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MATEMÁTICA I – MATEMÁTICA GENERAL
EL CONJUNTO DE NUMEROS REALES
El conjunto de los números naturales que se simboliza con la letra N está formado por los
elementos: 1, 2, 3, 4, …, 10, 11, …
El conjunto de los números enteros que se simboliza con la letra Z está formado por los números
naturales (enteros positivos), sus opuestos (enteros negativos) y el cero:
El conjunto de los números racionales que se simboliza con la letra Q son todos los números que
pueden expresarse como división (fracción) de dos números enteros, es decir, son los números
decimales finitos o los infinitos periódicos. Como observamos en el ejemplo de abajo, los enteros
forman parte de los racionales.
Ejemplos:
8
1
218
100
3221 − 322
90
2899
90
Ejercicio: Escribir como fracción los siguientes números reales: 0,124; 4,231313…; - 7
EL PORCENTAJE es un ejemplo de fracción o decimal finito
Por ejemplo, el 25 % (25 de 100) se expresa como
25
100
En general 𝐚% =
𝐚
𝟏𝟎𝟎
Ejercicio:
a) Escribir como fracción y número decimal los siguientes porcentajes: 30%, 5%, 140%
b) Escribir con notación de porcentaje las siguientes fracciones o decimales:
25
100
−
3
100
− 2 , 15 − 0 , 04
El conjunto de números Irracionales que se simboliza con la letra I está compuesto por los números
que no son racionales, es decir, los decimales infinitos no periódicos.
Hay algunos números irracionales muy comunes que se les ha dado
un nombre por ejemplo el número 𝛑 usado habitualmente en
geometría que se aproxima a 3,14 y el número e , comúnmente usado
en matemática y física, que se aproxima a 2,71.
Las raíces cuadradas no exactas como
√ 2 , √ 3 , √ 5 , … también son irracionales muy
usados.
El conjunto de números reales que se simboliza con la letra R está formado por los conjuntos
numéricos de los racionales y de los irracionales. En síntesis:
CONTENIDOS MÍNIMOS: CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES, PROPIEDADES Y OPERACIONES.
MATEMÁTICA I – MATEMÁTICA GENERAL
𝑁Ú𝑀𝐸𝑅𝑂𝑆 𝑅𝐸𝐴𝐿𝐸𝑆 {
PROPIEDADES DE LA SUMA Y PRODUCTO
En el conjunto de los números reales se definen dos operaciones: la adición y la multiplicación.
Estas operaciones en el conjunto de los números reales cumplen con ciertas propiedades o leyes.
Veremos las propiedades de estas operaciones:
TERMILOGÍA LENGUAJE
MATEMATICO
SIGNIFICADO
La adición es
conmutativa
a + b = b + a El orden es indiferente cuando se suman dos
números
La adición es
asociativa
a + (b + c) = (a + b) + c La agrupación es indiferente cuando se suman
tres números
0 es la identidad
aditiva (neutro)
a + 0 = a = 0 + a La suma de 0 con cualquier número es ese
número
(inverso aditivo)
a + (-a) = 0 =(-a) + a La suma de un número y su opuesto es el
neutro de la suma (0)
La multiplicación es
conmutativa
a.b = b.a El orden es indiferente cuando se multiplican
dos números
La multiplicación es
asociativa
a. (b.c) = (a.b). c La agrupación es indiferente cuando se
multiplican tres números
1 es la identidad
multiplicativa (neutro)
a.1 = a =1 .a La multiplicación de cualquier número por 1 es
ese número
Si a ≠ 0 entonces 1/a
es el recíproco de a.
(inverso multiplicativo)
a.(1/a) = 1 =(1/a).a La multiplicación de un número por su inverso
es el neutro de la multiplicación (1)
La multiplicación es
distributiva sobre la
adición
a.(b + c) = a.b +a.c
(b +c) .a = b.a + c.a
La multiplicación de un número por la suma de
dos números es equivalente a multiplicar cada
uno de los dos números por el primer número
y luego sumarlos
Si a = 0 entonces a.b = 0 cualquiera sea el número real b
Si a.b=0 entonces a =0 ó b =
MATEMÁTICA I – MATEMÁTICA GENERAL
términos del numerador.
términos del denominador
entre un factor del numerador y otro factor del denominador
Si en un desarrollo aparece:
ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES – RECTA NUMÉRICA
Los símbolos > (mayor que) y < (menor que) son signos de desigualdades y las expresiones a<b y
a>b se llaman desigualdades estrictas.
El orden en los números reales se define de la siguiente manera:
La notación a≥b se lee “a es mayor o igual que b” y la notación a≤b se lee “a es menor o igual que
MATEMÁTICA I – MATEMÁTICA GENERAL
b”. Estas notaciones se llaman desigualdades no estrictas.
Los números reales se representan por puntos en una recta de forma tal que a cada número real le
corresponde exactamente un solo un punto de la recta.
Si a < b entonces a esta ubicado a la izquierda de b en la recta numérica, esto da cuenta del orden
en los números reales.
Ejemplo:
Para dos números reales distintos a y b, siempre hay un tercer número real entre ellos, por
ejemplo, su promedio. 𝑷𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐
𝑎+𝑏
2
. En la recta numérica representa el punto medio del
segmento que forman los números a y b.
