¡Descarga Análisis de transitorios y más Tesinas en PDF de Análisis de Circuitos Eléctricos solo en Docsity!
Análisis de Circuitos en el Tiempo
En este curso se van a analizar las respuestas transitorias en voltaje y/o corriente en los elementos básicos de un circuito eléctrico (Capacitor, Inductor y Resistor). Para ello seva a considerar el efecto que produce un interruptor o interruptores que estén colocados dentro de una red, estructura o circuito eléctrico. Aunque los circuitos que se van a considerar tienen una apariencia muy elemental,también son de una gran importancia práctica. Las redes de esta forma se emplean en amplificadores electrónicos, sistemas de control automático, amplificadores operacionales, equipos de comunicaciones y en otras muchas aplicaciones La respuestacomponen, éstos como ya se conocen son tres elementos pasivos y dos activos. Los de una red eléctrica está en función del tipo de elementos que la elementos pasivos son: Resistor, Capacitor e Inductor. Los elementos activos son:Fuente de Corriente y Fuente de Voltaje.
La manera en la que se van a representar y a considerar los elementos pasivos es lasiguiente:
La forma en la que se van a representar y a considerar los elementos activos es lasiguiente:
Laseléctrico; se muestra en las siguientes figuras. diferentes posiciones en que se representan los interruptores en un circuito
En la figura 1, se observa a un interruptor abierto; la figura 2 muestra a un interruptorcerrado y en la figura 3 se ven ejemplos de un interruptor de cambio de posición.
Figura 1. Diferentes posiciones de un interruptor abierto.
Figura 2. Diferentes posiciones de un interruptor cerrado.
Figura 3. Diferentes posiciones de un interruptor de cambio de posición.
posición a otra, produce en la red eléctrica un transitorio de poca duración, el cual va haCuando un interruptor es operado; es decir, se cierra, se abre o pasa de una ser estudiado. Al producirse un cambio de estado dentro de la red; esto es, de un estado permanente antes de accionar el interruptor, se pasa a un estado transitorio de pocaduración debido al cambio de posición del interruptor y posteriormente a otro estado permanente ya que el interruptor permanece en la nueva posición.
posición del interruptor o interruptores se ha extinguido.Se considera que en un estado permanente, el transitorio generado por el cambio de Puede darse el caso que al momento de operar los interruptores, los capacitores tengancarga y las bobinas contengan campos magnéticos, esto va ha originar que circule corriente a través de bobinas y capacitores. Bajo estas condiciones se dice que loscapacitores y las bobinas llegan al cambio de estado con condiciones iniciales.
Lasun estado permanente. La suma de estos dos estados constituye la solución del circuito condiciones iniciales producen transitorios de poca duración a los cuales le sigue y se considera una respuesta completa de la red eléctrica.
El método general que se va a emplear para analizar redes con interruptores es el siguiente: I. Se analiza el circuito para tiempos menores que cero t<0 (t=0 - ).^ Lo cual representa un tiempo antes de operar los interruptores. En este tiempo el circuito alcanza unestado permanente y aparecen las condiciones iniciales de los capacitores y bobinas.condiciones iniciales en bobinas y capacitores; además en este tiempo el capacitor Es importante el considerar que solo en este tiempo se tienen
Esta respuesta es la parte permanente o constante de la red eléctrica; es decir, su valor no se extingue con el tiempo. Lo anterior se debe a que esta respuesta esta en funciónde cualquier fuente independiente presente en el circuito.
Un ejemplo de cómo se debe analizar una red eléctrica con interruptores es de la formasiguiente. Considerando al circuito eléctrico de la figura 1.
Figura 1. Circuito eléctrico para analizar en el tiempo. SOLUCIÓN ● Para No existen condiciones iniciales en la red eléctrica. Esto se debe a que no circulacorriente por los elementos pasivos ya que el interruptor esta abierto y la corriente solo circula por trayectorias cerradas. ● Para Se observa de la figura 1 que el interruptor esta abierto por lo que entonces elinterruptor “” se cierra.
