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MATEMÁTICA I – MATEMÁTICA GENERAL
SIMETRIAS Y TRANSFORMACIONES
SIMETRÍAS – FUNCIONES PARES E IMPARES
Una función y = f(x) es par si f(-x) = f(x) para todo x∈Dom(f).
Gráficamente f(x) es simétrica respecto al eje Y ya que la imagen de un número real y su opuesto
es la misma. x→f(x) - x→f(x)
Una función y = f(x) es impar si f(-x) = - f(x) para todo x∈Dom(f).
Gráficamente f(x) es simétrica respecto al origen (0,0) ya que la imagen del opuesto de un valor
real es la imagen opuesta del valor real. x→f(x) - x→-f(x)
Ejemplos:
f(x) = √𝑥
2
3
es par ya que f(-x) = √(−𝑥)
2
3
2
3
= f(x)
f(x) = √
3
es impar ya que f(-x) = √
3
3
= - f(x)
MATEMÁTICA I – MATEMÁTICA GENERAL
TRANSFORMACIONES RÍGIDAS
Una transformación rígida aplicada a una gráfica es aquella que sólo cambia la posición de la gráfica
en el plano XY, pero no cambia su forma.
Sea f una función y a una constante real positiva entonces:
f(x+a) produce un corrimiento horizontal de f(x), ‘a’ lugares hacia la izquierda
f(x-a) produce un corrimiento horizontal de f(x), ‘a’ lugares hacia la derecha
El desplazamiento horizontal incide en el dominio de f(x±a) siempre que no sean los Reales
f(x)+a produce un corrimiento vertical de f(x), ‘a’ lugares hacia la arriba
f(x)-a produce un corrimiento vertical de f(x), ‘a’ lugares hacia la abajo
El desplazamiento vertical incide en la imagen de f(x±a) siempre que no sean los Reales
- f(x) produce una simetría de f(x) respecto al eje X [es la gráfica de f reflejada en el eje x]
f(-x) produce una simetría de f(x) respecto al eje Y [ es la gráfica de f reflejada en el eje y]
| f(x) | las imágenes negativas de f(x) tiene una simetría respecto al eje X, es decir se
convierten en positivas
MATEMÁTICA I – MATEMÁTICA GENERAL
- Determinar la fórmula de la función cuya grafica es la gráfica de f(x)= x
3
, reflejada en
el eje x, desplazada 5 unidades hacia la derecha y comprimida verticalmente por c =
¼. La función es g(x)= - 1/4 (x-5)
3
FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES
Una función f puede contener dos o más expresiones o fórmulas, cada una de ellas definida
para diferentes partes del dominio de f. Una función definida de esta manera se llama función
definida por partes. Por ejemplo,
MATEMÁTICA I – MATEMÁTICA GENERAL
COMPOSICION DE FUNCIONES
Supongamos que tenemos dos funciones g y f y un número x del dominio de g. Aplicando g a x
obtenemos el número g(x). Si g(x) pertenece al dominio de f , podemos aplicar f a g(x) y obtener el
número f(g(x))
¿Qué es f(g(x))? Es un número real que se obtiene de aplicar primeramente la función g a x y, a
continuación, aplicar la función f a g(x) (como vemos en el gráfico)
La composición es una operación entre funciones que se establece de la siguiente manera:
Dadas dos funciones f y g, se define como la composición de la función g con la función f, y se escribe
f ° g, cuya regla de correspondencia es
El símbolo “f ° g” denota la función compuesta de g con f y se lee: “g compuesta con f” ó “f cerito g” ó
bien “fog”
Observemos que:
La composición de funciones se puede definir bajo ciertas condiciones. Es suficiente que parte
de la imagen de g esté contenida en el dominio de f. Pero nosotros vamos a trabajar bajo unas
condiciones más estrictas, vamos a pedir que toda la imagen de g esté incluida en el dominio de
f, es decir, Img(g) ⊆ Dom(f) (⊆: se lee, “está incluido o es igual”)
El Dominio de (f ° g) son los x del dominio de g para los cuales g(x) forman parte de dominio de
f(x), pero por la condición establecida previamente podemos decir que el Dom( (f ° g) = Dom (g)
Ejemplo 1:
Sean g(x)= x
2
y f(x) = x+3.
Imag(g)=[0,+∞) y Dom(f)=R, como [0,+∞) ⊂ R (Imag(g) ⊂ Dom(f)) por lo tanto existe f °g.
Dominio = [-2,1) (1,3) (sobre el eje X)
Imagen = [-2,1) (-6,2) = (-6,2) (sobre el eje Y)
Dominio = (-∞, 2) {2} (2, +∞) = (-∞, +∞)
(sobre el eje X)
Imagen = {3} {0} (1, +∞)= {0} (1, +∞)
(sobre el eje Y)
MATEMÁTICA I – MATEMÁTICA GENERAL
ANEXO: GRÁFICO DE ALGUNAS FUNCIONES BÁSICAS
