Análisis en Variable Compleja, Esquemas y mapas conceptuales de Análisis Complejo

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Variable Compleja

Semestre II

Definición de un número complejo

Un número complejo 𝒛 está formado por una parte real (𝑎) y una parte imaginaria (𝑏).

La parte imaginaria viene multiplicada por la unidad imaginaria 𝒊, de forma que: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖.

Todos los números complejos forman un espacio de dimensión 2 con base 𝔅 = { 1 , 𝑖}.

Un número complejo puede representarse como un

punto en el plano complejo o plano de Argand con ejes

A cada punto se le puede asignar pun vector desde el

punto 0 hasta 𝑧

!

, este vector es denominado vector afijo.

Un número complejo no puede ser mayor o menor que

otro, ya que el conjunto de los complejos (ℂ) no es un

conjunto ordenado.

Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, el número 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖 sería su conjugado ,

mientras que a 𝑧

!"

= −𝑎 − 𝑏𝑖 sería su opuesto.

Expresión de números complejos

Un número complejo puede expresarse como 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, lo cual se denomina forma rectangular.

También puede expresarse en función del módulo del vector (

) y de su ángulo con el eje 𝑥 (𝜃):

∙ [𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃)], esto se denomina forma trigonométrica.

Para expresarlo de forma más reducida, se usa la forma polar, donde se representa como 𝑧 = |𝑧|

También existe la forma de Euler, donde se expresa de la forma 𝑧 =

$#

Operaciones básicas

Suma:

Resta: ( 𝑎 + 𝑏𝑖

Producto:

%

&

%'&

División:

%

&

%(&

Potencia: 𝑧

)

)

∙ [𝑐𝑜𝑠

]

Raíces:

√𝑧

!

I|

!

∙ J𝑐𝑜𝑠 K

N + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 K

NO 𝑘 = 0 , 1 , … , 𝑛 − 1

Logaritmo natural: 𝑙𝑛(𝑧) = 𝑙𝑛|𝑧| + 𝑖(𝜃 + 2 𝑘𝜋)

Logaritmo: 𝑙𝑜𝑔

Exponencial: 𝑧

*∙,)(.)

*∙[,)

| .

| '$(%' 234 )]

Trigonométricas: 𝑐𝑜𝑠(𝑧) = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑖 ∙ 𝑧) ; 𝑠𝑒𝑛(𝑧) = −𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑖 ∙ 𝑧)

Condiciones de Cauchy-Riemann

Se denomina analítica, regular u holomorfa a aquella función que cumpla las Condiciones de Cauchy-

Riemann (abreviado como 𝑪𝑪𝑹).

y en coordenadas polares:

No hace falta que una función cumpla las CCR en todo su dominio, por ejemplo, si las cumple sólo

para ciertos 𝒛 𝒐

se dice que es analítica sólo en esos 𝒛

𝒐

Que una función sea analítica implica que se pueden aplicar muchos teoremas para derivarla,

integrarla, desarrollarla en serie de Taylor y muchas otras cosas.

Una de las utilidades más importantes es que es una función es infinitamente diferenciable en los

puntos en los que es analítica, esto significa que se puede derivar infinitas veces.

Funciones armónicas

Laplaciano:

Dada una función de varias variables, se define su laplaciano como:

6

2

)

2

6

2

)

= y

2

$

2

6

2

)

)

$ 96

Teorema de Schwarz:

Si las derivadas parciales cruzadas de una función existen y son continuas, entonces son iguales.

Funciones armónicas:

Se dice que una función compleja es armónica si el laplaciano de cada una de sus partes es cero.

2

2

2

2

2

2

2

2

Ejemplos de funciones armónicas:

Toda función analítica es armónica, existen muchas de ellas, por ejemplo:

𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑦

2

2

2

𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑦

𝑧

:

:

𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑦

Curvas paramétricas

Si tenemos una función 𝒚 = 𝒇(𝒙), podemos crear un parámetro 𝒕 y despejar cada una de las variables

en función de este parámetro. Con este procedimiento se puede crear cualquier curva que se quiera.

