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Existen varias formas de definirlas, Podemos definirlas de diferentes maneras: Toda curva cónica puede obtenerse como la intersección de un plano con un cono cuádrico, o tambien llamado cono de doble hoja, o cono circular recto (Así lo hacían los griegos). Podemos obtenerlo haciendo girar a una recta ( generatriz ) alrededor de un eje , haciendo pasar en forma concéntrica un haz de rectas por un punto (vèrtice)
Si comenzamos a seccionar al CONO CUÂDRICO con distintos planos, podremos obtener las diferentes curvas cónicas.
Curvas cónicas
Sí cortamos con un plano secante, oblicuo respecto de la horizontal, que corte todas las generatrices, obtendremos una curva llamada ===> ELIPSE
MATEMATICA – GEOMETRIA – CONICAS Catedra^ Arq. Marita Iravedra
CIRCUNFERENCIA
ELIPSE Si lo cortamos con un plano normal, perpendicular al eje de simetría, obtendremos una curva llamada ===> CIRCUNFERENCIA (otra forma: si el plano secante es perpendicular al eje de la superficie de revolución, la curva obtenida será una circunferencia.)
Otra forma de definir a las curvas cónicas es a partir de la ecuación general de segundo grado ……. ESO NO LO VAMOS A HACER en este curso...
Ahora vamos a definirlas, a cada una de ellas como el conjunto de puntos del plano que satisfacen una cierta condición ...... propiedad geométrica. También podemos decir que las vamos a definir ....... por la propiedad que satisfacen cada uno de los puntos de cada una de las cónicas
Si cortamos con un plano inclinado, paralelo a una recta generatriz del cono obtendremos una curva llamada ===> PARÁBOLA
PARÁBOLA
Si cortamos con planos paralelos al que contiene al eje de simetría, el plano será paralelo a dos generatrices, obtendremos una curva llamada ===>HIPÉRBOLA
HIPÉRBOLA
Si cortamos con un plano que contenga al eje de simetría del cono obtendremos ===>2 RECTAS
MATEMATICA – GEOMETRIA – CONICAS Arq. Marita Iravedra
F 1 F 2 = 2c distancia entre focos, eje focal
- si las reemplazamos en la ecuación de la elipse quedarán:
- Eje X => => => V 1 = (-a, 0), V 2 = ( a, 0)
- Eje Y => => =>V 3 = ( 0, b), V 4 = (0, -b)
MATEMATICA – GEOMETRIA - CONICAS
Sabemos que el Eje X, tiene ecuación => Y=0, y que el Eje Y, tiene ecuación => X=0,
V 1 V2= 2a eje mayor => es el eje sobre el que están ubicados los focos
V 3 V4= 2a eje menor
si las reemplazamos en la ecuación de la elipse quedarán:
si hallamos las intersecciones con los ejes coordenados , obtenemos:
Como el vértice V 3 pertenece a la elipse, debe verificar la definición F 1 V 3 + F 2 V 3 = 2a (por definición) Por simetría F 1 V 3 = F 2 V 3 = a Sabemos que F 1 O = F 2 O = c Sabemos que V 3 O = b Si analizamos el triángulo F 1 O V 3 que es rectángulo, se cumple que:
MATEMATICA – GEOMETRIA - CONICAS
Qué pasará si el eje mayor es vertical? siempre los focos se ubican sobre el eje mayor la ecuación será misma: pero se modifica la relación:
Despejando obtenemos:
Despejando obtenemos:
MATEMATICA – GEOMETRIA – ELIPSE Cátedra Arq. Marita Iravedra
V 1 = (- a ; 0) V 2 = ( a ; 0)
Si C=( 0; 0)
F 1 = ( - c ; 0) F 2 = ( c ; 0)
eje mayor vertical
eje mayor horizontal
ELIPSE: Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma a dos
puntos fijos llamados focos es constante
V 3 = (0 ; b) V 4 = ( 0 ; – b)
a
En Elipse
• Excentricidad: es la relación entre las distancias focal y el
eje determinado por los vértices que incluyen a dichos focos
MATEMATICA – GEOMETRIA - CONICAS
0 ≤ e ≤ 1
0 ≤ e ≤ 1
Por ejemplo con 𝒆 =
𝟓 c = 0^ a = b => e= 0
MATEMATICA – GEOMETRIA – CONICAS
CIRCUNFERENCIA : es un caso particular de elipse; donde el eje mayor es igual al eje menor => a = b =>
esa medida, a = b = R será el radio de la circunferencia.