●El circuito que se va ha analizar para determinar el valor de corrientes o voltajes en los Para elementos es el mostrado en la figura 2 y este debe ser siempre en donde se tengan alos elementos almacenadores de energía (Inductor y Capacitor).
Figura 2. Circuito eléctrico obtenido para tiempos mayores que cero.
Aplicando LKV para cada malla: (1) (2) Aplicando LKI en el nodo “A”. (3) Se sabe que:
Al sustituir el valor de cada voltaje en las ecuaciones (1) y (2), se tiene. (4)(5)
Para eliminar la integral y tener solo ecuaciones diferenciales, lo que se hace es derivarambos miembros de las ecuaciones (4) y (5).
Para simplificar las ecuaciones (6) y (7) se va ha utilizar un operador siendo este: entonces las ecuaciones (6) y (7) quedan de la siguiente forma: (6’) (7’) Si ahora se despeja el valor de “” de la ecuación (3).
Cuando se sustituye el valor de “” en las ecuaciones (6´) y (7´), se obtiene. (8) (9) Ordenando términos tenemos. (10) (11) Las ecuaciones (10) y (11) son ecuaciones diferenciales de segundo orden cuya solución dará como resultado la respuesta de la red eléctrica. La solución de las ecuaciones diferenciales puede dividirse en dos tipos distintos siendoestas:
- Solución de una ecuación diferencial homogénea. Es importante recordar que una ecuación diferencial homogénea es aquella que es igual a cero. La solución de esta ecuación da como resultado una respuestallamada libre o natural.
- Solución de una ecuación diferencial no homogénea Una ecuación diferencial no homogénea es aquella que es igual a un valor. distinto de cero. La solución de esta ecuación da como resultado una respuestallamada forzada.
Respuesta Libre o Natural de un Circuito Eléctrico.
Esta respuesta esta íntimamente relacionada a las condiciones iniciales que pueda tener el circuito eléctrico; es decir, esta en función de la energía almacenada en bobinasy/o capacitores. En este tipo de respuesta para tiempos mayores que cero en el circuito que se este trabajando no debe de existir ninguna fuente de excitación.
Respuesta Forzada de un Circuito Eléctrico.
El circuito que se tiene que analizar será siempre en donde queden los elementos almacenadores de energía (Capacitor y/o Bobina). En la figura 3, se muestra el circuitoeléctrico para calcular las respuestas de , y para
Figura 3. Circuito eléctrico final para calcular las respuestas en Aplicando Ley de Kirchhoff de Corriente al circuito de la figura 3, para encontrar a. (1) donde:
Si se sustituyen los valores de e en la ecuación (1), se tiene. (2) Paramanera: simplificar la ecuación (2) se utiliza el operador , por lo que queda de la siguiente (3) Si se factoriza la ecuación (3) en función de y se ordenan los términos, esta queda: (4) La ecuación (4) es una ecuación diferencial de primer orden y homogénea, la soluciónpara este tipo de ecuaciones, esta dada por la ecuación siguiente:
El valor de la raíz para la ecuación (5) se determina por el proceso siguiente:(5)
Al pasar del otro lado de la ecuación a se obtiene:
por lo tanto:
Al sustituir el valor de l raíz en la ecuación (5), esta queda de la siguiente forma: (6) Para el calculo de la constante K; se evalúa la ecuación (6) en.
por lo tanto:
Se sabe que: , esto se debe a la continuidad que tienen en el origen las condiciones iniciales y a que en solo se hace cambio de posición de los interruptores; entonces:. Si sustituimos el valor devalor del voltaje en el capacitor para una respuesta libre de un circuito RC. K en la ecuación (6); se obtiene la ecuación para determinar el (7) Para determinar el valor de la carga en el capacitor; se sabe que: ; entonces la ecuación que se obtiene será: (8) La ecuación de la corriente puede obtenerse de: ; se tiene:
por lo tanto: (9)
Si se desea conocer la ecuación para determinar el valor del voltaje en la resistencia; se sabe que:. Al sustituir los valores de e , se obtiene: (10)
Constante de tiempo de un circuito RC.
