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1. Introducci´on: superficie c´onica
Se llama superficie c´onica de revoluci´on a la superficie engendrada por una l´ınea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje.
Las curvas c´onicas se obtienen al intersecar una superficie c´onica con un plano. La posici´on de ese plano posibilita la obtenci´on de diferentes curvas c´onicas.
1.1. Circunferencia
Se llama circunferencia al lugar geom´etrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro C. Una circunferencia de centro (0,0) y radio r se puede expresar de forma matem´atica mediante la siguiente expresi´on:
x^2 + y^2 = r^2
Hay que darse cuenta de que una circunferencia no es una funci´on, por lo que para un mismo punto de x puede haber dos puntos de y. Esto lleva a tener especial cuidado a la hora de despejar una de las variable. Por ejemplo:
y = ±
r^2 − x^2
Si nos olvid´asemos del signo - al despejar la y nos estar´ıamos quedando solo con la parte superior de la circunferencia. De esta forma, una circunferencia es la uni´on de dos funciones. Trabajar con circunferencias es bastante habitual en matem´aticas, y tener que distin- guir entre la funci´on superios y la inferior es engorroso, por lo que se cre´o un nuevo sistema de coordenadas basados en la geometr´ıa de la circunferencia. Estas coordena- das se conocen como coordenadas polares y dependen de dos variables: ρ es el radio de la curcunferencia, mientras que θ es el ´angulo barrido por esta. Sabemos que una circunferencia son 2π radianes. El paso de coordenadas cartesianas a coordenadas polares se realiza mediante el si- guiente cambio de variable, en funci´on de las funciones trigonom´etricas elementales:
x = ρ·cosθ y = ρ·sinθ
x^2 + b^2 − 2 bx + y^2 + c^2 − 2 by = r^2
O lo que es lo mismo:
x^2 + y^2 + Bx + Cy + D = 0
con B = -2b, C = -2c, D = b^2 + c^2 - r^2. El centro de la circunferencia viene dado
por C =
B
C
. Para que una ecuaci´on de esta forma se corresponda con una
circunferencia debe cumplirse que los coeficientes de x^2 e y^2 sean iguales a la unidad. Si los coeficientes fuesen iguales y distintos de 1, se puede dividir toda la ecuaci´on por ese coeficiente. Adem´as, no debe haber t´ermino en xy.
1.2. Posici´on relativa de una recta y una circunferencia
Para hallar la posici´on relativa de una recta y una cincunferencia podemos comparar la distancia del centro de la circunferencia a la recta, de fora que la l´ınea imaginaria que una ambos elementos sea una recta perpendicular a la recta que se quiere estudiar y que pase por el centro de la circunferencia.
Si d > r: la recta es exterior a la circunferencia Si d = r: la recta es tangente a la circunferencia
Si d < r: la recta es secante a la circunferencia
Para hallar los puntos comunes a una c´onica y a una recta se resuelve el sistema formado por ambas. Se suele obtener una ecuaci´on de segundo grado donde se estudiar´a el dis- criminante ∆ = b^2 - 4ac (en este caso, a,b y c no son los elementos de la circunferencia):
Si ∆ > 0 se obtienen dos soluciones: la recta y la circunferencia son secantes Si ∆ = 0 se obtiene una soluci´on: la recta y la circunferencia son tangentes
Si ∆ < 0 no se obtienen soluciones: la recta es exterior a la circunferencia
2. Ejercicios
Ejercicio 1.- Escribir la ecuaci´on de la circunferencia de centro (3,4) y radio 2.
Ejercicio 2.- Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos A = (2,0), B = (2,3) y C = (1,3)
Ejercicio 3.- Indicar si la ecuaci´on 4x^2 + 4y^2 - 4x - 8y - 11 = 0 se corresponde con la ecuaci´on de una circunferencia y, en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.
Ejercicio 4.- Calcula la posici´on relativa de la circunferencia x^2 + y^2 - 2x - = 0 y la recta 3x + y = 5
Ejercicio 5.- Calcula la ecuaci´on de la circunferencia que tiene su centro en (-1,4) y es tangente al eje de ordenadas.
Ejercicio 6.- Calcula la ecuaci´on de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersecci´on de las rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5
Ejercicio 7.- Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que tiene su centro en el punto (3,1) y es tangente a la recta 3x - 4y + 5 = 0
Ejercicio 8.- Calcular la ecuaci´on de la circunferencia conc´entrica a x^2 + y^2 - 4x + 6y - 17 = 0 y de radio 9. ¿Como escribir´ıas, en una sola expresi´on, la infinitas circunferen- cias conc´entricas a la anterior?
Ejercicio 9.- Halla la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por el punto (-7,1) y tiene su centro en (-2,-1)
Ejercicio 10.- Hallar la longitud de la cuerda com´un a las circunferencias x^2 + y^2 = 5, x^2 + y^2 - 5x = 0
Ejercicio 11.- Dada la circunferencia de ecuaci´on x^2 + y^2 - 12x + 10y - 11 = 0, calcular las rectas tangentes a ella que son paralelas a la recta x + y + 4 = 0.
