Algebra abstracta fraleigh, Apuntes de Matemática Empresarial

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/ALGEBRA ABSTRACTA “PRIMER CURSO ) John B. Fraleigh 1 Department of Mathematics University of Rhode Istand Versión en español de Manuel López Mateos Universidad Nacional Autónoma de México Con la colaboración de Herminla Ochsenlus A. Pontificia Universidad Católica de Chile + ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA Argentina + Brasil « Chile « Colombla « Ecuador * España Estados Unidos = México = Perú = Puerto Rico + Venezuela Versión en cspañol de la obra titulada A First Course in Abstract Algebra, third edition, de John B. Fraleigh, publicada originalmente en inglés por Addison- Wesley Publishing Company, Inc, Reading, Massachusetts, E.U.A. € 1982, 1976, 1967 por Addison-Wesley Publishing Company Inc. Esta edición en español es la única autorizada. A fa memoria de mí padre PERCY A. FRALEIGH O 1983 por ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA, S, A. Wilmington, Delaware, E.U.A. O 1988 por Sistemas Técnicos de Edición, S, A. de C.V. San Marcos, 102, Tlalpan. 14000 México, D.F. Reservados todos los derechos. Ni todo el libro ní parte de él pueden ser reproducidos, archivados o transmitidos en forma alguna o mediante algún sislema electrónico, mecánico o de folorrepraducción, memoria o cualquier otro, sin permiso por escrito del editor. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, registro número 1312. Impreso en México. Printed ín Mexico, ISBN 0-20)-64052-X Addison Wesley Iberoanaericana ISBN 968-858-077-5 Sistemas Técnicos de Edición ABCDEFGHIJ-M-898 Prefacio a la primera edición El objetivo básico de esta obra es proporcionar un libro de texto a partir del cual el estudiante medio de matemáticas adquiera en un primer curso la mayor exhaustividad y profundidad posibles en el estudio del álgebra abstracta, exclu- yendo el álgebra lineal. Debido a que el álgebra con frecuencia constituye el primer encuentro del estudiante con una disciplina matemática abstracta, el objetivo secundario es sembrar las semillas a partir de las cuales crecerá una actitud matemática moderna, El dominio de este texto deberá constituir una base firme para un trabajo más especializado en álgebra y será de gran ayuda para cualquier estudio axiomático ulterior de las matemáticas. De acuerdo con nuestro objetivo secundario, el texto comienza con una sección introductoria acerca del papel de las definiciones en matemáticas, el cual rara vez se menciona. Para poner énfasis en la importancia de las definiciones, cada término, a lo largo del texto, aparece en negritas en su definición. La parte 1 trata de grupos. El estudio de los grupos y en general de todo el material del texto, toma en cuenta, en la medida de lo posible, la experiencia del estudiante con el álgebra. Con frecuencia resulta difícil, aunque de importancia para el estudiante, comprender el concepto de grupo factor. Por consiguiente, el estudio de grupos factores y homomorfismos se posterga hasta que el estudiante haya tenido tiempo de asimilar el conoepto de grupo, para lo cual el análisis es paulatino y detallado. En las secciones sin asterisco de la parte 1, se presentan algunos resultados importantes bien analizados y con abundantes ejemplos, aunque sín demostra- ción. Me parece que en vista de la amplitud del campo de las matemáticas, es importante adiestrar a los estudiantes para entender y hacer uso de resultados aceptados sin sentir que deben corroborar antes cada detalle de las demostracio- nes. Por supuesto que los matemáticos profesionales lo han hecho durante años. Esta politica concuerda con mi objetivo de lograr cierla profundidad en álgebra, en particular debido a que en muchas