proposiciones:
  • 1.4. Álgebra de Proposiciones
    • 1.4.1. Leyes Lógicas
    • 1.4.2. Simplificación de formulas Proposicionales:
  • 1.5. Razonamiento Deductivo Valido o Inferencia Lógica:
    • 1.5.1. Reglas de Inferencia:
    • 1.5.2. Métodos de Demostraciones:
  • 1.6. Cuantificador Universal y Existencial
  • 1.7. Ejercicios Propuestos:
• 1. Conjuntos
  • 2.1. Introducción:
  • 2.2. La Relación de Inclusión:
  • 2.3. La Relación de Igualdad:
  • 2.4. Complemento de un conjunto:
  • 2.5. Unión e Intersección de Conjuntos:
    • 2.5.1. Unión de Conjuntos:
    • 2.5.2. Intersección de Conjuntos:
    • 2.5.3. Leyes Distributivas:
    • 2.5.4. Leyes de Morgan:
  • 2.6. Diferencia de Conjuntos:
  • 2.7. Diferencia Simétrica:
  • 2.8. Conjunto de Partes:
  • 2.9. Producto Cartesiano:
    • 2.9.1. Par Ordenado:
    • 2.9.2. Producto Cartesiano:
  • 2.10. Familia de Conjuntos:
  • 2.11. Ejercicios Propuestos:
• 1. Relaciones y Funciones
  • 3.1. Introducción:
  • 3.2. Relaciones Binarias:
    • 3.2.1. Dominio, Imagen y Relación Inversa:
    • 3.2.2. Composición de Relaciones:
    • 3.2.3. Relación Definida en un Conjunto:
    • 3.2.4. Relaciones de Equivalencia:
      • 3.2.4.1. Clase de equivalencia y Conjunto Cociente:
    • 3.2.5. Relación de Orden:
  • 3.3. Funciones:
    • 3.3.1. Clasificación de Funciones:
    • 3.3.2. Composición de Funciones:
    • 3.3.3. Imagen e imagen inversa de subconjuntos bajo una función:
    • 3.3.4. Cardinalidad:
      • 3.3.4.1. Conjuntos Finitos:
  • 3.4. Ejercicios Propuestos:
• 1. Los Números Naturales y Enteros
  • 4.1. El Conjunto de los números Naturales:
    • 4.1.1. Inducción Matemática:
    • 4.1.2. Relación de Orden en el Conjunto de los Números Naturales:
      • 4.1.2.1. Principio de Buen Orden:
  • 4.2. El conjunto de los números Enteros:
    • 4.2.1. Divisibilidad de Números Enteros:
    • 4.2.2. Máximo Común Divisor:
      • 4.2.2.1. Calculo del máximo común divisor:
      • 4.2.2.2. Generalización del máximo común divisor:
    • 4.2.3. Ecuaciones Diofánticas Lineales:
  • 4.3. Ejercicios Propuestos:
• 1. Estructuras Algebraicas
  • 5.1. Congruencia en Z y Aritmética Modular:
    • 5.1.1. Congruencia en Z:
    • 5.1.2. Aritmética Modular:
  • 5.2. Grupos:
    • 5.2.1. Propiedades de los Grupos:
    • 5.2.2. Subgrupos:
  • 5.3. Ejercicios Propuestos:

2.- El calor dilata los cuerpos 3.- 4 es un número impar 4.- Hoy es lunes 5.- ¿Quién soy yo? Las oraciones 3 y 4 son considerados proposiciones, debido a que de ellas se puede decir si son verdaderas ó falsas.

A las oraciones que son proposiciones se las llega a simbolizar mediante las letras p, q, r, etc.

Ejemplo 2. A las siguientes proposiciones las llegaremos a sombolizar por: 4 es un número impar := p Hoy es lunes := q y estas proposiciones son denominadas proposiciones simples. Nota: El símbolo := se utiliza para asignar un significado a una proposición.

