Análisis de Funciones de Variable Compleja, Apuntes de Análisis Matemático

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Manual de

AN ALISIS DE FUNCIONES DE´

VARIABLE COMPLEJA

Jos´e Mar´ıa Mart´ınez Ansemil

Socorro Ponte Miramontes

Septiembre, 2014

Introducci´on

Este Manual se ha preparado para su utilizaci´on por los alumnos de la asignatura AN ALISIS DE FUNCIONES DE VARIABLE COM-´ PLEJA de la Facultad de Ciencias Matem´aticas de la UCM. En ´el se desarrollan los temas del programa de esa asignatura siguiendo funda- mentalmente los libros de Ahlfors, Conway, Marsden-Hoffman y Rudin (v´ease la Bibliograf´ıa indicada en el programa de la asignatura).

Se agradece cualquier comentario que ayude a mejorarlo.

Madrid, Septiembre de 2014

Jos´e Mar´ıa Mart´ınez Ansemil, Socorro Ponte Miramontes

se llamar´a parte real de z al n´umero real x, y parte imaginaria de z al n´umero real y. A veces se escribe x = Re z, y = Im z.

La aplicaci´on x ∈ R →(x, 0) ∈ C es un homomorfismo inyectivo de cuerpos, lo que nos permite identificar a R con un subcuerpo de C. Si denotamos por i al n´umero complejo (0, 1), al que llamaremos la unidad imaginaria, y tenemos en cuenta la anterior identificaci´on, resulta que

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0) ≡ x + iy.

Los n´umeros complejos pueden ser representados en un sistema cartesiano como elementos de R^2. De hecho como conjuntos coinciden R^2 y C, pero en C hay una operaci´on de multiplicar que no se considera en R^2.

Se define el conjugado del n´umero complejo z = x + iy como z = x − iy. Se verifican las siguientes propiedades:

z + z′^ = z + z′, z · z′^ = z · z′,

z − z′^ = z − z′, z · z = x^2 + y^2 , ( 1 z

z

, z + z = 2 Re z, z − z = i · 2 Im z.

Se llama m´odulo de un n´umero complejo z = x + iy al n´umero real mayor o igual que 0, |z| =

√ x^2 +^ y^2 , este n´umero real coincide con zz. Propiedades:

|z| = | − z| = |z|, |zz′| = |z||z′|, | Re z| ≤ |z|,

| Im z| ≤ |z|, |z| ≤ | Re z| + | Im z|, |z + z′| ≤ |z| + |z′|

Veamos la demostraci´on de esta ´ultima desigualdad que ser´a muy usada en lo que sigue:

|z + z′|^2 = (z + z′)(z + z′) = |z|^2 + |z′|^2 + zz′^ + z′z =

|z|^2 + |z′|^2 + 2 Re(zz′) ≤ |z|^2 + |z′|^2 + 2|zz′|) = (|z| + |z′|)^2.

Seguimos con las propiedades del m´odulo:

||z| − |z′|| ≤ |z − z′|.

1. El cuerpo de los n´umeros complejos 5

En efecto |z| = |z − z′^ + z′| ≤ |z − z′| + |z′|

con lo que |z| − |z′| ≤ |z − z′|.

An´alogamente |z′| − |z| ≤ |z − z′|

lo que nos da el resultado.

Para todo n´umero complejo z distinto de 0 existe un ´unico n´umero real θ ∈ [−π, π) tal que

z = |z|(cos θ + i sen θ)

(f´ormula m´odulo argumental). Para ver esto hacemos lo siguiente: (^) |zz|

es un punto (x, y) de la circunferencia unidad y entonces existe un unico´ θ ∈ [−π, π) tal que x = cos θ e y = sen θ, con lo que z = |z|(cos θ + i sen θ).

Dado que las funciones sen y cos son peri´odicas de per´ıodo 2π realmente hay un ´unico n´umero real con esa propiedad en cualquier intervalo semiabierto de amplitud 2π.

De propiedades bien conocidas de las funciones seno y coseno de variable real se deduce f´acilmente que para z = |z|(cos θ + i sen θ) y z′^ = |z′|(cos θ′^ + i sen θ′)

zz′^ = |z||z′|(cos(θ + θ′) + i sen(θ + θ′)). Obs´ervese que θ + θ′^ puede salirse del intervalo [−π, π), si se quiere puede cambiarse θ + θ′^ por un elemento de [−π, π) que se diferencie de ese en 2π ´o − 2 π seg´un el caso. Para todo n´umero complejo z = |z|(cos θ + i sen θ) y todo n´umero natural n se verifica que

zn^ = |z|n(cos nθ + i sen nθ)

Dado un n´umero complejo z, z 6 = 0, y un n´umero natural n, existen w 1 , ..., wn ∈ C tales que

wn 1 = wn 2 = · · · = wnn = z.