Si el centro está en C=( h; k) => la ecuación será:
Como a= b = R
Ecuación de una circunferencia con centro en el origen de coordenadas
En las elipses se cumple que el semieje focal c cumple con la relación : c^2 = a^2 - b^2
como a= b => c^2 = a^2 - a^2 = 0 => c^2 = 0 => entonces c^2 vale cero y la excentricidad será
=> los focos estarán en el centro de la circunferencia
operando en la ecuación quedará:
Cuando el centro está en el origen de coordenadas => C= ( 0; 0)
EXCENTRICIDAD
HIPERBOLA: Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la
diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante
- Por definición PF 1 + PF 2 = cte, es constante para todos los puntos de la hipérbola
- Como V 2 , uno de los vértices pertenece a la hipérbola, entonces debe verificar la definición:
se cumple:
Como Como
Reemplazando en F 1 V 2 - F 2 V 2 = La constante vale 2a
Si hiciéramos el cálculo para un punto genérico “P” de coordenadas ( x ; y )
Calculando las distancias, desarrollando y operando, llegamos a la expresión:
MATEMATICA – GEOMETRIA – CONICAS Arq. Marita Iravedra
V 1 = (- a ; 0) F 1 = (- c ; 0) V 2 = (+ a ; 0) F 2 = (+ c ; 0)
donde
- HIPERBOLA DESPLAZADA Con centro en C = ( h, k )
MATEMATICA – GEOMETRIA – CONICAS Resumen Arq. Marita Iravedra
V 1 = ( h - a ; k) F 1 = ( h - c ; k) V 2 = ( h + a ; k) F 2 = ( h + c ; k)
El centro en C=( h; k)
V 1 = ( h ; k+ b) V 2 = ( h ; k - b)
F 1 = ( h ; k + c) F 2 = ( h ; k - c)
Si hallamos las intersecciones con los ejes coordenados , obtenemos
- si las reemplazamos en la ecuación de la elipse quedarán:
- Eje X => => => V 1 = (-a, 0), V 2 = ( a, 0)
- Eje Y => =>NO TIENE SOLUCION, No existe intersección con el eje “Y”. Aquí el Eje focal es HORIZONTAL
MATEMATICA – GEOMETRIA - CONICAS
Sabemos que el Eje X, tiene ecuación => Y=0, y que el Eje Y, tiene ecuación => X=0,
V 1 V2= 2a eje real => sobre el que están ubicados los focos
si las reemplazamos en la ecuación de la hipérbola quedarán:
F 1 F2= 2c distancia entre focos, es el eje focal
Eje focal VERTICAL La ecuación será del tipo:
V 1 = ( 0; b) F 1 = ( 0; c) V 2 = ( 0; -b) F 2 = ( 0 ; -c)
es la relación entre las distancias focal y el eje determinado por los
- Excentricidad: vértices que incluyen a dichos focos
MATEMATICA – GEOMETRIA – CONICAS Resumen Arq. Marita Iravedra
En Elipse (^) 0 ≤ e ≤ 1
𝒆 =
En Hipérbola
HIPERBOLA : Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante
HIPERBOLA con CENTRO en el ORIGEN
MATEMATICA – GEOMETRIA – HIPERBOLA Cátedra Iravedra
V 1 = ( h - a ; k) F 1 = ( h - c ; k) V 2 = ( h + a ; k) F 2 = ( h + c ; k)
Con centro en C=( h; k)
HIPERBOLA DESPLAZADA
- PARABOLA: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz
- Para simplificar el cálculo, voy a elegir una parábola con vértice en el origen de coordenadas: V = (0;0)
- Por definición, para todo punto “A” de la parábola se cumple que:
- Observando en el grafico y reemplazando en la fórmula de distancia entre dos puntos, obtengo:
- Si las igualo, tengo:
- Resolviendo los cuadrados de adentro de la raíz, nos queda:
- Simplificando y pasando en limpio queda:
MATEMATICA – GEOMETRIA – CONICAS Arq. Marita Iravedra
Deducción de la ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas (solo para los que les interese)
Ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y eje de simetría vertical
Si llamamos p a la distancia que hay entre el foco y la directriz
PARABOLA: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz
- En esta parábola, el vértice está en el origen y el eje de simetría es el eje " y «
- la ecuación es del tipo 2py = x^2
eje de simetría "y"
MATEMATICA – GEOMETRIA - CONICAS
- En cambio, en esta parábola, el vértice también está en el origen, pero el eje de simetría es el eje “ x “
- la ecuación es del tipo 2px = y^2 eje de simetría «x"