Gracias a los siguientes conectivos lógicos

Conectivo Nombre Significado ∼ negación no ∧ conjunción y ∨ disyunción o (en sentido incluyente) → implicación entonces ↔ bicondicional o doble implicación si y sólo si Y diferencia simétrica ó (en sentido excluyente)

se pueden llegar a formar proposiciones compuestas como las que se tienen a continuación

[(p → q) ∧ p] → q (p ∧ q) → p

Como de la proposición simple p pueden llegar a ser verdadera o falsa, es decir v(p) = V ó v(p) = F , entonces se puede llegar a asignar un valor de verdad a una proposición compuesta y para lograr esto primero analicemos cada uno de los valores de verdad que se pueden llegar a obtener mediante el valor de verdad de una proposición simple y un conectivo lógico. a) Negación (∼)

Definición. (1.2) La negación de la proposición p es la proposición ∼ p (que se lee no p) y cuya tabla de valor de verdad es:

p ∼ p v(p) = V v(∼ p) = F v(p) = F v(∼ p) = V

o equivalentemente

p ∼ p V F F V

Ejemplo 3. Sea

Si p := 4 es un número par, entonces v(p) = V Si ∼ p :=∼ (4 es un número par) ≡ 4 no es un número par ≡ 4 es un número impar, entonces v(∼ p) = F

Nota: El símbolo ≡ se utiliza para trabajar con enunciados equivalentes.

Ejemplo 4. Sea

Si p := (3 + 5 = 10), entonces v(p) = F Si ∼ p := (3 + 5 6 = 10), entonces v(∼ p) = V

b) Conjunción (∧)

Definición. (1.3) La conjunción de las proposiciones p, q es la proposición p ∧ q (que se lee p y q) y cuya tabla de valores de verdad es:

p q p ∧ q v(p) = V v(q) = V v(p ∧ q) = V v(p) = V v(q) = F v(p ∧ q) = F v(p) = F v(q) = V v(p ∧ q) = F v(p) = F v(q) = F v(p ∧ q) = F

o equivalentemente

3 es un número impar y 3 es múltiplo de 2

es falso. c) Disyunción (∨)

Definición. (1.4) La disyunción de las proposiciones p, q es la proposición p ∨ q (que se lee p o q) y cuya tabla de valores de verdad es:

p q p ∨ q v(p) = V v(q) = V v(p ∨ q) = V v(p) = V v(q) = F v(p ∨ q) = V v(p) = F v(q) = V v(p ∨ q) = V v(p) = F v(q) = F v(p ∨ q) = F

o equivalentemente

p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

Ejemplo 7. Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados

i) Un rectángulo es un cuadrado ︸ ︷︷ ︸ p

︸︷︷︸^ o ∨

un cuadrado es un rectángulo ︸ ︷︷ ︸ q

, así v(p) = F , v(q) = V

por tanto v(p ∨ q) = V. ii) Un triángulo equilatero tiene todos sus lados diferentes ︸ ︷︷ ︸ ︸︷︷︸o p^ ∨ un triángulo equilatero tiene dos lados iguales ︸ ︷︷ ︸ q así v(p) = F , v(q) = F por tanto v(p ∨ q) = F. d) Implicación o Condicional (→)

Definición. (1.5) La implicación de las proposiciones p, q es la proposición p → q (que se lee p implica q ó si p, entonces q) y cuya tabla de valores de verdad es:

p q p → q v(p) = V v(q) = V v(p → q) = V v(p) = V v(q) = F v(p → q) = F v(p) = F v(q) = V v(p → q) = V v(p) = F v(q) = F v(p → q) = V

o equivalentemente

p q p → q V V V V F F F V V F F V

Ejemplo 8. Determinar el valor de verdad de las proposiciones

i) p → q si

p := Un triángulo isoceles tiene dos lados iguales q := Un triángulo isoceles tiene dos ángulos iguales

entonces v(p) = V , v(q) = V por tanto v(p → q) = V ii) p → q si

p := Cero dividido entre cualquier número diferente de cero es cero q := Cualquier número dividido entre dos es el mismo número

entonces v(p) = V , v(q) = F por tanto v(p → q) = F. Obs: En la proposición compuesta p → q, a la proposición simple p se la denomina antecedente o hipótesis y a la proposición simple q se la denomina consecuente o tesis o conclusión. e) Doble implicación o Bicondicional (↔)

