3. Hallar una aproximación del valor numérico de Ln (2), dando una cota del error
cometido, utilizando los polinomios de MacLaurin de grado 5 de las funciones: a)
f(x) = Ln(1+x); b) g(x) = Ln((1+x) /(1-x)). Escribir las Fórmulas de MacLaurin de las
funciones f(x) y g(x).
a) ENTRADA:
calculando la derivada n-ésima, fn(x) = (-1)n-1 (n-1)!(1+x)-n , se puede escribir la
fórmula de Maclaurin:
f(x) = f(0) +
f ´(0)
1!
x +
f ´ ´ (0)
2!
x2 +
f ´ ´ ´ (0)
3!
x3 +…+
fn(0)
n !
xn + Rn (x)
ln (1+x) = x-
x2
2
+
x3
3
+
x4
4
+…+ (-1)n-1
xn
n
+ (-1)n
x n−1
n+a
(1+c) –(n+1)
T (ln(1+x), a=0, n=5) = x -
x2
2
+
x3
3
-
x4
4
+
x5
5
PROCESO:
Sustituyendo x=1; resulta Ln(2) ≈ 0.783333. acotamos el error con la formula del
resto:
R n=5 (x) = f6 (c)
x6
6!
= (-1)5
x6
6(1+c)6
con c ∈ (0,x)
SALIDA:
R5(1) ≤ 0.167 cota de error
B) ENTRADA:
Utilizando la expresión anterior:
ln (1+x) = x-
x2
2
+
x3
3
+
x4
4
+…+ (-1)n-1
xn
n
+ (-1)n
x n−1
n+a
(1+c) –(n+1)
se obtiene :
ln (1+x) = -x-
x2
2
-
x3
3
-
x4
4
- … -
xn
n
-
x n+1
n+1
(1-c) –(n+1)
PROCESO:
que juntas dan:
ln (
1+x
1−x
) = ln (1+x) – ln(1-x) = 2x +
2x3
3
+ … + ((-1)n-1 + 1)
xn
n
+
x n+1
n+1
((-1)n (1+c)-(n+1)+ (1-c)-(n+1))
SALIDA:
ahora ln (
1+x
1−x
) = 2 ---- X= 1/3 y con: T (ln(
1+x
1−x
), a=0,n=5) = 2x +
2x3
3
+
x5
5