escuelas se dedica un solo semestre al estudio de lo que nos ocupa en este libro. La parte 11 está dedicada a anillos y campos. No se escatiman esfuerzos para señalar las analogías con cl estudio anterior de los grupos. En la parte [[ se da principal atención al tema de teoria de campos, que nos conduce a la teoria de Galois y la incluye. Los espacios vectoriales se tratan brevemente, sólo con el fin de desarrollar los conceptos de independencia lineal y dimensión, necesarios en teoría de campos. Debido a que los estudiantes suelen encontras dificil la teoria de campos, he intentado darle un tratamiento paulatino acterando siempre lo que queremos lograr y cómo lo haremos En todo el texto. sin comentarios ni disculpas. se usan propiedades de lus racionales que los estudiantes ya conocen aunque nunca hayan visto sus justilica- ciones rigurosas. Me he dado cuenta que el estudiante medio tiene dificultad para entender la razón de iniciar el estudio formal de resultados que conoce hace años. Después de haber adquirido una visión global de la naturaleza de las esiructuras algebraicas. los estudiantes podrán ver estas propiedades de otra manera. Esta forma de estudio concuerda además con mi objetivo inicial de lograr cierta profundidad en un primer curso. En vísta de que mi deseo es que los estudiantes de álgebra aprepdan lo más posible, decidi tratar de manera muy intuitiva el material de teoria de conjuntos. y sólo conforme fuera necesario. Hay dos maneras de adquirir el conocimiento de las aplicaciones de la teoria de conjuntos: estudiarla per se o sumergirse en ella y usarla según sea necesario. De acuerdo con mi experiencia, los estudiantes en- cuentran el estudio de los «prerrequisitos de teoría de conjuntos» al inicio de un curso de álgebra, como la parte más desalentadora. A este respecto, mi enfoque es reflejo de mi disposición a sacrificar a lo largo del libro la elegancia de la presentación matemática y a veces hasta el lenguaje, en aras de la comprensión en este primer curso. s El texto contiene material suficiente para un curso de dos semestres con alumnos medios. Sia embargo, las secciones ho murcadas con asterixeo se planea ren de manera especifica con el fl de formar an enrío de un semestre. Estas secciones son independientes; en ellas na se empleo el material marcado von usteris- co, y representan mi intento de presentar material de cierta profundidad en algebra, incluso la teoria de Galois, ex sur grupo medio, cn 0 sola semestre. Desde luego. es posible formar una gran variedad de cursos de un semestre a partir del material disponible, Ciertos capitulos marcados con asterisco son adecuados para su estudio fuera de clase, en particular los capitulos 10, 37, 39 y 43. Si no hay tiempo suficiente para terminar la teoria de campos en el texto, el capitulo 35, que analiza minuciosamente el teorema de Kronecker. o bien el capítulo 39, pueden convertirse en sección final satisfactoria. En mi opinión, no vale la pena comenzar el capitulo 40 si no hay tiempo para terminar el material no marcado con asterisco. Los ejercicios al final de un capitulo a menudo están divididos en dos grupos por una recta horizontal. Los que se encuentran en la parte superior se recomien- dan para un grupo medio y probablemente son los que el autor asignar alumnos de la Universidad de Rhode island. Con el objeto de que la trar Indice general capítulo 0 Algenas palabras preliminares 1 0.1 El papel de las definiciones 1 0.2 Conjuntos 2 0.3 Particiones y relaciones de equivalencia 4 PARTE I GRUPOS capítulo 1 Operaciones binarias 10 1.1 Motivación 10 1,2 * Definición y propiedades 11 1.3 Tablas 13 1.4 Algunas palabras de advertencia 13 capltulo 2 Grupos 18 21 Motivación — 18 22 Definición y propiedades