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Aplicación de variable compleja en ingeniería
Dra. Elsa Jacqueline Pozo Jara
Estudiante: Juan Carlos Salazar
Departamento de Ciencias exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Extensión Latacunga,
Latacunga, Ecuador
E-mail : [email protected].
Abstract
This article aims to inform about complex variables and their history up to the present, giving priority to the different types of applications that complex variables can take in any topic of engineering and explain in which aspects these are highlighted.
Keywords: Complex variable, Engineering, applications, complex numbers.
Resumen
Este artículo pretende informar sobre las variables complejas y su historia hasta la actualidad dando como prioridad los diferentes tipos de aplicaciones que puede tomar las variables complejas en cualquier ámbito de la ingeniería y explicar en qué aspectos más estos se destacan.
Palabras claves: Variable compleja, Ingeniería, aplicaciones, números complejos.
I OBJETIVOS
A. Objetivo General
Explicar las aplicaciones reales de variable compleja que puede tomar estos en la ingeniería.
B. Objetivos específicos
Detallar la historia de los números complejos, como estos han sido importantes a medida del avance de la historia hasta en la actualidad.
Identificar en que aspectos del estudia de la ingeniería las variables complejas se destacan.
II INTRODUCCIÓN
Los números que hoy llamamos “complejos” fueron durante muchos años motivo de polémicas y controversias entre la comunidad científica. Poco a poco, por la creciente evidencia de su utilidad, acabaron por ser comúnmente aceptados, aunque no fueron bien comprendidos hasta épocas recientes. Nada hay de extraño en ello si pensamos que los números negativos no fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII.
Los números complejos hacen sus primeras tímidas apariciones en los trabajos de Cardano (1501-1576) y Bombelli (1526-1672) relacionados con el cálculo de las raíces de la cúbica o ecuación de tercer grado. Fue René Descartes (1596-1650) quien afirmó que “ciertas ecuaciones algebraicas solo tienen solución en nuestra generación” y acuño el calificativo “imaginarias” para referirse a ellas. Desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII los números complejos o imaginarios son usados con recelo, con desconfianza. Con frecuencia, cuando la solución de un problema resulta ser un numero complejo se interpreta esto como que el problema no tiene solución. Para Leibnitz “el numero imaginario es un recurso sutil y maravilloso del espíritu divino, casi un anfibio entre el ser y el no ser”. [1]
La teoría de las funciones de variable compleja se puede considerar, como se observa al analizar su azarosa historia, uno de los milagros de la Matemática. La derivabilidad de una función real en un abierto solo implica, en general, que esta tenga derivada en los puntos del abierto. Sin embargo, en el campo complejo basta que una función sea derivable en un conjunto abierto para que sea infinitivamente derivable en dicho conjunto. [2]
III. APLICACIONES DE LA VARIABLE COMPLEJA
En la teoría de las corrientes alternas, la aplicación de cantidades tal como la impedancia compleja involucra funciones cuyas variables independientes son números complejos. Hay muchas otras áreas en la ingeniería en las que éste es el caso; por ejemplo, el movimiento de fluidos, la transmisión de calor o el procesamiento de señales.
Tradicionalmente, las técnicas de variable compleja han sido importantes y ampliamente utilizadas en una gran variedad de situaciones de la ingeniería. Tal ha sido el caso especialmente en el electromagnetismo y la electrostática, la dinámica de fluidos, la aerodinámica y la elasticidad.
Un ejemplo donde la teoría ha realizado una contribución significativa en el diseño de piezas aeronáuticas para aviones y otros vehículos aéreos. La fortaleza de la teoría en tales aplicaciones es su habilidad para generar mapeos que transforman figuras complicadas como por ejemplo un ala en figuras simples, típicamente un circulo en el caso de un ala. La idealización del aire alrededor de la pieza transformada que en el caso anterior es del círculo es relativamente fácil de calcular y revirtiendo la transformación puede deducirse el flujo del aire alrededor del ala, y por tanto su capacidad de sustentación.
Para la aplicación de la ingeniería las transformaciones en una forma u otra juegan un rol muy importante tanto en el análisis como en el diseño. El uso de las transformaciones de Laplace, z, Fourier y otras en áreas tales como el control, las comunicaciones y el procesamiento de señales es de gran importancia. [3]
A. Análisis de circuitos de corriente alterna
Para entender la siguiente aplicación del análisis de un circuito de corriente alterna lo veremos en la figura 1 donde deseamos encontrar la variación en la impedancia Z y la admitancia Y conforme la capacitancia C donde el capacitor varía de 0 a infinito
Figura 1. Circuito de corriente alterna
Fuente: Matemáticas avanzas para ingeniería 2da^ Edición por Glyn James
