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PRODUCTOS NOTABLES
LA EDUCACIÓN Y EL DEPORTE DE LA MANO ALGEBRA - SECUNDARIA
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma
directa sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva, ello por la forma como la
presentan.
1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Es el desarrollo del binomio suma o diferencia al cuadrado.
(a + b)
2 = a
2
2
TCP
(a - b)
2 = a
2
2
EJEMPLOS:
(a + 3)
2 = a
2
2 = a
2
(2x + 5)
2 = (2x)
2
2
= 4x
2
(x - 7)
2 = x
2
(3x - 1)
2 = 9x
2
(x + 6)
2 = x
2
2 = x
2
(4x + 3)
2 = 16x
2
(m - 4)
2 = m
2
(5m - 2)
2 = 25m
2
De acá se generan las identidades de Legendre:
(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2 )
(a + b)
2
2 = 4ab
EJEMPLOS:
(3x + 2)
2
+ (3x - 2)
2
= 18x
2
(4x + 7)
2
2 = 112x
(3x + 5)
2
2 = 18x
2
(x + 9)
2
2 = 36x
3. BINOMIO AL CUBO (SUMA)
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3
= a^3 + b^3 + 3ab(a + b) *****
BINOMIO AL CUBO (DIFERENCIA)
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3
= a^3 - b^3 - 3ab(a - b) *****
EJEMPLOS:
(x + 3)
3 = x
3
2 (3) + 3(x)(3)
2
3 = x
3
2
(a – 5)
3 = a
3
2
(y + 2)
3 = y
3
2
(m – 1)^3 = m^3 – 3m^2 + 3m - 1
Las equivalencias que aparecen con asterisco son para problemas con condición.
4. SUMA DE CUBOS
(a
**3
3 ) = (a + b)(a
2
- ab + b
2 )
DIFERENCIA DE CUBOS
(a
3
- b
3 ) = (a - b)(a
**2
2 )
EJEMPLOS:
(a + b)(a
2
- ab + b
2 ) = (a
**3
3 )
(x + 2)(x
2
- 2x + 4) = (x
**3
3 ) = x
**3
(a - b)(a
**2
2 )= (a
3
- b
3 )
(y - 5)(y
**2
3
- 125
(2x + 3)(4x
2
- 6x + 9) = 8x
**3
(5x - 1)(25x^2 + 5x + 1) = 125x^3 - 1
(a + 4)(a^2 – 4a + 16) = a^3 + 64
(m - 2) ( m
2 +2m+4) = m
3
- 8
(4x + 3) ( 16x
2
- 12x + 9 ) = 64x
**3
(x
2
- 2) (x
**4
**2
6
- 8
1. Si: (x + 1)
3 ax
**3
**2
Hallar: 3
a d
b c
a) 1 b) 3 c) 4 d) 1/3 e) 2/
Solución:
(x + 1)
3 = x
**3
**2
**3
**2
a=1 ; b=3 ; c=3 ; d=
2. Si: (x - 2)
3 mx
**3
**2
Hallar: 1
5
5
1 6
1 12 8
m n
m p q
a) 2 b) - 2 c) 1
d) - 1 e) 0
(a - b)
3
= a
3
2
b + 3ab
2
3
(x - 2)
3 = x
3
- 6x
**2
(x - 2)
3 mx
**3
**2
m=1 ; n=- 6 ; p=12 ; q=- 8
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
3. Si: (x + 2) (x
2
- 2x + 4) ax
**3
Calcular: a b 1 8 9 3
a) 3 b) 4 c) 2
d) 1 e) 5
Solución:
(a
3
+ b
3
) = (a + b)(a
2
- ab + b
2
(x
3
+ 8) = (x + 2) (x
2
- 2x + 4)
x
3
+ 8 = ax
**3
a= 1 ; b=
- Simplificar: M= (a + b)
3
- 3ab(a + b)
a) a
3 b) b
3 c) a
3
3
d) 0 e) a
3
3
Solución:
(a+b)
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a+b)
M = (a + b)
3
- 3ab(a + b)
M = a
3
+ b
3
+ 3ab(a+b) - 3ab(a + b)
M = a
3
3
- Reducir: 3
3 3 ( ) 3 ( )
a
a b b ab a b G
a) a
3
3 b) a
3 c) b
3
d) 0 e) 1
Solución:
(a - b)
3 = a
3
2 b + 3ab
2
3
= a
3
3
3
3 3 3 3 ( ) 3 ( )
a
a b ab a b b ab a b G
G 1
- Reducir:
A = (2x + 3)
2
- (2x - 3)
**2
2
- 8x
2
- 16
a) 0 b) 2 c) x
d) x
2 e) 2x
2
Solución:
A = 4(2x)(3) + 9x
2
2
A = 24x + 9x
2
2
A = x
2
9. Reducir:
2 2 A ( 2 3 3 2 ) ( 2 3 3 2 )
a) 15 b) 20 c) 25
d) 60 e) 67
Solución:
(a + b)
2
2 = 2(a
2
2 )
A = 2[ 12 + 18]
A = 2(30)
A = 60
10. Efectuar:
E = (x + 2)(x - 2)(x
**2
**4
a) x b) x
2 c) x
4
d) x
6 e) x
8
Solución:
E = (x + 2)(x - 2) (x
**2
**4
E = (x
2
- 4) (x
**2
**4
E = (x
4
- 16) (x
**4
E = x
8
- 256 + 256
E = x
8