elemenlales 19 23 Grupos finitos y tabias de grupo 23 capitulo 3 Subgrupos 29 3.1 “Notación y terminología 29 3.2 Subconjuntos y subgrupos 30 3.3 Subgrupos cíclicos 33 capítulo 4 Permutaciones 1 37 4.1 Funciones y permutaciones 37 42 Grupos de permutaciones 40 4.3 Dos ejemplos importantes 42 capítulo 5 Permetaciones IL 43 5.1 Ciclos y notación cíclica 43 5.2 Permutaciones pares e impares $1 5,3 Grupos alternantes 53 capitalo 6 Grupos clelicos — $7 6.1 Propiedades elementales 57 6.2 Clasificación de grupos cíclicos 60 6.3 Subgrupos de grupos cíclicos finitos 62 capítulo 7 [somorfismo 66 7.1 Definición y propiedades elementales 66 7.2 Cómo mostrar que dos grupos son isomorfos 67 7.3 Cómo mostrar que dos grupos no son isomorfos 69 24 El teorema de Cayley 71 capítulo 8 Productos directos 78 8.1 Productos directos externos 78 *B.2 Productos directos internos — 83 capítulo 9 Grupos abelianos finitemente generados 88 9.1 Generadores y torsión 88 9.2 El teorema fundamental 90 *93 Aplicaciones — 93 *capítulo 10 Grupos en geometría y análisis y *10.1 Grupos en geometría 97 *102 Grupos en análisis 102 "capítulo 18 Teoremas de Sylow 167 *18,J p-grupos 167 *182 Los teoremas de Sylow 169 *capítulo 19 Aplicaciones de la teoria de Sylaw 174 *19.1 Aplicaciones a p-grupos y la ecuación de clase 174 *19.2 Aplicaciones ulteriores 176 *capítulo 20 Grupos abelianos libres 181 *20.1 Grupos abelianos libres 181 *20.2 Demostración del teorema fundamental 184 "capítulo 21 Grupos libres 190 *21.1 Palabras y palabras reducidas 190 *21.2 Grupos libres 191 *21.3 Homomorfismos de grupos libres 193 *214 Más sobre grupos abehanos libres 194 *capítulo 22 Presentaciones de grupos 197 *22.1 Definición 197. *222 Presentaciones isomorlas 193 *223 Aplicaciones 200 PARTE II ANILLOS Y CAMPOS capítulo 23 Anillos 208 231 Definición y propiedades básicas 208 23.2 Cuestiones muhtiplicativas; campos an capítulo 24 Dominios enteros 215 24,1 Divisores de O y cancelación 215 24.2 Dominios enteros 217 24,3 Característica de un anillo 218 244 Teorema de Fermat 219 *24.5 Generalización de Euler 220 "capítulo 25 Algunos ejemplos no conmutativos 224 *25.1 Matrices sobre un campo 224 *25.2 Anillos de endomorfismos 227 *25.3 Anillos de grupo y álgebra de grupo 230 *254 Cuaterniones 232 capítulo 26 El campo de cocientes de un dominio entero 237 26.1 La construcción 237 26.2 Unicidad 242 capítulo 27 Nuestro objetivo fundamental 246 capítulo 28 Anillos cocientes e ideales 250 28.1 Introducción 250 28.2 Criterios para la existencia de un anillo de clases laterales 28.3 Ideales y anillos cocientes 253 capítulo 29 Homomorfismos de anillos 257 29.1 Definición y propiedades elementales 257 29.2 Ideales maximales y primos 259 29.3 Campos primos 262 capítulo 30 Anillos de polinomios 266 30.1 Polinomios En una indeterminada 266 30.2 Homomorfismos de evaluación 270 30.3 El nuevo enfoque 273 capítulo 31 Factorización de polinomios sobre un campo 277 31.1 El algoritmo de la división en F[x] 2n 31,2 Polinomios irreducibles 281 31.3 Estructura de ideal en F[x] 285 314 Unicidad de la factorización en F[x] 236 *capítulo 32 Dominios de factorización única 291 *32.1 Introducción 291 $322 Todo DIP es un DFU 293 *32.3 Si D es un DFU, entonces D[x] es un DFU 297 251 capitulo 40 Automorfismos de campos 338 40.1 Isomorfismos básicos de la teoría de los campos algebraicos 368 40.2 Automorfismos y campos fijos 3n 40.3 El automorfismo de Frobenius 375 capitulo 41 El teorema de extensión de isomorfismos 37 41,1 El tecrema de extensión 379 41.2 Indice de uu campo de extensión — 331 *41.3 Demoslración del leorema de extensión 384 capítulo 42 Campos de descomposición 388 capítulo 43 Extensiones separables 394 43.1 Multiplicidad de los ceros de un polinomio 394 43.2 