Apunte Espacios de Hilbert, Apuntes de Análisis funcional

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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA

FACULTAD DE CIENCIAS

ESCUELA DE MATEM ATICA´

LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS

ESPACIOS DE HILBERT

Ram´on Bruzual

Marisela Dom´ınguez

Caracas, Venezuela

Julio 2005

Ram´on Bruzual Correo-E: [email protected]

Marisela Dom´ınguez Correo-E: [email protected]

Laboratorio Formas en Grupos Centro de An´alisis Escuela de Matem´atica Facultad de Ciencias Universidad Central de Venezuela

Contenido

• Cap´ıtulo 1. Espacios con producto interno.
  • 1. Producto interno.
  • 2. Conjuntos ortogonales.
  • 3. Funciones peri´odicas y series de Fourier
• Ejercicios 1.
• Cap´ıtulo 2. Espacios de Hilbert.
  • 1. Geometr´ıa de espacios de Hilbert.
  • 2. Funcionales lineales en espacios de Hilbert.
  • 3. Sistemas ortogonales.
  • 4. Aplicaci´on a series trigonom´etricas en L^2 [0, 2 π]
• Ejercicios 2.
• Cap´ıtulo 3. Operadores en espacios de Hilbert.
  • 1. Operadores acotados en espacios de Hilbert
  • 2. Adjunto de un operador.
  • 3. Operadores normales.
  • 4. Operadores unitarios
  • 5. Operadores autoadjuntos.
  • 6. Proyecciones.
  • 7. Distintos tipos de convergencia de operadores en L(H).
• Ejercicios 3.
• Cap´ıtulo 4. Espectro de un operador.
• Bibliograf´ıa
• ´Indice

CAP´ITULO 1

Espacios con producto interno.

“Dios siempre hace geometr´ıa.” Plat´on.

1. Producto interno. Definici´on 1.1. Sea X un espacio vectorial sobre K (donde K es R ´o C). Un producto interno en X es una funci´on 〈., .〉 : X × X → K tal que

(a) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 para todo x, y ∈ X. (b) 〈x + y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉 para todo x, y, z ∈ X. (c) 〈λx, y〉 = λ〈x, y〉 para todo x, y ∈ X, para todo λ ∈ K. (d) 〈x, x〉 ≥ 0 para todo x ∈ X. (e) 〈x, x〉 = 0 si y s´olo si x = 0.

Adem´as decimos que (X, 〈., .〉) es un espacio con producto interno.

Ejemplo 1.2. Cn^ el espacio de los vectores 1 × n. Cn^ es un espacio con producto interno con el producto escalar eucl´ıdeo

〈v, w〉n = vw∗^ =

∑^ n k=

vkwk.

donde v, w ∈ Cn, v = (v 1 ,... , vn), w = (w 1 ,... , wn), y w∗^ es el adjunto de w.

Ejemplo 1.3. Cn×n el espacio de las matrices n×n cuyas entradas son n´umeros complejos est´a dotado de una estructura Grammaniana: esto es, para A, B ∈ Cn×n se considera la matriz n × n dada por AB∗^ la cual se conoce como la Grammaniana de A y B. El espacio Cn×n es un espacio con producto interno con el producto dado por

〈A, B〉n×n = tr(AB∗) =

∑^ n i=

∑^ n k=

aikbik

donde A, B ∈ Cn×n, son de la forma A = (aik), B = (bik).

Ejemplo 1.4. Consideremos a

l 2 = l 2 (N) =

(xn)n≥ 1 /xn ∈ C tales que

∑^ ∞

n=

|xn|^2 < ∞

1

2 1. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO.

con el producto interno dado por

〈x, y〉 =

∑^ ∞

n=

xnyn.

Ejemplo 1.5. Uno de los ejemplos de espacio con producto interno m´as conocido es el espacio l 2 (Z)

l 2 (Z) =

(xn)n∈Z/xn ∈ C y

n∈Z

|xn|^2 < ∞

En este espacio el producto interno en este espacio est´a dado por

〈x, y〉 =

n∈Z

xnyn.

Ejemplo 1.6. Sabiendo probabilidades se puede considerar el siguiente ejemplo. Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad. Sea L^2 (Ω, F, P ) el conjunto de las variables aleatorias Y : Ω → R, centradas (es decir, E(Y ) = 0) con varianza finita (es decir, tales que E(Y 2 ) < ∞) con el producto interno dado por la covarianza

〈Y 1 , Y 2 〉 = Cov(Y 1 , Y 2 ) = E(Y 1 Y 2 )

donde E denota la esperanza.

Ejemplo 1.7. Sabiendo teor´ıa de la medida se puede considerar el siguiente ejemplo. Si (Ω, F, μ) es un espacio de medida

L^2 (Ω, F, μ) =

f : Ω → C, f es F -medible y

Ω

|f (t)|^2 dμ(t) < ∞

con el producto interno dado por

〈f, g〉 =

Ω

f (t)g(t)dμ(t).