1. El cuerpo de los n´umeros complejos 7

La colecci´on de abiertos de C constituye una topolog´ıa, esta topolo- g´ıa est´a inducida por la m´etrica d(z, z′) = |z − z′|. El espacio m´etrico C es completo, esto es, toda sucesi´on de Cauchy en ´el es convergente; lo que se prueba f´acilmente usando que eso ocurre en R. Tambi´en se verifica que toda sucesi´on convergente es de Cauchy.

Un punto z de un subconjunto S de C es un punto interior de S si existe un disco abierto centrado en z contenido en S. Denotaremos

por

o S al conjunto de los puntos interiores del conjunto S. o S puede ser vac´ıo, por ejemplo si S es un subconjunto de C con un unico punto o si´ S es una sucesi´on de puntos de C. Observamos que si

S ⊂ T entonces

o S ⊂

o T.

Si S = D(z, r), entonces

o S = D(z, r).

Teorema 1.2 Se verifica que S es abierto si y s´olo si S =

o S.

Se dice que un punto z de C es un punto de acumulaci´on de un subconjunto S de C si todo disco abierto centrado en z contiene alg´un punto de S distinto de z (si es que z pertenece a S). Esto es, para todo r > 0 se verifica que D(z, r) ∩ S 6 = ∅, {z}.

Denotaremos por S′^ al conjunto de los puntos de acumulaci´on del conjunto S.

Teorema 1.3 Se verifica que S es cerrado si y s´olo si S′^ ⊂ S y que z ∈ S′^ si y s´olo si existe una sucesi´on {zn} de puntos del conjunto S, zn 6 = z para todo n ∈ N y {zn} convergente a z.

Se dice que un punto z de C es adherente a un subconjunto S de C si todo disco abierto con centro en z tiene alg´un punto de S. Esto es, para todo r > 0 se verifica que D(z, r) ∩ S 6 = ∅. Denotaremos por S al conjunto de los puntos adherentes del conjunto S.

Teorema 1.4 Se verifica que S es cerrado si y s´olo si S = S y que z ∈ S si y s´olo si existe una sucesi´on {zn} de puntos del conjunto S, {zn} convergente a z.

Se llama punto frontera de un conjunto S de C a todo punto z de C con la propiedad de que para todo r > 0 se verifique que

D(z, r) ∩ S 6 = ∅ y D(z, r) ∩ (C\S) 6 = ∅.

Denotaremos por ∂S al conjunto de los puntos frontera del conjunto S.

Un subconjunto K de C se dice compacto si de todo recubrimiento de ´el por abiertos se puede extraer uno finito, o equivalentemente, K ⊂ C es compacto si toda sucesi´on de puntos de K tiene una subsucesi´on convergente a un punto de K. Los conjuntos compactos de C son los conjuntos que son a la vez cerrados y acotados.

Un subconjunto S de C se dice conexo si no existe ning´un par de abiertos U , V de C tales que:

a) U ∩ V ∩ S = ∅

b) S ⊂ U ∪ V

c) U ∩ S 6 = ∅

d) V ∩ S 6 = ∅.

Los discos abiertos son conjuntos conexos, pero la uni´on de dos discos abiertos disjuntos no lo es.

Se dice que un subconjunto S de C es convexo si para todo par de puntos z, w ∈ S se verifica que el segmento que los une, L[z, w] = {z + t(w − z) : t ∈ [0, 1]}, est´a contenido en S. Todo conjunto convexo es conexo.

Series de n´umeros complejos

Una serie de n´umeros complejos es un par formado por una sucesi´on {zn} de n´umeros complejos y por otra, tambi´en de n´umeros complejos {sn} en la que, por cada n, sn = z 1 + · · · + zn. Normalmente a las series de n´umeros complejos se las denota por

zn. Una serie se dice convergente si es convergente la correspondiente sucesi´on {sn} (de sus sumas parciales). Cuando la serie es convergente se denota al l´ımite de la sucesi´on {sn} por s y se le llama suma de la serie

zn y tambi´en se escribe s =

zn (n´otese que se comete un abuso de notaci´on).

Se define el producto λ

zn =

λzn siendo λ un n´umero complejo y se verifica que si

zn converge entonces

λzn tambi´en converge y su suma es λ por la suma de la serie.

Se define un producto de dos series (

zn)(

wn) =

vn donde en esta ´ultima serie aparecen todos los posibles productos znwm y se verifica el siguiente teorema.