Este parámetro 𝒕 puede estar restringido entre ciertos valores (𝒂 < 𝒕 < 𝒃), pudiendo hacer así una

curva de la longitud que se quiera.

Se dice que la curva (𝑪) es una curva simple o arco de Jordan si no se corta a sí misma, si además el

inicio coincide con el final, se dice que es una curva simple cerrada o curva de Jordan.

Integración compleja

En general, la operación ∫

𝒛

𝟐

𝒛

𝟏

no se sabe calcular.

Pero, si 𝒇(𝒛) = 𝒖(𝒙, 𝒚) + 𝒊𝒚(𝒙, 𝒚) es una función continua en 𝑫 (el dominio) y 𝑪 (la curva en la que se

integral) está dentro de 𝑫, se cumple que:

"

"

"

"

"

Y si se parametriza la curva 𝑪 y se expresan 𝒖(𝒙, 𝒚) y 𝒚(𝒙, 𝒚) en función de 𝒕, se podrán obtener los

límites de integración (𝒂 y 𝒃) y, con suerte, se podrá resolver la integral.

Teorema de Cauchy-Goursat

El Teorema de Cauchy-Goursat también es conocido como

Teorema de la integral de Cauchy.

Este teorema afirma que, si 𝒇

es una función analítica en

𝑫, y 𝑪 es una curva cerrada en 𝑫, entonces se cumple que:

"

Series complejas

Una serie compleja es de la forma:

%

$

&

'

(

'

()%

Siendo ∑ 𝑧

3

)

396

3

)

396

3

)

396

, y se dice que la serie de 𝒛

𝒌

es convergente si tanto la serie de

𝒌

como la de 𝒚

𝒌

convergen. La serie de 𝒛

𝒌

es absolutamente convergente si converge la serie de |𝒛|

𝒌

Series de potencias complejas

Se denominan serie de potencias a las series:

(

(

'

()%

%

$

$

'

'

Teorema de Abel:

Si una serie de potencias converge para 𝒛 𝒐

, entonces converge para todos los 𝒛 tal que

𝒐

Se denomina dominio de convergencia de la serie de potencias a un círculo con centro cero y radio 𝐑.

El radio de convergencia (𝐑) se

puede calcular de varias formas:

R = lim

'→,

'

'-%

R = lim

'→,

B|𝑐

'

$

Series de Taylor

Toda función 𝒇(𝒛) analítica en un entorno de 𝒛

𝒐

es desarrollable en Serie de Taylor en ese entorno.

Se hace de forma idéntica que en variable real, solo que cambiando la variable real por la compleja.

'

D

'

'

E

#)#

%

'

'

().

Series de Laurent

Cuando 𝒇(𝒛) no es analítica en el punto 𝒛 𝒐

no se puede desarrollar en Serie de Taylor.

En estos casos se utiliza el desarrollo en serie de Laurent.

Sea 𝒇(𝒛) una función analítica en las circunferencias 𝑪 𝟏

𝒐

𝟏

y 𝑪

𝟐

𝒐

𝟐

𝟏

𝟐

Entonces para cada 𝒛 en la región entre 𝒓

𝟏

y 𝒓

𝟐

se cumple que:

'

'

,

')%

'

'

,

')%

Donde el primer término se denomina parte

analítica y al segundo parte principal.

Los coeficientes 𝒂 𝒏

y 𝒃

𝒏

pueden calcularse como:

'

'-%

"

'

/'-%

"

"

Aplicación del teorema de los residuos

𝒇(𝒛) es analítica en todo ℝ

D

𝒇(𝒛) tiene un polo simple en 𝒛

𝒐

D

= 2 𝜋𝑖 ∙ lim

.→.

&

[ 𝑓(𝑧) ∙ (𝑧 − 𝑧

!

) ]

𝒇(𝒛) tiene un polo de orden 𝒏 en 𝒛

𝒐

D

∙ lim

.→.

