Dominios Enteros
En esta sección, para motivar su estudio, usaremos polinomios de manera intuitiva. Sera
hasta el capitulo 22 cuando se traten con detalle.
Una de las propiedades algebraicas más importantes de nuestro sistema numérico usual
es que el producto de dos números puede ser 0 solo si al menos uno de los dos factores
es cero. Se suele usar con frecuencia este hecho, incluso de manera inconsciente.
Supóngase, por ejemplo, que se pide resolver la ecuación
x2 - 5x + 6 = 0
Lo primero que se hace es factorizar el lado izquierdo:
x2 - 5x + 6 = (x-2) (x-3)
Después se concluye que los únicos valores posibles para x son 2 y 3. Porque?
Porque si x se reemplaza por cualquier numero a, el producto (a - 2) (a - 3) de los
números resultantes es 0, si y solo si a - 2 = 0 o a - 3 = 0.
Ejemplo (19.1):
Resolvamos la ecuación x2 - 5x + 6 = 0 en Z12.
Ahora x2 - 5x + 6 = (x-2) (x-3) sigue siendo válido si consideramos x como un numero en
Z12.Pero en Z12 no solo 0a = a0 = 0 para todas las a € Z12, sino además,
(2)(6) = (6) (2) = (3) (4) = (4) (3) = (3) (8) = (8) (3)
= (4) (6) = (6) (4) = (4) (9) = (9) (4) = (6) (6) = (6) (8)
= (8) (6) = (6) (10) = (10) (6) = (8) (9) = (9) (8) = 0
Así, nuestra ecuación no tiene solo las soluciones 2 y 3, sino también 6 y 11 pues
(6 - 2)(6 - 3) = (4) (3) = 0 y (11 - 2) (11 - 3) = (9) (8) = 0 en Z12
Estas ideas son tan importantes que las formalizaremos en una definición.
Definición (19.2):
Si a y b son dos elementos distintos de cero de un anillo R tal que ab = 0,
entonces a y b son divisores de 0. En particular, a es un divisor izquierdo
de 0 y b es un divisor derecho de 0.
En un anillo conmutativo, todo divisor izquierdo de 0 es también un divisor derecho de 0 y
recíprocamente. Así, no hay distinción entre divisores izquierdos y derecho de cero en un
anillo conmutativo.
