Problemas y cuestiones relacionadas con la derivada y la integración multivariable - Prof., Apuntes de Economía

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ANALISIS MATEMATICO (UAM)

EXAMEN ANALISIS MATEMATICO 2016

LOMAS NIELFA, PEDRO 16-

EXAMEN AN ´ALISIS MATEM ´ATICO

Grado en Econ´omicas ENERO 2016.

Apellidos: DNI:

Nombre: Grupo:

CUESTIONES TEST [ 3 puntos]: Marque las respuestas a las cuestiones de test en el cuadro siguiente:

1 a b c d 2 a b c d 3 a b c d 4 a b c d 5 a b c d

1. Sea la funci´on f (x, y) =

xe(1+y^2 ). Se verifica que:

(a) La curva de nivel 1 de f no existe. (b) El punto (1, 1) pertenece a la curva de nivel e de f. (c) El punto (− 1 , 0) pertenece al dominio de f. (d) El punto (0, 0) pertenece al dominio de f.

2. En la figura siguiente se representan las curvas de nivel −1, 0 y 1 de una funci´on f. Se verifica que:

(a) fx(1, 2) = 0 (La derivada parcial de f respecto de x en el punto (1, 2) es cero).

(b) El punto (2, 2) pertenece a la curva de nivel −1.

(c) f (1, 2) = −1.

(d) fy (1, 2) = 0 (La derivada parcial de f respecto de y en el punto (1, 2) es cero).

3. Sea f una funci´on diferenciable y homog´enea de grado 3. Se verifica:

(a) f (1, 0) = fx(1, 0). (b) f (2x, 2 y) = 2f (x, y). (c) f (2x, 2 y) = 8f (x, y). (d) fx(x, y) es una funci´on homog´enea de grado 3.

4. Sea f : R^2 → R una funci´on diferenciable en R^2 tal que f (1, 2) = 1 y ∇f (x, y) = (4, −3) para todo (x, y) ∈ R^2. Se verifica que:

(a) La funci´on f es creciente respecto de la variable y en un entorno del punto (1, 2). (b) f es una funci´on constante. (c) Si aumentamos en una unidad el valor de la variable x la funci´on disminuye aproximadamente en un 40%. (d) f (1′ 05 , 2) ≈ 1 ′2.

5. Una funci´on primitiva de la funci´on f (x) = xex^ en el intervalo [0, 10] es:

(a) G(x) = xex^ − 10 ex (b) G(x) = xex^ + x (c) G(x) = ex(x − 1) + 3 (d) G(x) = xex

EXAMEN AN ´ALISIS MATEM ´ATICO

Grado en Econ´omicas ENERO 2016.

Apellidos: DNI:

Nombre: Grupo:

CUESTIONES TEST [ 3 puntos]: Marque las respuestas a las cuestiones de test en el cuadro siguiente:

1 a b c d 2 a b c d 3 a b c d 4 a b c d 5 a b c d

1. Sea la funci´on f (x, y) =

xe(1+y^2 ). Se verifica que:

(a) La curva de nivel 1 de f no existe. (b) El punto (1, 1) pertenece a la curva de nivel e de f. (c) El punto (− 1 , 0) pertenece al dominio de f. (d) El punto (0, 0) pertenece al dominio de f.

2. En la figura siguiente se representan las curvas de nivel −1, 0 y 1 de una funci´on f. Se verifica que:

(a) fx(1, 2) = 0 (La derivada parcial de f respecto de x en el punto (1, 2) es cero).

(b) El punto (2, 2) pertenece a la curva de nivel 0.

(c) f (1, 2) = 1.

(d) fy (1, 2) = 0 (La derivada parcial de f respecto de y en el punto (1, 2) es cero).

3. Sea f una funci´on diferenciable y homog´enea de grado 2. Se verifica:

(a) f (1, 0) = fx(1, 0). (b) f (2x, 2 y) = 4f (x, y). (c) f (2x, 2 y) = 8f (x, y). (d) fx(x, y) es una funci´on homog´enea de grado 2.

4. Sea f : R^2 → R una funci´on diferenciable en R^2 tal que f (1, 2) = 1 y ∇f (x, y) = (− 3 , 4) para todo (x, y) ∈ R^2. Se verifica que:

(a) La funci´on f es creciente respecto de la variable x en un entorno del punto (1, 2). (b) f es una funci´on constante. (c) Si aumentamos en una unidad el valor de la variable y la funci´on disminuye aproximadamente en un 40%. (d) f (1, 2 ′05) ≈ 1 ′2.

