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UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DE LA EDUCACIÓN
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
RED B
Asignatura: ANÁLISIS NUMÉRICO
Programas Académico: INGENIERÍA DE SISTEMAS E INGENIERÍA ELECTRÓNICA
Estudiante:
Grupo:
Fecha de entrega:
Ciudad: Valledupar
TAREA 5
Para el siguiente ejercicio:
1. En el techado de las casas se utilizan planchas corrugadas con perfil
ondulado:
Cada onda tiene la forma f ( x )=sen ( x) , con un periodo de 2 π pulgadas. El perfil
de la plancha tiene 8 ondas y la longitud L de cada onda se la puede calcular
con la siguiente integral:
L=
0
2 π
1 +( f
'
( x ) )
2
dx
Esta integral no puede ser calculada por métodos analíticos.
(a) Use la fórmula compuesta de Simpson con n=4, 6, 8, 10, para calcular L y
estime el error en el último resultado
Siguiendo la fórmula compuesta de Simpson:
a
b
f ( x ) dx=
b−a
3 n
[
f ( a) + 4
i=1,3,
n− 1
f
x
i
j=5,4,
n− 2
f
x
j
x
n
]
L=
0
2 π
1 +( f
'
( x ) )
2
dx ; f ( x) =sen ( x)
L=
0
2 π
1 +( cos ( x))
2
dx
Para la solución de la integral con la fórmula compuesta de Simpson se
desarrolló el siguiente programa en Matlab:
format longE
a=0;
b=2*pi;
n=[4 6 8];
for i=1:
spar=0;
simp=0;
gr=n(i)
h=(b-a)/n(i);
for j=1:(gr-1)
if mod(j,2)~=
x=a+h*j;
fx=sqrt(1+(cos(x)^2));
simp=simp+fx;
end
end
for k=1:(gr-2)
if mod(k,2)==
x=a+h*k;
fx=sqrt(1+(cos(x)^2));
spar=spar+fx;
end
end
fa(i)=sqrt(1+(cos(a)^2))
fb(i)=sqrt(1+(cos(b)^2))
int(i,1)=((b-a)/(3n(i)))(fa(i)+4simp+2spar+fb(i))
end
Con los siguientes resultados:
int =
7.150712163558635e+
7.645131779466061e+
7.658357851230175e+
Con n= 4 ; ∫
Con n= 6 ; ∫
Con n= 8 ; ∫
Se puede observar que a medida que aumenta el número de subintervalos
aumenta la precisión del cálculo.
Para la solución del problema por el método de Runge-Kutta se desarrolló el
siguiente código en Matlab.
format longE
syms x y
f=(y/x)-(y/x)^2;
h=0.1;
x=1;
xi=0;
y=1; %Condición inicial
int=1;
i=1;
while xi<int
xi=x;
yi=y;
k1=eval(f);
x=xi+(1/2)*h;
y=yi+(1/2)k1h;
k2=eval(f);
x=xi+(1/2)*h;
y=yi+(1/2)k2h;
k3=eval(f);
x=xi+h;
y=yi+k3*h;
k4=eval(f);
y=yi+(h/6)(k1+2k2+2*k3+k4)
fprintf('i= %i x=%.2f y=%f',i,xi,yi)
fprintf('\n k1= %f',k1)
fprintf('\n k2= %f',k2)
fprintf('\n k3= %f',k3)
fprintf('\n k4= %f',k4)
fprintf('y(i+1)=%f \n\n',y)
i=i+1;
xi=xi+h;
end
fprintf('i= %i x=%.2f y=%f',i,xi,y)
Con los resultados:
y =
1.004281503789555e+
i= 1 x=1.00 y=1.
k1= 0.
k2= 0.
k3= 0.
k4= 0.079401y(i+1)=1.
i= 2 x= 1.100000 y=1.
Los resultados con el programa en Matlab fueron:
y ( 1.100000)=1.
Y el resultado usando la solución real:
y ( 1.1)=1.1/( 1 + ln1.1)
y ( 1.1)=1.
Forma de cálculo Solución
Solución del programa de Matlab
y ( 1.100000)=1.
Solución Real
y ( 1.1 00000 )=1.
Entonces, porcentaje de error del resultado del programa de Matlab es:
%e=
%e=1.72063∗ 10
− 4
Con esto, se concluye que el programa de Matlab arroja resultados confiables:
