Variable Compleja
Segunda Lista de Ejercicios
1. Sea Sel conjunto abierto que consiste de todos los puntos ztales que
jzj<1ojz2j<1:Demuestre que S no es conexo.
2. Demuestre que si z1yz2son puntos …nitos en el plano complejo C;
entonces la distancia entre sus proyecciones estereográ…cas esta dada por
d(z1; z2) = 2jz1z2j
q1 + jz1j2q1 + jz2j2
También muestre que si z2=1;entonces la distancia correspondiente esta
dada por
d(z1;1) = 2
q1 + jz1j2
3. Encuentre el dominio de las siguientes funciones:
f(z) = z
z2+ 3
f(z) = z
z+ z
f(z) = 1
1 jzj2
4. Demuestre que si limz!z0f(z) = 0 y existe un número positivo Mtal que
jg(z)j Mpara todo zen alguna vecindad de z0;entonces limz!z0f(z)g(z) =
0:Use este resultado para mostrar que limz!0zei=jzj= 0:
5. Demuestre que la función f(z) = Arg (z)es discontinua en cada punto
del semieje real negativo (Nota: se incluye el 0).
6. Para cada una de las siguientes funciones, determine el conjunto de
puntos en los cuales esta es (i) diferenciable y (ii) holomorfa. Halle la derivada
donde esta exista.
f(z) = x3+ 3xy23x+iy3+ 3x2y3y
f(z) = 6z22z4ijzj2
f(z) = 2z2+ 6
z(z2+ 4)
1
