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ÁLGEBRA
SEMANA 06: CONJUNTOS NUMÉRICOS,
SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES,
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO, ECUACIÓN
CUADRÁTICA, PLANTEO DE ECUACIONES
CONJUNTOS NUMÉRICOS
0 1. Señale la alternativa que presenta la secu-
encia correcta, después de determinar si la
proposición es verdadera (V) o falsa(F):
I. Existe una mayor cantidad de números
naturales que de números enteros.
II. Dado un número racional, es posible
encontrar otro racional que le sigue.
III. Un número entero negativo es un número
racional.
A) VVV B) VFV C)VFF
D) FFV E) FFF FINAL 2015 - 1
0 2. Indique la secuencia correcta, después de
determinar si las proposiciones son verda-
deras (V) o falsas (F).
I. La suma de todos los números enteros siem-
pre da cero.
II. La mayoría de números reales son irracionales.
III. Existe mayor cantidad de números racio-
nales que de enteros.
A) VVV B) FVV C) FVF
D) FFV E) FFF
0 3. Indique la secuencia correcta, después de
determinar si las proposiciones son verda-
deras (V) o falsas (F).
I. El producto de un número racional con un
irracional es siempre irracional.
II. Existe mayor cantidad de números pares
que números primos.
III. Existe mayor cantidad de números natura-
les que de números naturales múltiplos de 3.
A) VVV B) VVF C) FVF
D) FFV E) FFF
0 4. Indique la secuencia correcta, después de
determinar si las proposiciones son verda-
deras (V) o falsas (F).
I. Existe la misma cantidad de números natu-
rales múltiplos de 5 que de múltiplos de 8.
II. Existe mayor cantidad de números irracio-
nales que de números racionales.
III. Existe mayor cantidad de números naturales
que de números naturales múltiplos de 5.
A) VVV B) VVF C) FVF
D) VFF E) FFF
0 5. Indique la secuencia correcta, después de
determinar si las proposiciones son verda-
deras (V) o falsas (F).
I. La suma de un número racional con un
irracional es siempre irracional.
II. Entre dos números reales distintos existen
infinitos números racionales e irracionales.
III. Existe mayor cantidad de números enteros
”ℤ”, que de naturales ”ℕ”.
A) VVV B) VVF C) VFF
D) FVF E) FFF
SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
0 6. De los siguientes enunciados:
I. a ℝ, b ℝ, c ℝ: (a.b).c = a.(b.c)
II. a ℝ: a.1 = a
III. a ℝ, b ℝ : a.b ℝ
IV. a ℝ, ∃!0 ℝ / a.0 = 0
Indique la cantidad de axiomas de la
multiplicación de los números reales:
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
0 7. Indique la cantidad de enunciados que no
son axiomas de los números reales en:
I. a ℝ, b ℝ, c ℝ: ab+ca = a(b+c)
II. a ℝ, ∃! a
‒ 1
ℝ / a.a
‒ 1
III. a ℝ, b ℝ : a‒b ℝ
IV. Dados a,b ℝ: a‒b=a+(‒b)
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
0 8. Dados los siguientes enunciados:
I. a ℝ, b ℝ : a − b = b − a
II. a ℝ: a/0 = ∄
III. a, b ℝ : (a − b)
2
= a
2
− 2ab + b
2
IV. a, b, c ℝ : (a.b).c = b.(a. c)
Si M representa el número de enunciados que
son axiomas y N representa el número de
enunciados no axiomáticos de los números
reales (ℝ).
La relación correcta entre M y N es:
A) M > N B) M < N C) M = N
D) M > 2N E) N = 2M
0 9. Indique la secuencia correcta, después de
determinar si las proposiciones son verda-
deras (V) o falsas (F).
I. En el conjunto de los números naturales no
se cumplen los axiomas A4, A5 Y M5.
II. En el conjunto de los números enteros se
cumplen los 11 axiomas de cuerpo que se cum-
plen en los números reales.
III. En el conjunto de los números racionales se
cumplen los 11 axiomas de cuerpo que se
cumplen en los números reales.