5. Una funci´on primitiva de la funci´on f (x) = xex^ en el intervalo [0, 10] es:

(a) G(x) = xex^ − 10 ex (b) G(x) = xex^ + x (c) G(x) = ex(x − 1) + 5 (d) G(x) = xex

PROBLEMAS [7 puntos]

1. [1 punto] Considere la funci´on:

f (x, y) =

y + 1 2 x − 1 Determine tanto anal´ıticamente como gr´aficamente:

(a) [0’5 puntos] Su dominio. (b) [0’5 puntos] Las curvas de nivel 0 y 1 de la funci´on.

2. [1’5 puntos] Dada la funci´on:

f (x, y) =

x^2 ey 3

• ln (3x + y)

(a) [1 punto] Determine ∇f (x, y) y Hf (x, y). (b) [0’5 puntos] Calcule ∇f (1, 0) y Hf (1, 0).

3. [2 puntos] El porcentaje de ocupaci´on semanal de un determinado hotel vacacional del Caribe depende de la previsi´on de lluvias en la zona de esa semana, x, medido en l/m^2 , as´ı como del precio medio por semana de la habitaci´on doble, y, medido en miles de d´olares, v´ıa una funci´on P (x, y). Se sabe que esta funci´on es diferenciable y que tiene derivadas parciales continuas. Para esta semana la previsi´on de lluvias era de 10 l/m^2 y el precio medio semanal de la habitaci´on doble de 2500 d´olares. La ocupaci´on de esta semana en el hotel ha sido del 80%, es decir, P (10, 2 ′5) = 80. Adem´as conocemos mediante datos hist´oricos que el gradiente de esta funci´on en la actualidad es ∇P (10, 2 ′5) = (− 0 ′ 5 , −20).

(a) [0’5 puntos] Determine el porcentaje aproximado de ocupaci´on del hotel si la previsi´on de lluvias pasa a ser de 9′ 5 l/m^2 y el precio medio semanal de la habitaci´on doble de 2750 d´olares. Es decir, calcule aproximadamente P (9′ 5 , 2 ′750). (b) [0’5 puntos] Calcule cual debe de ser aproximadamente el precio semanal de la habitaci´on doble si la previsi´on semanal de lluvias pasa a ser de 10′ 5 l/m^2 y se desea mantener el porcentaje de ocupaci´on en el 80%. (c) [1 punto] El beneficio semanal del hotel medido en miles de d´olares depende del porcentaje de ocupaci´on semanal v´ıa una funci´on derivable B(P ). Sabemos que B′(80) = dBdP (80) = 0′40. Determine, en la situaci´on actual, las marginales del beneficio en funci´on de la previsi´on de lluvias semanal y del precio de la habitaci´on doble. Es decir determine:

∂B ∂x (10, 2 ′5) y

∂B

∂y

4. [1 punto] Una multinacional de productos farmac´euticos llev´o a cabo una investigaci´on para prevenir y paliar determinada enfermedad degenerativa. Gracias a estos estudios se cre´o y lanz´o al mercado un nuevo medicamento muy efectivo contra esta enfermedad. Se estima que los beneficios anuales que obtendr´a la farmac´eutica durante los primeros 10 a˜nos viene dado por la funci´on

B (t) =

∫ (^) t

0

27 − x^3

e−x

(^2) +3x− 2 dx

donde t son los a˜nos transcurridos desde el lanzamiento del medicamento al mercado y el beneficio est´a expresado en millones de Euros.

(a) [0’5 puntos] Demuestre que esta funci´on de beneficios es una funci´on derivable. (b) [0’5 puntos] Calcule los beneficios marginales B′(t) al cabo del primer y segundo a˜no e interprete los resultados.

