Análisis de funciones II: Conceptos básicos y propiedades, Resúmenes de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

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2º BACHILLERATO

Matemáticas II

INTRODUCCIÓN

El Cuaderno de Notas amplía y/o complementa los contenidos de algunos esquemas. Por ello, debe considerarlo como una parte importante de la acción formativa.

Al conjunto de valores de la variable independiente se le llama domino de la función y se suele representar por Dom(f).

Al conjunto de valores de la variable independiente se le llama recorrido de la función.

En la siguiente figura se indica la gráfica representada en un sistema de coordenadas cartesianas.

Una observación importante:

De las dos gráficas de arriba, la de la izquierda es de una función porque a cada valor

de x corresponde uno (o ninguno) de y. Sin embargo, la gráfica de la derecha no es de una

función, pues hay valores de x a los que corresponde más de un valor de y.

2. Formas de definir una función

Como habrá observado una función se puede dar de distintas maneras.

• Mediante un conjunto de pares. Se debe cumplir que ningún primer elemento de

esos pares esté repetido.

• Mediante una gráfica. En este caso, ninguna vertical puede cortar a esa gráfica en

más de un punto. La gráfica es la representación en el plano de los pares anteriores.

Dominio

Recorrido

Dom (f) = R

Im (f) = [0,∞)

• Mediante una expresión algebraica: fórmula y = f(x). Aquí para cada valor de x, f(x)

debe tomar un valor único. Esta forma, llamada también analítica, es, desde el punto de vista

teórico, la más eficaz.

• Mediante una frase (enunciado). Debe definir una regla clara y unívoca.

Obviamente las cuatro formas de dar una función son equivalentes, aunque no

siempre es posible el paso de una a otra.

En la práctica, lo que nos planteamos con mayor frecuencia es el paso de la forma de

enunciado a la algebraica, especialmente para la resolución de problemas: todo problema

suele iniciarse con un enunciado que establece la relación entre las distintas incógnitas que

intervienen. Los pasos iniciales y claves, para la resolución del problema son:

• Determinar las variables, las incógnitas.
• Ver qué variables son dependientes y cuáles independientes.
• Obtener la expresión algebraica correcta entre dichas variables.

 Rectas paralelas Cuando dos rectas son paralelas tienen la misma pendiente.

1.2. La función cuadrática

Una función cuadrática es la que viene representada por un polinomio de segundo grado (la x está elevada al cuadrado). La ecuación de la función cuadrática es y = a·x 2 + b·x + c. Su gráfica es una curva especial denominada parábola. Este tipo de curvas se encuentra con facilidad en la vida real pues es la curva que describe cualquier objeto lanzado al aire y sometido a la influencia de la gravedad.

Para representar una parábola se calcula su vértice y los puntos de corte con el eje X. La primera coordenada del vértice se calcula mediante la fórmula x (^) v = -b/2a mientras que la segunda se calcula sustituyendo la primera en la función. Los puntos de corte con el eje X se obtienen igualando la función a 0 y resolviendo la ecuación de 2º grado correspondiente. Como propiedad común, el dominio de todas estas funciones es todos los números Reales. Otra característica común es que si a > 0, la parábola es convexa y su vértice corresponde a un mínimo absoluto, mientras que si a < 0, la parábola es cóncava y su vértice será un mínimo absoluto. Si no tiene puntos de corte con el eje X o sólo tiene uno (el vértice) conviene darle un par de valores (uno anterior y otro posterior al

vértice) para dibujarla más exactamente.

2. Funciones definidas a trozos Las funciones definidas a trozos se llaman de esta manera porque tienen una definición diferente en cada tramo en el que están definidas.

Ejemplo:

a > 0

a < 0

Esta función está definida en 3 tramos, para cada uno de estos tramos construiremos una tabla:

2.1. Función parte entera

Se llama “parte entera” de un número real x, y se designa por Ent(x) o bien [x], al número entero inmediatamente anterior a x. Por ejemplo: Ent(7, 8) = 7; Ent(6) = 6; Ent(-2, 3) = – Según esto, la gráfica de y = En(x) = [x] es:

convierte en la mitad; por eso, su producto es constante, yx = k, donde k es la constante de proporcionalidad. Observe que

La representación gráfica de esta función es una hipérbola equilátera. f(x) no está definida en x = 0

4. Funciones irracionales Son las funciones en las que aparece un polinomio o una fracción algebraica bajo el signo radical. Para hallar su dominio (si el índice de la raíz es par) hay que tener en cuenta que el radicando no puede ser negativo. Si el índice de la raíz es impar no es necesaria esa exigencia.