Observaci´on 1.8. En particular si a, b ∈ R y a < b, podemos considerar el espacio L^2 ([a, b], B([a, b]), m) donde B([a, b]) son los borelianos de [a, b] y m es la medida de Lebesgue en [a, b]. Estos espacios los denotaremos por L^2 [a, b]. En ellos el producto interno est´a dado por

〈f, g〉 =

∫ (^) b a

f (t)g(t)dt.

Teorema 1.9 (Desigualdad de Cauchy Schwartz). Sea (X, 〈., .〉) un espacio con producto interno, entonces para todo x, y ∈ X |〈x, y〉| ≤ 〈x, x〉^1 /^2 〈y, y〉^1 /^2

4 1. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO.

Teorema 1.14 (Igualdad de Parseval, caso finito). Sean (X, 〈., .〉) un espacio con producto interno y x ∈ X tal que

x =

∑^ n k=

ckuk

donde ck ∈ K y uk ∈ X

(a) Si {u 1 ,... , un} es ortogonal entonces

‖x‖^2 =

∑^ n k=

|ck|^2 ‖uk‖^2

y ck = 〈x, uk〉/‖uk‖^2 para cada k ∈ { 1 ,... , n}.

(b) Si {u 1 ,... , un} es ortonormal entonces

‖x‖^2 =

∑^ n k=

|ck|^2

y ck = 〈x, uk〉 para cada k ∈ { 1 ,... , n}. Corolario 1.15. Todo conjunto ortogonal finito es linealmente independiente. La demostraci´on de este corolario queda como ejercicio.

3. Funciones peri´odicas y series de Fourier 3.1. Algunos resultados sobre funciones trigonom´etricas. Las funciones trigonom´etricas son de especial importancia pues tienen un papel funda- mental en el an´alisis de Fourier. Las siguientes identidades son bien conocidas (x e y denotan n´umeros reales).

(1.1) sen(x ± y) = sen x cos y ± sen y cos x

(1.2) cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sen x sen y

(1.3) sen^2 x =^1 −^ cos(2 2 x)

(1.4) cos^2 x = 1 + cos(2 2 x)

sen x cos y =^1 2 (1.5) (sen(x − y) + sen(x + y))

(1.6) sen x sen y =^12 (cos(x − y) − cos(x + y))

cos x cos y =^1 2 (1.7) (cos(x − y) + cos(x + y))

3. FUNCIONES PERI ODICAS Y SERIES DE FOURIER´ 5

Con algunas de estas igualdades se puede probar la siguiente proposici´on, la cual da ejemplos de funciones ortogonales con respecto al producto interno dado por

〈f, g〉 =

∫ (^2) π 0

f (x)g(x)dx.

Proposici´on 1.16. Sean m y n enteros positivos. Entonces ∫ (^2) π 0

sen mx sen nx dx =

∫ (^2) π 0

cos mx cos nx dx =

0 , si m 6 = n; π, si m = n. ∫ (^2) π 0

sen mx cos nx dx = 0.

Demostraci´on. Demostraremos que ∫ (^2) π 0

sen mx sen nx dx =

0 , si m 6 = n; π, si m = n.

Las demostraciones de las igualdades restantes son an´alogas y quedar´an como ejercicio. Supongamos m 6 = n, por la identidad (1.6) tenemos que sen mx sen nx =^12 ( cos((m − n)x) − cos((m + n)x) ),

por lo tanto, ∫ (^2) π 0

sen mx sen nx dx =^12

∫ (^2) π 0

cos((m − n)x) dx − (^12)

∫ (^2) π 0

cos((m + n)x) dx

=^12

[

sen((m − n)x) m − n

] 2 π

0

[

sen((m + n)x) m + n

] 2 π

0 = 0 − 0 = 0. Supongamos m = n, por la identidad (1.3) tenemos que

sen^2 (mx) =^1 −^ cos(2 2 mx),

por lo tanto, ∫ (^2) π 0

sen^2 (mx) dx =^12

∫ (^2) π 0

( 1 − cos(2mx) ) dx

=^12

[

x − sen(2 2 mmx)

] 2 π

0 = π. §

3. FUNCIONES PERI ODICAS Y SERIES DE FOURIER´ 7

Proposici´on 1.22. Sea P un polinomio trigonom´etrico de la forma (1.8). Entonces 1 π

∫ (^2) π 0

(P (x) )^2 dx = α

(^2) o 2 +

∑^ n k=

α^2 k + β k^2.

Demostraci´on. Notemos que

(P (x) )^2 = α 2 o P (x) +

∑^ n k=

αkP (x) cos kx + βkP (x) sen kx,

integrando y utilizando la Proposici´on 1.21 obtenemos ∫ (^2) π 0

(P (x) )^2 dx = α 2 o

∫ (^2) π 0

P (x) dx +

∑^ n k=

αk

∫ (^2) π 0

P (x) cos kx dx + βk

∫ (^2) π 0

P (x) sen kx dx

αo 2 παo^ +

∑^ n k=

αkπαk + βkπβk

= π

α^2 o 2

∑^ n k=

α^2 k + β k^2

Conociendo el espacio L^2 [0, 2 π], este resultado se puede interpretar as´ı: salvo constante, la norma en L^2 [0, 2 π] de un polinomio trigonom´etrico se obtiene sumando los cuadrados de sus coeficientes.