5. [1’5 puntos] Estudie la convergencia de la siguiente integral y calcule la integral en caso de que sea convergente (^) ∫ ∞

4

x^2 − 5 x + 6 dx

2. ln( 3 )

2

x y

xe

f xy

y

2

2

2

2

2

yy

y yy

xy

y xy

xx

y xx

y

y y

x

y x

f

x y

x e

f x y

f

x y

xe

f xy

f

x y

e

f xy

f

x y

xe

f xy

f

x y

xe

f x y

a)

x y

x e

x y

xe

f xy

y y

2

2

2 2

2 2

( 3 )^3

x y

x e

x y

xe

x y

xe

x y

e

Hf x y y y

y y

b) 

f ( 1 , 0 )

Hf ( 1 , 0 )

3. [2 puntos] El porcentaje de ocupaciÛn semanal de un determinado hotel vacacional del Caribe depende de la previsiÛn de lluvias en la zona de esa semana, x, medido en l=m^2 , asÌ como del precio medio por semana de la habitaciÛn doble, y, medido en miles de dÛlares, vÌa una funciÛn P (x; y). Se sabe que esta funciÛn es diferenciable y que tiene derivadas parciales continuas. Para esta semana la previsiÛn de lluvias era de 10 l=m^2 y el precio medio semanal de la habitaciÛn doble de 2500 dÛlares. La ocupaciÛn de esta semana en el hotel ha sido del 80%, es decir, P (10; 20 5) = 80. Adem·s conocemos mediante datos histÛricos que el gradiente de esta funciÛn en la actualidad es rP (10; 20 5) = ( 005 ; 20).

(a) [0í5 puntos] Determine el porcentaje aproximado de ocupaciÛn del hotel si la previsiÛn de lluvias pasa a ser de 905 l=m^2 y el precio medio semanal de la habitaciÛn doble de 2750 dÛlares. Es decir, calcule aproximadamente P (9^05 ; 20 750).

SoluciÛn: utilizamos el polinomio de Taylor de grado 1 de la funciÛn P (x; y) en un entorno del punto P (10; 20 5) para calcular aproximadamente P (9^05 ; 20 750)

C·lculo polinomio de Taylor ( 0025 puntos)

p 1 (x; y) = P (10; 20 5) + ( 00 5) (x 10) + (20) (y 20 5)

C·lculo de P (9^05 ; 20 750) ( 0025 puntos)

P (9^05 ; 20 750)  75025

(b) [0í5 puntos] Calcule cual debe de ser aproximadamente el precio semanal de la habitaciÛn doble si la previsiÛn semanal de lluvias pasa a ser de 1005 l=m^2 y se desea mantener el porcentaje de ocupaciÛn en el 80%.

SoluciÛn: Utilizamos la diferencial total de la funciÛn para determinar la variaciÛn aproximada del precio.

dP (x; y) =

dP dx

(10; 20 5) 4 x +

dP dy

(10; 20 5) 4 y

= ( 00 5) (0^0 5) + (20) 4 y

( 0025 puntos)

Puesto que queremos mantener el nivel de ocupaciÛn la variaciÛn total debe ser cero.

( 00 5) (0^0 5) + (20) 4 y = 0! 4 y =

Por tanto para mantener el porcentaje de ocupaciÛn en el 80%, la variaciÛn del precio semanal por habitaciÛn deberÌa ser de 000125 miles de euros y el precio semanal de la habitaciÛn doble deberÌa ser de 2487 : 5 dÛlares. ( 0025 puntos) (c) [1 punto] El beneÖcio semanal del hotel medido en miles de dÛlares depende del porcentaje de ocu- paciÛn semanal vÌa una funciÛn derivable B(P ). Sabemos que B^0 (80) = dBdP (80) = 0^040. Determine, en la situaciÛn actual, las marginales del beneÖcio en funciÛn de la previsiÛn de lluvias semanal y del precio de la habitaciÛn doble. Es decir determine:

@B @x

(10; 20 5) y

@B

@y

Resolvemos las ingÛgnitas A y B: A (x 3) + B (x 2) = 2

Si x = 2 tenemos que A = 2 por tato A = 2 : Si x = 3 tenemos que B = 2: De manera que:

Z 2 x^2 5 x + 6

dx =

Z 

(x 2)

(x 3)

dx = 2 ln jx 2 j + 2 ln jx 3 j = 2 ln

x 3 x 2

+ C

Volvemos a la integral impropia:

Z (^1)

4

x^2 5 x + 6

dx = lim M!

Z M

4

x^2 5 x + 6

dx = lim M!

2 ln

x 3 x 2

M

4

= lim M! 2 ln

M 3

M 2

2 ln

= 2 ln 1 2 ln

= 2 ln 2

Acabamos de probar que la integral es convergente.

C·lculo de la integral deÖnida (1 punto) C·lculo del valor de la integral impropia ( 005 puntos)