Extensiones separables 396 43.3 Campos perlectos 393 *43.4 Teorema del elemento primitivo 400 *capitulo 44 Extensiones totalmente inseparables 404 *44.1 Extensiones totalmente inseparables 404 *44.2 Cerraduras separables 406 capitulo 45 Campos finitos 409 45.1 Estructura de un campo finito 409 45.2 La existencia de CG(p) 411 capítulo 46 Teoría de Galois 415 46.1 Resumen 415 46.2 Extensiones normales 416 463 El teorema principal 417 464 Grupos de Galois sobre campos finitos — 420 *46.5 Final de la demostración del teorema principal 421 *capitulo 47 Hustraciones de la teoría de Galois 426 *47.1 Funciones simétricas 426 co» *47.2 Ejemplos 428 611 Algunas palabras preliminares 0.1 EL PAPEL DE LAS DEFINICIONES La mayoría de los estudiantes no comprenden la enorme importancia que tienen las definiciones en matemáticas. Esta importancia surge, en parte, de la necesidad de Jos matemáticos de comunicarse entre si acerca de su trabajo. Si dos personas que tratan de intercambiar opiniones acerca de un tema tienen ideas diferentes acerca del significado de ciertos términos técnicos, puede haber malos entendidos, fricciones y, quizá, hasta derramamiento de sangre. Imaginen los aprietos en que se encuentra un carnicero frente a un cliente iracundo que trata de comprar lo que todo el mundo liama un costillar pero él insiste en llamar lomo. Desafortuna- damente, parece imposible alcanzar el ideal de una terminología generalizada, ni siquiera entre seres tan precisos como los matemáticos. Por ejemplo, cuando se habla de funciones en matemáticas, los matemáticos han dado, al término rango, dos significados distintos, Es por ello que, hoy día se tiende a evitar el uso de este término ambiguo y en su lugar, se usa imagen o contradominio. En matemáticas debernos luchar para evitar ambigiedades. Un ingrediente muy importante de la creatividad matemática es la capacidad de elaborar definiciones útiles que conduzcan a resultados interesantes. Un estudiante que inicia estudios de posgrado podría pensar que invierte mucho tiempo discutiendo definiciones con sus compañeros. Cuando el autor hacia estudios de posgrado oyó quejarse a un estudiante de fisica, quien afirmaba que durante la comida los estudiantes de matemáticas siempre se sentaban juntos y discutian, y que el objeto de sus discusiones era siempre una definición. Es común, en los exámenes orales, preguntar definiciones. Si un estudiante no puede explicar el significado de un término, probablemente tampoco pueda dar respues- tas sensatas a preguntas que incluyan dicho concepto. - 0.2 CONJUNTOS 3 3 Podemos describir un conjunto aludiendo a una propiedad que caracterice a los elementos, como «el conjunto de todos los miembros del senado de Estados Unidos», o listando los elementos. La manera usual de describir un conjunto mediante el listado de sus elementos, consiste en encerrar en llaves las designaciones de los elementos, separados por comas, por ejemplo, [1, 2, 153. Si se describe un conjunto mediante la propiedad P(x) que caracteriza a sus elementos x, también es común usar la notación Íx] P(x)), que se lec «el conjunto de todas las tales que la proposición P(x) acerca de x es verdade- ra». Asi, - (2, 4, 6,8] = (x]x es un número entero positivo par < 8) Px|x =1,2,3,4). H 4 Decir que un conjunto está bien definido, significa que si $ es un conjunto y « es un objeto, entonces, o a está sin lugar a dudas en 5, lo que se denota por 4 € S, o a, sin lugar a dudas, no está en S, lo que se denota por «ÉS. Por tanto, no debemos decir: «considérese el conjunto S de algunos números positivos», pues no está definido si 2e S o 2 $. Por otra parte, si podemos considerar el conjunto 7 de todos los enteros positivos primos. Todo entero positivo es definitivamente