La función irracional más sencilla es y = + definida en [0, + ∞).

5. Funciones exponenciales El crecimiento de poblaciones, el aumento de la madera que hay en un bosque o la evolución del dinero depositado en un banco, son ejemplos de funciones exponenciales. Una función exponencial es una función de la forma y = a x, donde a es un número positivo distinto de 1. La condición establecida sobre la base (a > 0) hace posible que el exponente puede tomar cualquier valor; por tanto, el dominio de la función es R. Los valores de la función son siempre positivos, su recorrido es R+^ , (0, +∞). En la definición de función exponencial se excluye el caso a = 1, puesto que 1 x^ = 1 para cualquier valor de x. El que la base sea mayor o menor que 1 va a condicionar que la función sea creciente o decreciente. En los casos de base mayor que 1, cuanto mayor sea la base, más rápido será el crecimiento de la función:

Como se puede observar, las gráficas de y = 2 x^ e y = (1/2 ) x^ son simétricas respecto de OY. Las dos gráficas se mantienen siempre por encima del eje OX, porque las funciones exponenciales toman siempre valores positivos. Una función exponencial especialmente importante es y = e x, cuya base es el número e = 2,718281...

6. Funciones logarítmicas Vamos a determinar la gráfica de la función inversa de la función exponencial y = 2 x. Para ello hay que tener presente que las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto de la recta y = x (lo que equivale a permutar los valores de las variables). La nueva función obtenida se llama función logarítmica de base 2 y se representa por y = log 2 x.

En general, podemos considerar las funciones y = a x^ para a > 1 y a < 1, y dibujar sus simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

La función y = logax, a > 0 y a ≠ 1, está definida para toda x > 0, porque verifica que x = ay, al ser la función y = loga x inversa de la función y = a x.

Las propiedades de la función y = loga x se obtienen utilizando las propiedades de su función inversa, y = ax.

7. Gráficas obtenidas a partir de otra En ocasiones, el dibujo de una gráfica permite obtener fácilmente la gráfica de otra relacionada con ella. Veamos algunos ejemplos.

7.2.3. Combinación de desplazamientos horizontales y verticales

Ejemplo: y= (x-3) 2 -

Se empieza con la gráfica de f (x) = x 2 y se desplaza a la derecha 3 unidades para obtener la gráfica de y= (x-3)^2. Luego, la gráfica resultante se desplaza 2 unidades hacia abajo para obtener la gráfica de y= (x-3)^2 -

Esquema 3: Funciones trigonométricas Para representar los ángulos, se utiliza un sistema de coordenadas que incluye un par de ejes OX y OY perpendiculares que se cortan en el punto O. Además incluye la circunferencia de centro O y de radio igual a la unidad llamada Circunferencia Goniométrica. Los ángulos siempre se cuentan con origen en el eje X y el sentido de las agujas del reloj, si el ángulo es positivo, y en sentido contrario si el ángulo es negativo. Los ejes del sistema de coordenadas dividen la circunferencia en cuatro cuadrantes: Primer cuadrante: De 0 0 a 90 o Segundo cuadrante: De 90 0 a 180 0 Tercer cuadrante: De 180 0 a 270 0 Cuarto cuadrante: De 270 0 a 360 0

Apoyándose en la circunferencia goniométrica, se pueden definir las tres razones trigonométricas de cualquier ángulo. El punto P tiene coordenadas (x, y). Las razones trigonométricas coinciden con las coordenadas del punto P. La tangente siempre se representa en una recta tangente a la circunferencia goniométrica. Dependiendo de su signo, la tangente aparecerá por encima o por debajo del eje OX. Funciones trigonométricas son aquéllas en las que la variable independiente se encuentra afectada por alguna razón trigonométrica. Son funciones trigonométricas: y = sen x , y = cos x , y = tg x que veremos más adelante. En general, las funciones trigonométricas son funciones periódicas; los valores de la función se repiten periódicamente. Como la medida en radianes de un ángulo orientado es un número real, podemos definir las funciones seno, coseno y tangente de un número. Comenzaremos con la función f(x) = sen x.