A) VVV B) VFV C) VFF
D) FFV E) FFF
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
- Determine “a” para que la ecuación:
3ax‒3=6x‒a no tenga solución
A) 3 B) 2 C) 1
D) 0 E) ‒
- Determine m+n sabiendo que la ecuación
en x;
mx 1 x 2
x 2
n 4
− = +
tiene infinitas soluciones.
A) 0,4 B) 1 C) 1,
D) 2 E) 2,
- Determine la solución de:
x − x − x −
A) 30 B) 2 + 3 + 5
C) 6 + 10 + 15 D) 2 + 15
E) 10
- Determine la solución de:
x a x b x c
b c a c a b
Si: {a; b; c} ⊂ ℝ
A) a ⎯ b ⎯ c B) abc C) a + b + c
D) 0 E) a + b + c
- Resolver para x
n ax n bx n cx n
4x
b c a c a b a b c
, a, b, c, n > 0.
A) a + b + c B) n(a + b + c)
C)
n
a + b +c
D)
a b c
n
E)
a 2b 3c
n
- Resolver la ecuación en x:
; si ;
a > 0, b > 0, c > 0.
A) B) C)
D) E)
- Resuelva la siguiente ecuación de incógnita 𝑥:
2
2
Considere que ab ≠ 0 ;a
2
≠ b
2
y a
2
2
Luego determine (
x−a
b
2
A) a + 2 b
2
B) 4 b
2
C) 9a
2
D) a
2
E) 4
- Si ac + ad + bc + ab + bd = 0, determine el
valor de x de modo que:
b+c+d = x(a+c+d)
A)
2
2
b
a
B)
2 2
a .b C)
2 2
a + b
D)
2 2
a − b E)
2
a
b
UNI 2000-II
- Halle la suma de cifras de x
2
+1, luego de
resolver:
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
ECUACIÓN CUADRÁTICA
- Si {a; b} es el conjunto solución de la ecua-
ción:
2
2x − x + 3 = 0 , entonces el valor de
( )( )
T = 2a − 1 2b − 1 + 8 es:
A) 10 B) 12 C) 14
D) 15 E) 17
- Si:
1
x y
2
x son las raíces de la ecuación
2
mx − m + 1 x + m + 2 = 0 y satisfacen la condi-
ción ( ) ( )
2 2
1 2 1 2
x + x − x − x = 8
Entonces el valor de m es:
A) 2 B) 5 C) 7
D) 8 E) 12
- Siendo la ecuación
2
3 x − 2 x + 5 = 0 ; de
raíces x 1
; x 2
, calcule el valor de
2 2 3 3
1 2 1 2
x + x + x + x.
A)
B)
C)
D) 1 E) ‒160/
- Sean a y b las raíces de la ecuación:
x
2
- kx+12=0, que verifican la condición:
Calcule el valor positivo de k.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5 2 ° CEPRE 2013- 1
mx a mx b mx c
b c c a a b
1 1 1
m
ab bc ca
= + +
a + b +c
a b c
abc
abc
3
3abc
siendo S 2
, S
3
y S 4
la suma de los cuadrados,
cubos y cuantas potencias de las raíces de la
ecuación respectivamente.
A) a/b B) b/a C) ab
D) −b E) −a/b
- Calcular
x
1
8
+x
2
8
x
1
9
+x
2
9
; Si:
x
1
7
+x
2
7
x
1
8
+x
2
8
𝑎
𝑐
Donde: 𝑥 1
2
son las raíces de:
ax
2
A) (a − b)
− 1
. a B)(a + b)
− 1
. b
C)−
a + b
− 1
. a D) −
a − b
− 1
. b
E)
a + b
− 1
. a
- Determine la suma de los cuadrados de las
raíces de la ecuación:
2
(2 k + 2) x + (4 − 4 ) k x − 2 = 0 sabiendo que las
raíces son recíprocas.
A) 5 B) 82/9 C) 10
D) 13 E) 34
- En la siguiente ecuación:
( ) ( ) ( )( )
2
k + 1 x + 3 x = k − 1 5 x + 2
Las raíces son simétricas, entonces el valor de
2
k es:
A) 9 B) 16 C) 25
D) 121 E) 144
- Si x
2
‒ x ‒ α = 0 y 3x
2
tienen las mismas raíces, determine α+ m.