Siempre que se tengan circuitos eléctricos con elementos almacenadores de energía esimportante conocer la rapidez con que la respuesta obtenida (Voltaje, Corriente, Impedancia, etc.) disminuye hasta ser cero o poder ser considerada como cero. La tasainicial de decaimiento o en la cual la respuesta empieza a disminuir se calcula evaluando a la derivada en el tiempo cero de la ecuación (11).
Se tiene: (11)
El tiempo que tardadecaimiento o disminución constante, se designa mediante la letra griega (tau) , de tal en disminuir desde la unidad hasta cero, suponiendo una tasa de modo:
Por lo que; el tiempo que tarda la respuesta libre de un sistema de primer orden en disminuir a un 37 % de su valor original, se le conoce comorepresenta con la letra. constante de tiempo y se
(12) Puede considerarse que la respuesta libre de un circuito es cero cuando el tiempotranscurrido es de cinco constantes de tiempo ; esto es:. Ya que el valor de la respuesta obtenida es una fracción muy pequeña de lo que era al principio, es decir, eneste tiempo la respuesta es menor al 1% de su valor original.
Si se sustituyen los valores de y en la ecuación (1), se tiene. (2) Si se utiliza el operador , la ecuación (2) queda de la siguiente manera: (3) Al factorizar la ecuación (3) en función de y ordenar los términos, esta queda: (4) Por ser una ecuación diferencial de primer orden y homogénea, la solución para estetipo de ecuaciones, esta dada por la ecuación siguiente:
(5)
El valor de la raíz para la ecuación (5) se determina de la manera siguiente: . Al sustituir el valor de l raíz en la ecuación (5), esta queda de la siguiente forma: (6) Para el calculo de la constante K; se evalúa la ecuación (6) en.
se sabe que: ; entonces:. Si sustituimos el valor de K en la ecuación (6), se obtiene la ecuación para determinar el valor de la corriente en la bobina.(7)
Para determinar el valor de la del voltaje en la bobina; se sabe que: ; se tiene:
Por lo tanto: (8)
Si se desea conocer la ecuación para determinar el valor del voltaje en la resistencia; sesabe que:. Sustituyendo se obtiene:
por lo tanto: (9)
Constante de tiempo de un circuito RL.
La constante de tiempo de un circuito RL se obtiene de la ecuación: (11) Puede considerarse que la respuesta libre de un circuito es cero cuando el tiempotranscurrido es de cinco constantes de tiempo ;.
Respuesta Libre de un Circuito RLC
Figura 4. Circuito eléctrico final para calcular la respuesta en Aplicando Ley de Kirchhoff de Voltaje al circuito de la figura 4, para encontrar a. (1) donde:
Sustituyendo los voltajes en la ecuación (1). (2) no tener límites. Lo que se va a hacer para poder resolverla es derivar la ecuación (2)De la ecuación (2) se observa que el término que presenta dificultad es la integral por con respecto del tiempo.
(3) La ecuación (3) es una ecuación diferencial de segundo orden; sustituyendo el operadorpara simplificarla; esta queda de la siguiente manera:
(4) Dividiendo ahora la ecuación (4) entre L.
Factorizando a de la ecuación (5). (5) (6)
Se observa que la ecuación (6) es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden. Para calcular las raíces de la ecuación se va a aplicar la formula general.
por lo tanto. (7)
Para simplificar la ecuación (7) los términos que la forman se van a sustituir por las siguientes consideraciones. Coeficiente de Amortiguamiento
Frecuencia Natural del Circuito entonces. (8)
Otra consideración que se puede hacer es la siguiente: Frecuencia Amortiguada: sustituyendo lo anterior en la ecuación (8). (9) De los valores que puedan tener R, L y C en el circuito a resolver se pueden presentarlos siguientes casos:
a) Si ; resultan raíces complejas y conjugadas, la respuesta que se obtiene es llamada Bajo Amortiguada. Las raíces para este caso son:
La solución de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden (6), cuandolas raíces son complejas y conjugadas tiene la siguiente forma: (10) sustituyendo el valor de las raíces (11) Evaluando a la ecuación (11) en ; se tiene:
Como la condición inicial de la bobina es cero, entonces:
Para determinar el valor de una de las constantes, lo que se va ha hacer esderivar a la ecuación (11) con respecto del tiempo. (12) Evaluando la ecuación (12) en. (13) Se tiene el problema de que la condición inicial en la bobina es cero por lo tantoel resultado sería cero y no se podría determinar el valor de las constantes. Sin embargo se sabe que en una bobina:
Por lo tanto: (19)
La figura 5 muestra la grafica correspondiente a este tipo de respuesta; seobserva que la respuesta es transitoria. Además resulta ser el producto de una exponencial decreciente por una senoide. Figura 5. Grafica de la corriente para una respuesta Bajo Amortiguada.