Definición. (1.6) La doble implicación de las proposiciones p, q es la proposición p ↔ q (que se lee p si y sólo si q) y cuya tabla de valores de verdad es:

Ejemplo 10. Determine el valor de verdad de la proposición p Y q si

p := Una circunferencia es el conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo es una constante q := Un cuadrado es la unión de cuatro segmentos iguales

entonces v(p) = V , v(q) = F por tanto v(p Y q) = V.

Ejemplo 11. Hallar el valor de verdad de la proposición [∼ p ∨ (∼ p ∧ q)] → (∼ q ∧ p) sabiendo que v(p) = V y v(q) = F Solución: Según la tabla de verdad de la conjunción

p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F

si v(p) = V y v(q) = F se tendrá que

   

∼ p ∨

 (^) ︸︷︷︸∼ p F

∧ (^) ︸︷︷︸q F

F

 (^) ︸︷︷︸∼ q V

∧ (^) ︸︷︷︸p V

V y según la tabla de valores de verdad de la disyunción

p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

y como v(p) = V se tendrá que

︸︷︷︸^ ∼^ p F

 (^) ︸︷︷︸∼ p F

∧ (^) ︸︷︷︸q F

︸ ︷︷ F ︸

F

 (^) ︸︷︷︸∼ q V

∧ (^) ︸︷︷︸p V

V

y finalmente según la tabla de valores de verdad de la implicación

p q p → q V V V V F F F V V F F V

se tiene que

     

︸︷︷︸^ ∼^ p F

 (^) ︸︷︷︸∼ p F

∧ (^) ︸︷︷︸q F

︸ ︷︷ F ︸

F

 (^) ︸︷︷︸∼ q V

∧ (^) ︸︷︷︸p V

V ︸ ︷︷ ︸ V así v ([∼ p ∨ (∼ p ∧ q)] → (∼ q ∧ p)) = V

Ejemplo 12. Determinar si existe una combinación de valores de verdad para que

v ([(p ∨ r) →∼ q] ∧ (q∧ ∼ r)) = V

Solución: Según la tabla de verdad de la conjunción

p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F

p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

se observa que v (p ∨ q) = F y v (q) = F , entonces v (p) = F así los valores de verdad de p, q y r para que v ([(p ∨ r) →∼ q] ∧ (q∧ ∼ r)) = V tienen que ser v (p) = F , v (q) = V y v (r) = F.

Ejemplo 13. A partir de una table de verdad, determina bajo que condiciones de p y q la proposición compuesta [(p ↔ q) ∧ ∼ q] → (p∧ ∼ q) es falsa.

Solución: La tabla de verdad para la proposición compuesta [(p ↔ q) ∧ ∼ q] → (p∧ ∼ q) es:

p q [(p ↔ q) ∧ ∼ q] → (p ∧ ∼ q) V V V F F V V F F V F F F V V V V V F V F F F V F F F F F V V V F F F V observando esta tabla de valores de verdad según el conectivo principal → la fila en la que

v ([(p ↔ q) ∧ ∼ q] → (p∧ ∼ q)) = F

es

p q [(p ↔ q) ∧ ∼ q] → (p ∧ ∼ q) F F V V V F F F V

así v (p) = F y v (q) = F.

1.3. Clasificación de las Proposiciones:

Gracias a las tablas de valores de verdad se pueden llegar a construir tablas de valores de verdad de proposiciones compuestas.