Teorema 1.7 Si

zn y

wn convergen absolutamente, entonces to- da serie producto tambi´en converge absolutamente y su suma es el pro- ducto de las sumas de las series.

Tema 2

Funciones de variable

compleja. Funciones

holomorfas. Condiciones de

Cauchy-Riemann

Sean S un subconjunto de C, f : S → C, z 0 ∈ S′^ y w 0 ∈ C. Se dice que f tiene por l´ımite w 0 en z 0 si

∀ε > 0 ∃ δ > 0 | ∀z ∈ S, z 6 = z 0 , |z − z 0 | < δ =⇒ |f (z) − w 0 | < ε.

Se escribe l´ım z→z 0 f (z) = w 0 para indicar que f tiene l´ımite en z 0 y que

ese l´ımite es w 0.

L´ımite por sucesiones: l´ım z→z 0

f (z) = w 0 si y s´olo si para toda sucesi´on

{zn} de puntos de S, zn 6 = z 0 para todo n, que converja a z 0 se verifica que f (zn) → w 0.

Las funciones con valores complejos, como lo son todas las que manejaremos aqu´ı, se pueden escribir en la forma

f (z) = Re f (z) + i Im f (z).

Pues bien,

l´ım z→z 0 f (z) = w 0 = a + ib ⇔ l´ım Re z→z 0 f (z) = a y l´ım z→z 0 Im f (z) = b.

Conviene tambi´en introducir los siguientes conceptos relacionados con el anterior:

2. Funciones de variable compleja 13

Teorema 2.2 La imagen de un conjunto compacto por una aplicaci´on continua es un conjunto compacto y la de un conjunto conexo es tam- bi´en un conjunto conexo.

Definici´on 2.3 Una funci´on f : S ⊂ C → C se dice uniformemente continua en S si

∀ε > 0 ∃ δ > 0 | ∀z, w ∈ S, |z − w| < δ =⇒ |f (z) − f (w)| < ε.

Las funciones constantes y las funciones f (z) = z, f (z) = |z|, f (z) = Re z, f (z) = Im z, f (z) = z son uniformemente continuas en C y la funci´on f (z) = z^2 no es uniformemente continua en C.

Toda funci´on uniformemente continua en un conjunto S es continua en cada punto de S y toda funci´on continua es uniformemente continua y alcanza el supremo (de sus valores absolutos) en cualquier compacto contenido en su conjunto de definici´on.

Sucesiones de funciones

Una sucesi´on de funciones de S ⊂ C con valores en C es una apli- caci´on de N en el conjunto de funciones de S en C. Como es habitual se representa a las sucesiones de funciones por {fn}.

Definici´on 2.4 Una sucesi´on de funciones {fn} de S en C converge puntualmente en el conjunto S a una funci´on f : S → C si ∀z ∈ S se verifica que fn(z) → f (z). Esto es,

∀z ∈ S y ∀ε > 0 ∃ν(z, ε) ∈ N | ∀n ∈ N, n ≥ ν =⇒ |fn(z) − f (z)| < ε.

Si una sucesi´on de funciones {fn} de S en C converge puntualmente en el conjunto S a una funci´on f y una sucesi´on de funciones {gn} de S en C converge puntualmente en el conjunto S a una funci´on g entonces la sucesi´on de funciones {fn+gn} converge puntualmente en el conjunto S a la funci´on f + g. Lo mismo sucede con el producto y el cociente cuando las funciones del denominador nunca valen 0.

Definici´on 2.5 La sucesi´on de funciones {fn} de S en C converge uniformemente en el conjunto S a una funci´on f : S → C si

∀ε > 0 ∃ ν(ε) ∈ N | ∀n ∈ N, n ≥ ν, ∀z ∈ S =⇒ |fn(z) − f (z)| < ε.

Teorema 2.6 Si una sucesi´on de funciones {fn} de S en C converge puntualmente en el conjunto S a una funci´on f : S → C y existe una sucesi´on de n´umeros reales {an} convergente a cero verificando que |fn(z) − f (z)| ≤ an para todo n y para todo z ∈ S entonces la convergencia es uniforme.

Teorema 2.7 (Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme). Una sucesi´on de funciones {fn} de S en C converge uniformemente en el conjunto S a una funci´on f : S → C si y s´olo si

∀ε > 0 ∃ν(ε) ∈ N | ∀p, q ∈ N, p, q ≥ ν, ∀z ∈ S =⇒ |fp(z)−fq(z)| < ε.

Teorema 2.8 El l´ımite uniforme de funciones continuas es una fun- ci´on continua.

El l´ımite puntual puede no ser una funci´on continua.

