Funciones Elementales y Gráficas: Apuntes de Matemática I, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas

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MATEMÁTICA I – MATEMÁTICA GENERAL

CONTENIDOS MÍNIMOS: FUNCIONES ELEMENTALES Y GRÁFICAS

PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano o plano XY está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una

horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las

abscisas o de las ( x ), yla vertical, eje de las ordenadas o de las ( y ); el punto donde se cortan recibe

el nombre de origen de coordenadas. Queda definido así, un sistema llamado de coordenadas

cartesianas o rectangulares. El plano queda dividido en cuatro cuadrantes : I,II,III y IV

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos en el plano, los cuales

se representan por sus coordenadas escritas en forma de pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un valor de abscisa y uno de ordenada respectivamente,

esto indica que un punto llamado P se puede ubicar en el plano cartesiano con base a sus

coordenadas, lo cual se representa como P(x,y).

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1. Para ubicar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la

derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen,

en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia

arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza

cualquier punto dadas sus coordenadas.

Ejemplo: Ubicar los puntos: P (-2, 5) , Q (3,-2) y T (-4,-3)

MATEMÁTICA I – MATEMÁTICA GENERAL

Como cada punto del plano cartesiano es un par ordenado , el punto P (1,3) es distinto al punto Q

Definición de FUNCION

Generalmente consideramos funciones en las que los conjuntos A y B son conjuntos de números

reales. Las funciones se denotan por letras, si denotamos por f una función dada y x es un

número, entonces denotamos por f(x) el número asociado a x mediante la función f.

Ejemplos:

1. Consideremos la función en donde a cada número real se le asocia su cuadrado, entonces:

2

2

2

Si llamamos f a la función que asocia x con su cuadrado tendremos la función f(x) = x

2

. Entonces se

escribe:

Una función de un conjunto A en otro B es una asociación o correspondencia de cada elemento de A con

exactamente un y sólo un elemento del conjunto B.

MATEMÁTICA I – MATEMÁTICA GENERAL

2. La imagen de la función z(x) = 1/ x es el conjunto de todos los números reales salvo el 0,

puesto que: Si x > 0 los valores de 1 / x son positivos y cuanto más cerca esté x del 0, 1 /x

toma valores cada vez mayores y cuando x toma valores muy grandes 1 / x toma valores

cada vez más cercanos a 0. Si x < 0 en que los valores de 1/ x son negativos. Pero no hay

ningún valor de x para el cual 1/ x = 0. Imag(z) = R – {0}

GRÁFICA DE FUNCIONES

Si f es una función, se llama gráfica de f a la colección de todos los pares ordenados

de la forma (x,f(x)) donde x pertenece al dominio de f y f(x) es la imagen de x,

localizados en un plano coordenado.

Para el ejemplo del área del rectángulo, la colección de todos sus puntos genera al gráfico:

Como a cada valor x en el dominio le corresponde exactamente un valor f(x), una curva en el

plano es la gráfica de una función si y solo si ninguna recta vertical corta a la curva más de

una vez. (esto indicaría que un valor del dominio tiene más de una imagen)

Ejemplos:

MATEMÁTICA I – MATEMÁTICA GENERAL

INTERSECCIONES CON LOS EJES – ordenada al origen – raíces

Cuando graficamos una función definida por una fórmula y=f(x), se suele sugerir que se verifique si

la gráfica de la función va a “cortar o tocar” los ejes cartesianos X e Y en algún punto. Gráficamente

los puntos de intersección entre la gráfica de la función y los ejes cartesianos son fáciles de identificar.

Como se observa, si un punto pertenece al eje Y, la coordenada x=0 y si el punto cae sobre el eje X,

la coordenada y=0. Usamos esta característica para hallar esos puntos analíticamente.

Intersección con el eje Y – Ordenada al Origen

En general, el punto de intersección de la gráfica de una función y=f(x) con el eje Y es el punto de

coordenadas (0,f(0)) siempre y cuando el valor x=0 pertenezca al dominio de la función f. Y por otro

lado si existe ese punto, es único. ¿Por qué?

Además, al valor de la ordenada de x=0, es decir, a f(0) se la denomina Ordenada al Origen

Intersección con el eje X - Raíz o Cero de la función

En general, el punto de intersección de la gráfica de una función y=f(x) con el eje X es el punto de

coordenadas (x,0). En este caso la función puede no cortar al eje X o cortarlo más de una vez.

Además, al valor de la abscisa de y=f(x)=0, es decir, a la x se la denomina Raíz o Cero de la función.

¿Cómo hallamos los puntos de intersección con los ejes cartesianos analíticamente?

Ejemplo:

Calcular las intersecciones con los ejes X,Y de la gráfica de la función y = 2x

2

• 4x +

MATEMÁTICA I – MATEMÁTICA GENERAL

Signo de la función:

Tiene que ver con que si la imagen de la función es positiva o negativa..

Se define el intervalo de positividad a aquel intervalo del dominio de la función donde la función es

positiva. Gráficamente es donde la gráfica de la función está por encima del eje X.

Se define el intervalo de negatividad a aquel intervalo del dominio donde la función es negativa.

Gráficamente es donde la gráfica de la función está por debajo del eje X.

Cabe aclarar que los valores donde la función

es cero, ya fueron definidos y corresponde a

los “ceros” o “raíces” de la función

Ejemplo: Determinar gráficamente intervalos de crecimiento y decrecimiento, intervalos de

positividad y negatividad y extremos locales de la función, cuál es y dónde se produce

Creciente: (− 2 , − 1 ), ( 1 , 2 )

Decreciente: (−∞, − 2 ), (− 1 , 1 ), ( 2 , +∞)

Positiva:

Negativa:

Máximo local: y = 2 en x = − 1

Mínimo local: y = − 2 en x = 1