primo o no lo es. Así, 5eT y 144 T. En la práctica puede ser dificil determinar si un objeto está realmente en un conjunto. Por ejemplo, cuando este libro entró a la imprenta no se sabía si 22% + 1 estaba en T; sin embargo, 22”? + 1 con certeza o es primo, o no lo es, Para el estudiante al cual está dirigido este libro, no será posible basar cada definición en el concepto de conjunto. El autor está consciente de que consiruye sobre definiciones muy intuitivas, particularmente, al principio del libro. La primera definición del capítulo 1 dice: «una operación binaria en un conjunto es una regla ... conjunto». Y ... ¿qué es una regla? En este libro trabajaremos con varios conjuntos de números ya conocidos. Abordaremos el asunto de la notación de estos conjuntos de una vez y para siempre. Z es el conjunto de todos los enteros (es decir, números enteros: positivos, negativos y cero). Z* es el conjunto de todos los enteros positivos. (Se excluye el cero.) Q es el conjunto de todos los números racionales (esto es, números que pueden expresarse como el cociente m/n de enteros, donde » X 0). Q* es el conjunto de tódos los números racionales positivos. R es el conjunto de todos los números reales. R* es el conjunto de todos los números reales positivos. C es el conjunto de todos los números complejos, 4 ALGUNAS PALABRAS PRELIMINARES 0.3 PARTICIONES Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA Se desc Q como e! conjunto de tudos los números que pueden expresarse como cocientes mn de enteros, donde » % O. Seria incorrecto describir Q como el corjunto 5 de todas las «expresiones cociente» mín para m y nen Z yn +0 pues, claramente, 4 y $ son expresiones de cociente distintas pero subemos que representan el snismo número racional De hecho, cada elemento de Q está representado por un número infinito de distintos elementos de S. En aritmética. identificamos como uno solo a los elementos de S que representan el mismo número racional en Q. La ilustración del párrafo anterior es típica de algunas situaciones en las que consideraremos elementos diferentes de un conjunto como arilmética o algebrai- camente equivalentes, de manera que nuestro conjunto se porte en celdas, cada una de las crales podremos considerar como una entidad aritmética o algebraica única. Si ó es un elemento de dicho conjunto, 5 representa, por lo general, lu celda de todos los elementos identificados con h. Por ejemplo, en el conjunto anterior $ de cusientes formales, tenemos m 5f2-24-46-6 DI | Ú ——> e|2 =|5 nsLyn eo» Demos una definición precisa de dich” partición. Definición Una partición de un conjunto es una descomposición del conjun- to en celdas, lales que todo elemento del conjunto está en exactamente vena de las celdas. Dos celdas (o conjuntos) que no tengan elementos en común son ajenas. Ási, las celdas de una partición de un conjunto son ajenas. ¿Cómo sabremos si dos expresiones cocientes mn y rjs de nuestro conjunto S anterior están en la misma celda, esto es, si representan al mismo número racional? Una manera de decidirlo es reducir ambas fracciones a su expresión más simpk. Esto puede ser difícil. por ejemplo, 1909/4897 y 1403/3599 represen- tan el mismo número racional, pues 1909 _ 23:83 1403 _ 23-61 4897 — 59-83 Y 3599 — 59-61 Sin embargo, aun con una ca! uladora manual, puede ser dificil encontrar estas factorizaciones, es una tarca de adivinar y corregirun poco tediosa, Pero como 6 ALGUNAS PALABRAS PRELIMINARES que 5 también es parte de á y, por tanto, $ = í, con lo cual queda completa nuestra demostración. m Definición Una relación - en un conjunto $, que satisfaga las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva descritas en el teorema 0.1, es una relación de equivalencia en S. Cada celda