Si una sucesi´on de funciones {fn} de S en C converge uniforme- mente en en el conjunto S a una funci´on f y una sucesi´on de funciones {gn} de S en C converge uniformemente en el conjunto S a una funci´on g entonces la sucesi´on de funciones {fn + gn} converge uniformemente en el conjunto S a la funci´on f + g. Lo mismo sucede con el producto por un escalar.

Series de funciones

Las series de funciones son pares formados por dos sucesiones, {fn} y {sn}, donde cada fn es una funci´on de S ⊂ C con valores en C, y sn es la funcion de S en C definida por sn = f 1 + · · · + fn. Se usar´a la notaci´on

fn.

La convergencia puntual o uniforme de las series de funciones se define as´ı: Una serie

fn converge puntualmente en S a una funci´on s : S → C si la sucesi´on de funciones {sn} converge puntualmente a la funci´on s en el conjunto S, esto es, para cada z ∈ S, sn(z) → s(z). La convergencia de

fn a la funci´on s es uniforme en el conjunto S si la sucesi´on {sn} converge uniformemente a la funci´on s en el conjunto S. Cometiendo un abuso de notaci´on se representa por

fn tanto a la serie como a su l´ımite puntual (suma) cuando ´este exista.

Teorema 2.9 Si una serie

fn converge puntualmente (uniforme- mente) en el conjunto S entonces la sucesi´on de funciones {fn} con- verge puntualmente (uniformemente) a la funci´on cero en S.

Teorema 2.13 Si f y g son dos funciones derivables en un punto z 0 tambi´en lo es su suma y su producto;

(f + g)′(z 0 ) = f ′(z 0 ) + g′(z 0 )

y (f g)′(z 0 ) = f ′(z 0 )g(z 0 ) + f (z 0 )g′(z 0 ).

Si adem´as g(z) 6 = 0 en los puntos de un entorno de z 0 , entonces fg es tambi´en derivable en z 0 y ( f g

(z 0 ) =

f ′(z 0 )g(z 0 ) − g′(z 0 )f (z 0 ) g(z 0 )^2

Teorema 2.14 (Regla de la Cadena)

(g ◦ f )′(z 0 ) = g′(f (z 0 ))f ′(z 0 ),

supuesto, que f sea derivable en z 0 , que g lo sea en f (z 0 ) y que tenga sentido componer a f con g.

En el caso particular de que el conjunto S sea de n´umeros reales entonces escribimos f (t) = f 1 (t)+if 2 (t) y se verifica que f es derivable en un punto t 0 si y s´olo si f 1 y f 2 son derivables en dicho punto. Adem´as, f ′(t 0 ) = f 1 ′(t 0 ) + if 2 ′(t 0 ).

Teorema 2.15 (Ecuaciones de Cauchy-Riemann) Si escribimos f = u + iv : U → C, U abierto de C y f es derivable en un punto z 0 = x 0 + iy 0 ∈ U , entonces u y v son diferenciables en el punto (x 0 , y 0 ) como funciones definidas de un subconjunto abierto de R^2 (el propio U ) con valores en R y adem´as se verifica que

∂u ∂x

(x 0 , y 0 ) =

∂v ∂y

(x 0 , y 0 )

y ∂u ∂y

(x 0 , y 0 ) = −

∂v ∂x

(x 0 , y 0 ).

Tambi´en si u y v son diferenciables en el punto (x 0 , y 0 ) como funciones definidas en U ⊂ R^2 con valores en R y verifican las anteriores con- diciones, conocidas como ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f es derivable en z 0.

2. Funciones de variable compleja 17

Demostraci´on. Veamos la demostraci´on de esto: Supongamos que f es derivable en z 0 , y sea f ′(z 0 ) = a + ib, entonces

l´ım z→z 0

f (z) − f (z 0 ) − f ′(z 0 )(z − z 0 ) z − z 0

lo que equivale a que

l´ım z→z 0

f (z) − f (z 0 ) − f ′(z 0 )(z − z 0 ) z − z 0

y a su vez a que

l´ım z→z 0

f (z) − f (z 0 ) − f ′(z 0 )(z − z 0 ) |z − z 0 |

lo que significa que

l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )

u(x, y) − u(x 0 , y 0 ) + i(v(x, y) − v(x 0 , y 0 )) √ (x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2

−

a(x − x 0 ) − b(y − y 0 ) + i(a(y − y 0 ) + b(x − x 0 ) √ (x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2

es 0, esto es,

l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )

u(x, y) − u(x 0 , y 0 ) − (a(x − x 0 ) + (−b)(y − y 0 )) √ (x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2

y

l´ım (x,y)→(x 0 ,y 0 )

v(x, y) − v(x 0 , y 0 ) − (a(y − y 0 ) + b(x − x 0 )) √ (x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2

lo que nos dice que u es diferenciable en (x 0 , y 0 ), que du(x 0 , y 0 )(h, k) = ah − bk, que v es diferenciable en (x 0 , y 0 ) y que dv(x 0 , y 0 )(h, k) = bh + ak. De ello se deduce que

∂u ∂x

(x 0 , y 0 ) = a =

∂v ∂y

(x 0 , y 0 )

y que ∂u ∂y

(x 0 , y 0 ) = −b = −

∂v ∂x

(x 0 , y 0 ).