Ejemplo 14. Determinar la tabla de valores de verdad de la proposición compuesta

[(p → q) ∧ (∼ p → q)] → q

Solución:

p q [(p → q) ∧ (∼ p → q)] → q V V V V F V V V V V F F F F V F V F F V V V V V V V V F F V F V F F V F

así v ([(p → q) ∧ (∼ p → q)] → q) = V para cualquier valor de verdad que se asigne a p o q

Ejemplo 15. Determinar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones

a) p∧ ∼ p b) (p → q) ∧ (q → p) c) (p → q) ↔ (∼ q →∼ p) Sol: Para el inciso a)

p p ∧ ∼ p V V F F F F F V

así v (p∧ ∼ p) = F para cualquier valor de verdad que se asigne a p para el inciso b)

p q (p → q) ∧ (q → p) V V V V V V F F F V F V V F F F F V V V

así el valor de verdad de la proposición compuesta (p → q) ∧ (q → p) depende de los valores de verdad que se les asigne a las proposiciones simples p y q para el inciso c)

p q (p → q) ↔ (∼ q → ∼ p) V V V V F V F V F F V V F F F V V V F V V F F V V V V V

y como se observa que en la columna del conectivo principal los valores de verdad son V para cada fila de la tabla, entonces la proposición compuesta (p → (q → r)) ↔ ((p → q) → (p → r)) es una tautología.

Ejemplo 18. Clasificar la siguiente proposición compuesta (p ↔ q) ∧ (p →∼ q) ∧ p

Solucición: La tabla de verdad para esta proposición compuesta es

p q (p ↔ q) ∧ (p → ∼ q) ∧ p V V V F V F F F V V F F F V V V F V F V F F F V F F F F F V V F V V F F

y como se observa que en la columna del conectivo principal los valores de verdad son F para cada fila de la tabla, entonces la proposición compuesta (p ↔ q) ∧ (p →∼ q) ∧ p es una contradicción

Ejemplo 19. Clasificar la siguiente proposición compuesta [(∼ p∧ ∼ q) → (∼ r)] ↔ [r → (q ∧ p)]

Solución: La tabla de verdad para esta proposición compuesta es

p q r [(∼ p ∧ ∼ q) → (∼ r)] ↔ [r → (q ∧ p)] V V V F F F V F V V V V V V F F F F V V V F V V V F V F F V V F F V F F V F F F F V V V V F V F F V V V F F V F F V F F F V F V F F V V V F V F F F V V V V F F V V F F F F F V V V V V V F V F

y como se observa que en la columna del conectivo principal algunos valores de verdad son F y otros valores de verdad son V para algunas filas de la tabla, entonces la proposición compuesta [(∼ p∧ ∼ q) → (∼ r)] ↔ [r → (q ∧ p)] es una contingencia.

1.4. Álgebra de Proposiciones

Definición. (1.8) Si la implicación entre dos proposiciones α y β, (α → β) es una tautologia, entonces se dice que la proposición α implicación lógicamente a la proposición β y en este caso lo denotaremos por α ⇒ β

Ejemplo 20. Verificar si las proposiciones (p → q) ∧ (q → r) implica lógicamente a la proposición p → r

Solución: La tabla de verdad en este caso es p q r

[

(p → q) ∧ (q → r)

]

→ (p → r) V V V V V V V V V V F V F F V F V F V F F V V V V F F F F V V F F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V

así observando esta tabla de valores de verdad la proposición [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) es una tautología, por tanto la proposición (p → q) ∧ (q → r) implica lógicamente a la proposición p → r, es decir [(p → q) ∧ (q → r)] ⇒ (p → r).

Definición. (1.9) Si la doble implicación entre las proposiciones α y β (α ↔ β) es una tautologia, entonces se dice que las proposición α es lógicamente equivalentes a la proposición β y en este caso lo denotamos por α ⇔ β

Ejemplo 21. Verificar si las proposiciones p → q y ∼ q →∼ p son lógicamente equivalentes

Solución: La tabla de verdad en este caso es p q (p → q) ↔ (∼ q → ∼ p) V V V V F V F V F F V V F F F V V V F V V F F V V V V V