a en la partición natural dada por una relación de equivalencia es una cfase de equivalencia. Par lo general, reservamos el simbolo — para una relación de equivalencia. Usaremos % para una relación entre elementos de un conjunto $ que no es por fuerza una relación de equivalencia en S. El término natural, que aparece dos veces en el teorema 0.1, tiene el siguiente significado: si se empieza con una relación de equivalencia, luego se forma la partición de clases de equivalencia y se considera después la relación dada por esta partición, se trata de la relación de equivalencia original. En forma análoga, si se comienza con una partición, luego se pasa a la relación de equivalencia y después se construyen las clases de equivalencia, se obtiene la partición original. Ejemplo 0.1 Verifiquese directamente que mín «< rís si y sólo sims = ar es una relación de equivalencia en el conjunto S de expresiones cociente formales que consideramos antes. Reflexividad. mjn —.m(/n, puesto que ma = am. Simetría. Si m/n — r/s, entonces, ms = ar. De aquí que ra = si y, por tanto, rs — min. Transitividad. Si min — 7/5 y r[s -- ufo, entonces as = ar y ru = su. Reor- denando términos y sustituyendo, obtenemos mos = »ms = var = nro = = nu = nus. Como s 4 0, deducimos que mo = ru, entonces, m/a — 4/t, Se considera que cada clase de equivalencia de $ es un número racional. m El análisis del conjunto S de expresiones cociente formales que culminó con el ejemplo 0.1 es un caso particular del trabajo que llevaremos a cabo en el capí- tulo 26. Ejemplo 02 Definase una relación 4 en el conjunto Z mediante n A mn si y sólo si nm > 0 y véase si % es una relación de equivalencia. Reflexividad. a % a, pues 2? > 0 pata toda acZ. Simetría. Si a % b, entonces ab > 0; por tanto, ba >0 y bAa, Trensitividad. Si aRb y b9c, entonces ab > 0 y be > 0. Entonoes, able = = ach? > 0. Si supiéramos que b? > 0, podríamos deducir que ac > 0 y, por tanto, que a%c. Debemos examinar por separado el caso en que b=0. EJERCICIOS 7 Pensándolo bien vemos que —34'0 y 0% 5, pero -3/465, asi que la relación f no es transitiva y, por tanto, no es una relación de equivalencia. Para cada 4 € Z* tenemos una relación de equivalencia en Z muy importante: la congruencia módulo n. Para A, ke Z definimos A congruente com 4 módula «, lo cual se escribe h = k (mod n), si hi — k es divisible entre n, es decir, que hi — k = ns para alguna s e Z. Por ejemplo, 17 = 33 (mod 8) puesto que 17 — 33 = 8( — 2). Las clases de equivalencia para la congruencia módulo n son las clases residuales módulo 1. Cada una de estas clases residuales contiene un número infinito de elementos, Por ejemplo, pueden convencerse fácilmente de que, para la congruencia módulo 8, la clase residual que contiene el 17 y el 33 es $, 47, -39, -31, 23, -15. —7,1,9, 17, 23, 33, 41, 49, 3]. Esta clase residual contiene cada octavo número, comenzando con 1. De hecho, hay siete clases residuales más en la partición dada por la congruencia módulo 8. En el ejercicio 0.18 pedimos mostrar que, en efecto, la congruencia módulo 7 es una relación de equivalencia y que examinen algunas otras clases residuales. Ejercicios - En los ejercicios 1 al 4, describase el conjunto listando sus elementos. OL (seRixi=3) 9 [meZ|n =3) 03 (meZ|ma = 60 para algunaneZ) 04 (meZ[m? —-m < 115) En las ejercicios 5 el 10 digase sí la descrito es en efecto un conjunto [si está bien definido). Dése otra descripción para cada conjunto. 05 (ne Z*|nes un número grande) 06 (reZla? <0) 87 (EZ |39

0 01 sAyenRsix 27 413 x Ren R sil] lol 014 xy en Hsilx— 9153 015 námen Z* sin y m tienen el mismo número de digitos en la notación usual de base dicz, 0.16 14 men Z* si n y m tienen el mismo dígito final en la notación usual de base diez.