AM / ITIS – 2009-2010 – diciembre
1. Pon en Forma Binómica el resultado de Rx
i
x
i
ix ∈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
+
−2
27
1
SOLUCIÓN:
Hacemos primero los dos cocientes dentro del paréntesis y por último elevaremos al cuadrado. El primer cociente
será:
()()
()()
i
xxiixix
ii
iix
i
ix ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
+
+−−
=
−⋅+
−⋅−
=
+
−
2
1
2
1
11
11
1
122
2
Como el segundo cociente será:
iii −=≡ 327 xi
i
i
i
x
i
x
i
x=
+
+
⋅
−
=
−
=
27
Ahora sumamos los dos cocientes, antes de elevar al cuadrado:
()
i
x
i
xx
i
xx
ix
xx
ix
xx
xii
xx
i
x
i
ix
+⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
+
−
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22
1
2
1
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
127
Finalmente hacemos el cuadrado, lo cual haremos directamente en Forma Binómica ya que la potencia 2 es baja,
pero en el caso de que fuese una potencia mayor de 2, lo lógico sería pasar primero el resultado anterior a Forma
Polar1 y luego utilizar la Fórmula de Moivre:
() ()
()
()
() ()
i
x
i
x
i
x
ii
x
i
x
i
x
i
x
i
ix
2
1
2
4
1
121
2
1
21
2
1
1
2
1
1
2
1
1
22
2
2
2
2
2
2
2
27
−
=⋅
−
=−+⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=++⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=+⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡+⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
+
−
2. Estudia el carácter de la siguiente familia de series numéricas:
+
∞
=
∈
⋅⋅
∑Ra
na
n
nn
n
1!
SOLUCIÓN:
Utilizamos el Criterio del Cociente y simplificamos:
()
() ()
() ()()
()
a
e
n
n
lím
a
nn
nn
lím
a
nna
n
lím
na
n
na
n
lím
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
⋅=
⋅+
+⋅+
⋅=
⋅+⋅
+
=
⋅⋅
⋅+⋅
+
∞
∞→∞→
+
∞→
+
+
∞→ 43421
1
1
1
1
11
1
111
1
1
!
!1
1
n+1
a
Luego:
- Serán convergentes las que cumplan ea
a
e>⇒< 1
- Serán divergentes las que cumplan ea
a
e<⇒> 1
- Serán dudosas las que cumplan ea
a
e=⇒= 1
1 El módulo de
()
⎛ es
i
x+⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
−1
2
1
()
2
2
1
11
2
122
2
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−xx y su argumento es
(
)
º451arctan
+
=
=
α
luego en Forma Polar
()
⎛ se escribirá
i
x+⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
−1
2
1
º45
2
2
1⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−x
1