A) 6 B) 12 C) 3
D) 5 E) 8
- Si p y q son valores reales tal que las ecua-
ciones cuadráticas; 8x
2
(7q – 2)x
2
- (5q – 3) x + 1 = 0 tienen las
mismas raíces, entonces q/p es igual a:
A) 2 B) 4 C) 5
D) 6 E) 8
- Si las ecuaciones
2
ax + bx + c , a≠0 y
2
mx + nx + p = 0 ,m≠0, tienen una raíz común
se cumple que:
A)
( )( ) ( )
2
an − bm bp − cn = ap − cm
B)
( )( ) ( )
2
am − bn bn − cp = ap − cm
C)
( )( ) ( )
2
am − bn bp − cn = ac − pm
D)
( )( ) ( )
2
an − bm bc − pn = ap + cm
E)
( )( ) ( )
2
an + bm bp + cn = ap + cm
- La condición para que las ecuaciones
cuadráticas
x
2
2
′
x + c
′
Tengan una raíz en común es
A)
b − b
′
2
c − c
′
bc
′
− b
′
c
B)
c − c
′
2
b − b
′
C)
b − b
′
bc
′
− b
′
c
D)
c − c
′
2
bc
′
− b
′
c
E) (c − c
′
2
′
)(bc
′
− b
′
c) = 0
UNI 2000-II
- Considere las siguientes ecuaciones cua-
dráticas, donde a≠1:
2
2
2
Sabiendo que las 3 ecuaciones poseen una raíz
real en común y una de las ecuaciones posee 2
raíces enteras positivas, siendo una el triple de
la otra, determine a+b.
A) – 1 B) – 2 C) – 3
D) – 4 E) – 5 UNI- 2016 - I
- Las ecuaciones de segundo grado:
2
2
′
′
Tienen una raíz común si:
′
2
′
Determínese la condición para que las
ecuaciones
3
2
Tengan una raíz común.
A)
r − p − q
r
2
− pr + q
B)
r + q
2
r − p − 1
2
C) (r + q)
2
2
− pr + q) = 0
D) (r + q)
2
E) (r + q)
2
− (r + p + 1 )(𝑟
2
ADMISIÓN UNI 2010-II
PLANTEO DE ECUACIONES
- Cierto número de revistas se compró por
S/. 100. Si el precio por ejemplar hubiese sido un
sol menos, se tendrían 5 ejemplares más por el
mismo dinero ¿Cuántas revistas se compraron?
A) 7 B) 10 C) 20
D) 24 E) 36
- Una fábrica vende 15000 unidades de un
artículo a $80 cada uno; pero por cada $2 de
incremento en el precio, la cantidad de ar-
tículos vendidos disminuye en 40 unidades.
Determine el precio mínimo que se puede fijar
para obtener un ingreso de $1820000.
A) 50 B) 80 C) 130
D) 180 E) 190
- Un comerciante compra un determinado
número de lapiceros por 180 soles y los vende
todos menos 6 con una ganancia de 2 soles en
cada lapicero. Sabiendo que con el dinero
recaudado en la venta podría haber comprado
30 lapiceros más que antes, determine el
precio de cada lapicero (en soles).
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6 CEPREUNI - 2015 - 2
- Se compró un cierto número de manzanas
por n soles. Al día siguiente le hubieran dado
m manzanas más por el mismo dinero, con lo
cual el precio de una manzana hubiera sido 1
centavo menos. Halle la ecuación de segundo
grado que permita hallar el número de man-
zanas que se compró.
A) x
2
B) x
2
C) x
2
D) x
2
E) mx
2
- Pedro le dice a Juan: si divides mi edad
entre dos, le sumas la edad de mi papá que es
el doble de la mía obtendrás 3 veces mi edad
restada en 10 años ¿cuántos años tengo?
A) 16 B) 17 C) 18
D) 19 E) 20
PROFESOR: IVÁN ALARCÓN