&

)( 6

)( 6

[ 𝑓(𝑧) ∙ (𝑧 − 𝑧

!

)] ‘

Aplicación del teorema de los residuos al cálculo de integrales

Existen varios tipos de integrales que se pueden resolver mediante residuos:

Tipo 𝐈 :

Son integrales de la forma

[

]

24

E

Se resuelven mediante el cambio de variable 𝑧 = 𝑒

01

, quedando como:

[

]

24

E

$#

|.| 96

Tipo 𝐈𝐈 :

Son integrales de la forma

'F

(F

sin polos reales.

Se toma la curva cerrada 𝑪 en el plano de Argand de modo que su parte horizontal sea

nuestra integral, mientras la parte semicircular se denominará 𝚪

𝑹

Dado que esta curva es cerrada, se puede aplicar el teorema del residuo.

G

(G

H

'

= 2 𝜋𝑖 ∙ y 𝑅𝑒𝑠[ 𝐹(𝑧), 𝑧

3

]

Se toman límites:

'F

(F

• lim

G→F

H

'

= 2 𝜋𝑖 ∙ y 𝑅𝑒𝑠[ 𝐹(𝑧), 𝑧

3

]

La integral en Γ

G

se hace cero, quedando así:

'F

(F

= 2 𝜋𝑖 ∙ y 𝑅𝑒𝑠[ 𝐹(𝑧), 𝑧

3

]

Tipo 𝐈𝐈𝐈 𝒂 :

Son integrales de la forma

'F

(F

o

'F

(F

sin polos reales.

Se toma la curva cerrada 𝑪 , que coincide con la del tipo II.

Dado que esta curva es cerrada, se puede aplicar el teorema del residuo.

Lema de Jordan:

Si 𝒇

es analítica en 𝜽 ∈

y cumple que 𝐥𝐢𝐦

𝒛→,

𝒇(𝒛) = 𝟎, entonces:

lim

4 →,

05

6

&

Se elige la integral:

𝑖𝑚𝑧

'F

(F

Se aplica el teorema del residuo:

𝑖𝑚𝑧

G

(G

𝑖𝑚𝑧

H

'

= 2 𝜋𝑖 ∙ y 𝑅𝑒𝑠[ 𝐹

3

]

Se toman límites:

𝑖𝑚𝑧

'F

(F

• lim

G→F

𝑖𝑚𝑧

H '

= 2 𝜋𝑖 ∙ y 𝑅𝑒𝑠[ 𝐹(𝑧), 𝑧

3

]

La integral en Γ

G

se hace cero por el lema de Jordan, quedando así:

𝑖𝑚𝑧

'F

(F

= 2 𝜋𝑖 ∙ y 𝑅𝑒𝑠[ 𝐹(𝑧), 𝑧

3

]

Dependiendo de la integral original, su resultado será la parte real o imaginaria:

'F

(F

$I.

'F

(F

'F

(F

$I.

'F

(F

Transformada de Laplace

Sea 𝒇(𝒛) una función definida para 𝒕 > 𝟎 , se define su transformada de Laplace como:

𝓛[𝑓(𝑡)] =! 𝑒

/#;

,

.

Propiedades básicas

Linealidad:

[

) ]

[

) ]

[

) ]

Cambio de escala:

[

)]

ℒ D 𝑓 h

i E

Desplazamiento en frecuencia:

ℒ[ 𝑒

<;

∙ 𝑓(𝑡) ] = ℒ[ 𝑓(𝑡 − 𝜔) ]

Función potencial:

[

(

) ]

(

[

) ]

Función Gamma de Euler

Se define la función Gamma de Euler como:

[

]

/;

=

,

.

Esta función es recursiva, por lo que cumple la propiedad de que: 𝜞

[

]

[

]

Transformada de Laplace de una función periódica

Sea 𝒇(𝒛) una función periódica definida para 𝒕 > 𝟎 , con periodo 𝑻, su transformada es:

[

)]

#>

/#;

>

.