Ejemplos:
El promedio entre dos calificaciones 7 y 10 es
7 + 10
2
= 8 , 5 “8,5 es la calificación promedio”
El promedio entre dos temperaturas bajo cero - 5 y - 1 es
− 5 +(− 1 )
2
= − 3 “-3 es la temperatura
promedio”
Entre los números reales - 0,005 y 0,002 se encuentra el número real
− 0 , 005 + 0 , 02
2
= 0 , 0075 entre
otros.
Distancia:
Distancia de un número al 0
¿Cuál es la distancia del número “a” al cero? ¿Y la de su opuesto “-a” al cero?
MATEMÁTICA I – MATEMÁTICA GENERAL
POTENCIAS CON EXPONENTES ENTEROS Y RADICALES
La potenciación para cualquier número real a (base) y un entero positivo n (exponente) es la
operación matemática mediante la cual se multiplica la base por sí misma las veces que indique el
exponente.
En símbolos: a
n
es una potencia y representa al número real a. a. a … a, n veces
Exponente cero o entero negativo:
a
0
= 1 (a≠0)
a
= representa al número real
1
a
1
a
1
a
𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 (a ≠ 0 )
Leyes de potencias:
Terminología Notación y
propiedad
Ejemplo Significado
Producto de
potencias de igual
base
a
n
. a
m
= a
n+m
4
4+(-10)
Si se multiplican dos o más
potencias de igual base, el
resultado es otra potencia, de
la misma base cuyo
exponente es la suma de los
exponentes anteriores
Cociente de
potencias de igual
base
a
n
: a
m
= a
n-m
a
n
/ a
m
= a
n-m
8
3
5
2
3
2 - 3
Si se dividen dos o más
potencias de igual base, el
resultado es otra potencia, de
la misma base cuyo
exponente es la resta de los
exponentes anteriores
Potencia de otra
potencia
(a
n
m
= a
m.n
[(-2)
3
]
3.(-1)
Si se eleva una potencia a
otra potencia, el resultado es
otra potencia de la misma
base cuyo exponente es el
producto de los exponentes
anteriores
Distributiva de la
potencia con la
multiplicación o la
división
(a.b)
n
= a
n
.b
n
(a/b)
n
= a
n/
b
n
La potencia de un producto es
el producto de las potencias.
La potencia de un cociente es
el cociente de las potencias
En fracciones tenemos:
𝑎
𝑏
−𝑛
𝑏
𝑎
𝑛
Para elevar una fracción a un entero negativo, invierto la fracción y cambio el signo
del exponente.
𝑎
−𝑚
𝑏
−𝑛
𝑏
𝑛
𝑎
𝑚
Para pasar un número elevado a una potencia del numerador al denominador o del
denominador al numerador, cambie el signo del exponente.
Notación Científica
MATEMÁTICA I – MATEMÁTICA GENERAL
Los exponentes enteros con frecuencia se utilizan para escribir números muy grandes o muy
pequeños de una forma práctica. Cualquier número real positivo puede escribirse en la forma b.
n
donde 1 b 10 y n es un entero. Un número así escrito está en notación científica.
Ejemplos:
Radicación:
Si n es cualquier número entero positivo, entonces se define la raíz n-ésima del número real a
como: √
𝑛
= 𝑏 significa que 𝑏
𝑛
La radicación como potencia:
Exponente fraccionario:
1
𝑛
representa al número real
𝑛
𝑚
𝑛
representa al número real (
𝑛
𝑚
Importante: para el exponente fraccionario valen las propiedades de potencia antes vistas.
LOGARITMO DE UN NÚMERO
La logaritmación es una operación por la cual dos números llamados base 𝑏 y argumento a se
transforman en otro llamado logaritmo 𝑛
𝑛 indica la cantidad de veces que hay que multiplicar la base 𝑏 para obtener el argumento a. Y 𝑛
debe ser única solución.
MATEMÁTICA I – MATEMÁTICA GENERAL
LOGARITMOS DECIMALES Y LOGARITMOS NEPERIANOS
Se llaman logaritmos decimales a los logaritmos de base 10: log 10
a Generalmente, se los
escribe sin la base: log a , y se lee: “logaritmo decimal de a”
Se llaman logaritmos neperianos también llamados logaritmos naturales a los logaritmos cuya
base es el número e de Neper: log e
a , e es un número irracional cuyo valor es 2,7182.....
Generalmente, se los escribe: ln a , Y se lee: “logaritmo neperiano de a” o “logaritmo natural de a”
Los logaritmos decimales y naturales se pueden calcular con la calculadora directamente.
¿Pero cómo pueden obtenerse con calculadora logaritmos en otras bases?
Se utiliza la propiedad denominada Cambio de Base : log
𝑏
log
𝑛
𝑎
log
𝑛
𝑏
Ejemplo: Calcular 𝐥𝐨𝐠
𝟓
Como vemos, este logaritmo en algunas calculadoras no lo podemos realizar ya que su base es 5,
no es 10 ni e, tampoco lo podemos calcular mentalmente ya que no hay un número entero tal que 5
elevado a ese número de 341. 5
3
= 125 y 5
4
=625. Esto indica que resultado está entre 3 y 4.
Para nuestro ejemplo: log
5
log 341
log 5
= 3 , 623 … siguiendo los pasos indicados anteriormente con
la calculadora, en este caso la base elegida es la base 10.