b) Si ; resultan raíces reales y repetidas, la respuesta que se obtiene es llamada Críticamente Amortiguada. Las raíces para este caso son:
La solución de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden (6), cuandolas raíces son reales y repetidas tiene la siguiente forma: (20) sustituyendo el valor de las raíces (21) Evaluando a en ; se tiene:
Como la condición inicial de la bobina es cero, entonces:
Para determinar el valor de la constante que hace falta, lo que se va ha hacer es derivar a con respecto del tiempo. (22) Evaluando la ecuación (22) en. (23)
Se tiene el problema de que la condición inicial en la bobina es cero por lo tantoel resultado sería cero y no se podría determinar el valor de las constantes. Sin embargo se sabe que en una bobina: Evaluando a en.
Entonces:
Además se debe recordar que en : ; entonces. (24) Igualando a la ecuación (23) con la ecuación (24). (25) si se sustituye el valor de la constante y en la ecuación (21). (26) La figura 6 muestra la grafica correspondiente a este tipo de respuesta; se observa que la respuesta es transitoria. Además resulta ser el producto de unaexponencial decreciente por una recta.
Figura 6. Grafica de la corriente para una respuesta Críticamente Amortiguada.
c) (^) Si ; resultan raíces reales y diferentes, la respuesta que se obtiene es llamada Sobre Amortiguada. Las raíces para este caso son: La solución de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden (6), cuando las raíces son reales y diferentes tiene la siguiente forma: (27) sustituyendo el valor de las raíces (28) Evaluando a en ; se tiene:
Sustituyendo el valor de las constantes en la ecuación (28). (35) Se puede trabajar con la ecuación (33), para expresar de una manera distinta ala corriente.
Por lo tanto: (36) La figura 7 muestra la grafica correspondiente a este tipo de respuesta; seobserva que la respuesta es transitoria. Además resulta ser el producto de una exponencial decreciente por un seno hiperbólico.
Figura 7. Grafica de la corriente para una respuesta Sobre Amortiguada.
Constante de tiempo de un circuito RLC.
La constante de tiempo de un circuito RLC se obtiene de la ecuación siguiente: (37) Puede considerarse que la respuesta libre de un circuito es cero cuando el tiempo transcurrido es de cinco constantes de tiempo ;.
Respuesta Forzada de un Circuito RC
Para determinar las ecuaciones que permitan determinar la respuesta forzada de uncircuito RC se va ha analizar el circuito de la figura 1.
Figura 1. Circuito eléctrico para el cálculo de la respuesta Forzada en un Circuito RC.
SOLUCION.
Análisis para. Se puede observar en el circuito de la figura 2; que no existen condiciones iniciales en
el capacitor debido a que el circuito esta abierto y no circula corriente por los elementos.
Figura 2. Circuito eléctrico para el cálculo de las condiciones iniciales. En este caso:
Análisis para.
En esta condición se hacen los cambios de posición del o los interruptores que tenga en su configuración el circuito. Para el circuito de la figura 1, el interruptorlo que se cierra. esta abierto por
Análisis para
El circuito que se tiene que analizar será siempre en donde queden los elementosalmacenadores de energía (Capacitor y/o Bobina). En la figura 3 se muestra el circuito eléctrico final para calcular las respuestas de y para.
Figura 3. Circuito eléctrico para calcular las respuestas en Aplicando Ley de Kirchhoff de Voltaje al circuito de la figura 3, para encontrar a.