Series de Fourier

Las funciones ´ 1 ; 𝑐𝑜𝑠 μ

34

"

𝑥¶ ; 𝑠𝑒𝑛 μ

34

"

𝑥¶ · son linealmente independientes entre sí en el intervalo

[−𝑝, 𝑝], por tanto, una función periódica cualquiera puede escribirse como:

+ : D 𝑎

(

∙ 𝑐𝑜𝑠 h

𝑥i + 𝑏

(

∙ 𝑠𝑒𝑛 h

𝑥i E

'

()%

Esto se denomina Serie de Fourier.

Cálculo de los coeficientes

Cada uno de los coeficientes de la serie de Fourier se puede calcular de la siguiente forma:

?

/?

(

∙ 𝑐𝑜𝑠 h

𝑥i 𝑑𝑥

?

/?

(

! 𝑓(𝑥) ∙ 𝑠𝑒𝑛 h

𝑥i 𝑑𝑥

?

/?

En funciones pares, 𝒃 𝒌

= 𝟎 , mientras que, en funciones impares, 𝒂

𝒌

= 𝟎. Pero esto no es una

condición bidireccional, hay funciones sin simetría en las que alguno de sus coeficientes es cero.

Forma compleja de la serie de Fourier

También se puede expresar mediante números complejos, en este caso sólo hay dos coeficientes:

(

0 ∙

(A

?

=

'

()%

Estos coeficientes pueden calcularse de la siguiente forma:

?

/?

(

(

(

/(

(

(

(

/ 0 ∙

(A

?

=

?

/?

(

(

/(

(

(

/(

Ley de Tensiones de KirchhoN:

Establece que la suma algebraica de las caídas de tensión a lo largo de un lazo cerrado es cero:

p⃗

(

(

Impedancia compleja y elementos de circuito

En corriente alterna, los componentes de un circuito no solo resisten el paso de la corriente (como en

corriente continua), sino que también pueden desfasarla. Para describir este comportamiento, se usa

el concepto de impedancia (𝐙), que generaliza la resistencia eléctrica.

La impedancia es una magnitud compleja que relaciona el fasor de tensión con el fasor de corriente:

V

pp⃗

= Z ∙ I

Donde 𝐙 ∈ ℂ y se mide en ohmios (𝛀), como la resistencia.

La impedancia tiene una parte real (resistencia 𝑹) y una parte imaginaria (reactancia 𝑿):

Impedancia de los elementos básicos:

Resistencia Autoinducción Condensador

4

I

"

Donde 𝝎 = 𝟐𝝅𝒇.

Interpretación geométrica:

4

se representa sobre el eje real.

I

está sobre el eje imaginario positivo (corriente retrasada).

"

está sobre el eje imaginario negativo (corriente adelantada).

Ventajas del uso de impedancias complejas:

· Permiten aplicar la Ley de Ohm en circuitos de corriente alterna: 𝑽

ÀÀ⃗

· Se pueden sumar impedancias en serie y paralelo, como si fueran resistencias complejas.

· Facilitan el análisis de filtros, resonancias y potencia.

Otras magnitudes

Además de la impedancia, en el análisis de circuitos con números complejos se introducen otras

magnitudes que permiten describir mejor el comportamiento eléctrico, especialmente en lo relativo

al flujo de corriente y el consumo de potencia.

Magnitudes derivadas de la impedancia:

Admitancia Conductancia Susceptancia

Potencia en circuitos de corriente alterna:

La potencia en circuitos de corriente alterna tiene varias formas, y los números complejos permiten

describirlas eficientemente:

Potencia aparente Potencia activa Potencia reactiva

𝑆 = 𝑉 ∙ 𝐼 𝑃 = 𝑅𝑒(𝑆) 𝑄 = 𝐼𝑚(𝑆)

Resolución de circuitos

Cálculo de impedancia total:

En serie:

;

(

'

()%

En paralelo:

;

(

'

()%

Cálculo de intensidad total:

;

;

B

DJ

$

DK

$

Cálculo de la fase del circuito:

DJ

DJ