Todos los pasos que hemos dado se pueden hacer en sentido inverso y as´ı tenemos el resultado anunciado. Obs´ervese adem´as que

f ′(z 0 ) =

∂u ∂x

(x 0 , y 0 ) + i

∂v ∂x

(x 0 , y 0 ).



Tema 3

Series de potencias y radio

de convergencia. Funciones

anal´ıticas

Se llama serie de potencias centrada en un punto z 0 ∈ C a toda serie de funciones

n=0 fn^ en la que las funciones^ fn^ son de la forma: f 0 (z) = a 0 , f 1 (z) = a 1 (z−z 0 ), ..., fn(z) = an(z−z 0 )n... donde los aj son n´umeros complejos. Las series de potencias se denotan por

n=0 an(z− z 0 )n.

Observamos que todas las fn son derivables en todo punto de C y que f 0 ′(z) = 0 y f (^) n′(z) = nan(z − z 0 )n−^1 para todo n = 1, 2 ...

Definici´on 3.1 Se llama radio de convergencia de una serie de potencias ∑∞

n=

an(z − z 0 )n

al elemento de [0, ∞] definido por:

R =

0 si l´ım n

|an| = ∞ ∞ si l´ım n

|an| = 0 1 l´ım n

|an| si 0 < l´ım n

|an| < ∞.

Teorema 3.2 (de Cauchy-Hadamard) Sea

n=0 an(z−z^0 ) n (^) una serie

de potencias y sea R su radio de convergencia, 0 < R < ∞, entonces

para cada z 1 ∈ D(z 0 , R) la serie de n´umeros complejos

n=0 an(z^1 − z 0 )n^ converge absolutamente y para z 1 ∈/ D(z 0 , R) la serie de n´umeros complejos

n=0 an(z^1 −^ z^0 ) n (^) no converge.

Demostraci´on. Aplicamos el criterio de la ra´ız a la serie de n´umeros reales

n=0 |an(z^1 −^ z^0 )

n| para cada z 1 ∈^ D(z 0 , R) :

l´ım n

|an(z 1 − z 0 )n| = (l´ım n

|an|)|z 1 − z 0 | < (l´ım n

|an|)R = 1

y para cada z 1 ∈/ D(z 0 , R)

l´ım n

|an(z 1 − z 0 )n| = (l´ım n

|an|)|z 1 − z 0 | > (l´ım n

|an|)R = 1

y se obtiene el resultado. 

Teorema 3.3 Toda serie de potencias con 0 < R < ∞ converge de modo uniforme en los compactos de D(z 0 , R). Demostraci´on. Si K es un compacto contenido en D(z 0 , R) entonces definimos la funci´on ϕ(z) = |z − z 0 |, que es continua en el compacto K, y as´ı existe z∗^ ∈ K tal que ϕ(z) ≤ ϕ(z∗) para todo z ∈ K. En consecuencia

|an(z − z 0 )n| ≤ |an(z∗^ − z 0 )n| = Mn ∀z ∈ K, ∀n ∈ N.

Como

n=0 Mn^ =^

n=0 |an(z

∗ (^) − z 0 )n| converge, pues z∗ (^) ∈ K ⊂

D(z 0 , R), aplicando el criterio M de Weierstrass se tiene el resulta- do. 

En el caso R = ∞ la serie converge absolutamente en todos los n´umeros complejos y de modo uniforme en cada compacto de C.

Para ver que no se puede afirmar nada de lo que le ocurre a los puntos∑ z tales que |z − z 0 | = R basta observar que la serie de potencias ∞ n=

1 n z

n (^) tiene radio de convergencia 1, converge en el punto −1 y no

lo hace en el 1.

Dada una serie de potencias

n=0 an(z^ −^ z^0 )

n (^) cuyo radio de con-

vergencia R suponemos mayor que 0 y finito, podemos considerar la funci´on f : D(z 0 , R) → C definida por

f (z) =

∑^ ∞

n=

an(z − z 0 )n,