1. Función seno: y = sen x Es una función periódica ya que sen (x + 2π) = sen (x + 360 o^ ) = sen x. El período es 2π. Para realizar su estudio se considera un período, el comprendido entre 0 y 2π radianes. En la siguiente tabla se dan los valores del seno para los principales ángulos medidos en grados, entre 0o^ y 360 o^ , y en radianes, entre 0 y 2π radianes. Para valores de x comprendidos entre 0 y π, 0 < x < π, los valores de sen x son positivos; y para valores de x comprendidos entre π y 2 π, π < x < 2 π, el seno toma valores negativos.

A partir de la tabla anterior podemos estudiar la variación que experimenta el seno a medida que el ángulo (x) va tomando valores entre 0 y 2π radianes:

1.1 Transformaciones de la función seno

A partir de la gráfica de la función f(x) = sen x pueden dibujarse las de:

1) f(x) = - sen x

La función resultante es simétrica respecto al eje X.

2) f(x) = |sen x|

La función valor absoluto transforma los resultados negativos en positivos.

3) f(x) = k + sen x

La función resultante es una traslación vertical hacia arriba de k unidades.

4) f(x) = sen (x + k)

La función resultante es una traslación horizontal hacía la izquierda de k unidades.

5) f(x) = k·sen x

La función resultante multiplica los resultados de la función seno k unidades.

6) f(x) = sen (k·x)

La función resultante contrae a la función original.

Amplitud, periodo y traslación

La amplitud de las funciones seno y coseno, representa la mitad de la distancia entre los valores

máximo y mínimo de la función.

Amplitud, periodo y traslación

3. Función tangente: y = tg x Es una función periódica, siendo su período de π radianes, ya que: tg (x + π) = tg (x + 180 o^ ) = tg x. En consecuencia, para realizar su estudio se considera un período; por ejemplo, el comprendido entre –π/2 y π/2 radianes. - Cuando el ángulo es igual a –π/2, la función no existe, recuerde que tgx = sex/cosx. - Cuando el ángulo va aumentando desde –π/2 hasta 0, los valores de la función son negativos y van aumentando hasta alcanzar el valor cero.

• Por último, cuando el ángulo va aumentando desde 0 hasta π/2, los valores de la función son positivos y van aumentando de modo que, cuando x se acerca a π/2, la función toma valores positivos progresivamente creciente, tendiendo a ∞.

Si representamos la función desde –π/2 a 3π:

• La función tangente es periódica de período π, porque: tg (x + π) = tg x.
• Puesto que tg x = sex/cosx , la función tangente es continua para todo valor de x donde no se anula el denominador.
• El dominio es R – {π/2 + kπ} ya que para x = + kπ no está definida la función (el coseno se hace cero).
• La función tiene infinitas asíntotas verticales (cada 180 o^ ).

4. Funciones trigonométricas inversas

La función inversa de f es la función que obtenemos al intercambiar los valores de la variable independiente con los valores de la variable dependiente. La representamos por f -1.

Y

X

f –1^ (x)

f(x)

(f(x), x)

• • (x, f(x))

Es muy común escribir la función inversa de f como f -1^. Así, la función inversa de f(x) = senx se puede escribir como senx -1^. Esta función recibe el nombre de arcoseno y, también se puede escribir como arcsenx. Las gráficas de ninguna de ellas pasan la prueba de la línea horizontal. Esto significa que ninguna de ellas tiene una inversa a menos que el dominio de cada una esté restringido. 4.1. Arcoseno: Se llama arcoseno (arcsen) de un número al ángulo que tiene por seno dicho número. Tenga en cuenta que la variable independiente x toma valores en el intervalo [-1,1]. En la gráfica de senx es fácil observar que para un valor de x hay más de un valor de f(x), por lo tanto, para manejarla como función se debe tomar solo una pequeña porción de los valores dado, esto es, un intervalo definido para el dominio y el recorrido.

• /2 - - /2 /6 /2^ 5 /6 

Observe que las gráficas de f y f–1^ son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.