3.4. Coeficientes de Fourier. Definici´on 1.23. Sea f : R → R una funci´on de per´ıodo 2π, integrable en el intervalo [0, 2 π]. Los coeficientes de Fourier de f son

ak =^1 π

∫ (^2) π 0

(1.9) f (x) cos kx dx (k = 0, 1 ,... ),

bk =

π

∫ (^2) π 0

(1.10) f (x) sen kx dx (k = 1, 2 ,... ).

La serie de Fourier de f es la siguiente suma formal

(1.11) ao 2

∑^ ∞

k=

ak cos kx + bk sen kx

Observaci´on 1.24. Si P es un polinomio trigonom´etrico entonces los coeficientes de Fourier de P son los coeficientes que aparecen en la expresi´on original de P , la serie de Fourier de P converge y P es igual a su serie de Fourier.

8 1. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO.

3.5. Lema de Riemann-Lebesgue.

Lema 1.25 (Riemann-Lebesgue). Sea f : [a, b] → R una funci´on integrable. Entonces

λ→^ lim+∞

∫ (^) b

a

f (x) sen(λx) dx = (^) λ→lim+∞

∫ (^) b

a

f (x) cos(λx) dx = 0.

Haga la demostraci´on de este lema, considerando primero funciones simples, luego fun- ciones positivas e integrables y finalmente funciones integrables.

Corolario 1.26. Sea f : R → R una funci´on de per´ıodo 2 π, integrable en el intervalo [0, 2 π]. Si {ak} y {bk} son sus coeficientes de Fourier, entonces

k→^ lim+∞ ak^ =^ k→lim+∞ bk^ = 0. 3.6. Notaci´on compleja. Muchas de las operaciones con funciones trigonom´etricas se simplifican al pasar a los n´umeros complejos, usando la f´ormula de Euler

(1.12) eiθ^ = cos θ + i sen θ.

De la f´ormula de Euler se obtiene

cos θ =^1 2 (eiθ^ + e−iθ)

sen θ = 21 i(eiθ^ − e−iθ)

A continuaci´on enunciamos algunos resultados que pueden ser verificados sin mayores dificultades por el estudiante familiarizado con el manejo de n´umeros complejos. Si en un polinomio trigonom´etrico de la forma

P (x) = α 2 o +

∑^ n k=

αk cos kx + βk sen kx,

hacemos la substituci´on

cos kx =^1 2 (eikx^ + e−ikx) sen kx =^1 2 i (eikx^ − e−ikx),

obtenemos

P (x) =

∑^ n k=−n

γkeikx,

10 1. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO.

3.8. Desarrollo en serie de cosenos y en serie de senos. “Incluso funciones totalmente arbitrarias pueden ser desarrolladas en series de senos de multiples arcos”. Fourier

Definici´on 1.27. Sea I ⊂ R un intervalo sim´etrico con respecto al origen y sea f : I → R una funci´on. Se dice que f es par si f (x) = f (−x) para todo x ∈ I. Se dice que f es impar si f (x) = −f (−x) para todo x ∈ I.

Supongamos que tenemos una funci´on f , definida en un intervalo de la forma [0, T ], donde T > 0. Si definimos

g(x) =

f (x) si x ∈ [0, T ], f (−x) si x ∈ [−T, 0],

entonces g es una extensi´on par de f al intervalo [−T, T ]. La funci´on g tiene una extensi´on de per´ıodo 2T a toda la recta. La expansi´on de Fourier de g es lo que se conoce como el desarrollo en serie de cosenos de f. Si definimos

h(x) =

f (x) si x ∈ [0, T ], −f (−x) si x ∈ [−T, 0],

entonces h es una extensi´on impar de f al intervalo [−T, T ]. La funci´on h tiene una extensi´on de per´ıodo 2T a toda la recta (m´as precisamente la restricci´on de h al intervalo [−T, T )). La expansi´on de Fourier de h es lo que se conoce como el desarrollo en serie de senos de f.

Se puede probar que si f : [0, T ] → R es una funci´on integrable, entonces su desarrollo en serie de cosenos es ao 2

∑^ ∞

k=

ak cos

(kπx T

donde

ak = T^2

∫ T

0

f (x) cos

kπx T

dx (k = 0, 1 ,... ).

3. FUNCIONES PERI ODICAS Y SERIES DE FOURIER´ 11

Su desarrollo en serie de senos es ∑^ ∞ k=

bk sen

(kπx T

donde

bk = T^2

∫ T

0

f (x) sen

kπx T

dx (k = 1, 2 ,... ).

3.9. Aproximaci´on en media cuadr´atica. Tomando en cuenta la Proposici´on 1.11 consideramos

‖f ‖ 2 =

(∫ (^2) π 0

(f (x))^2 dx

Teorema 1.28. Sea f : R → R una funci´on de per´ıodo 2 π, de cuadrado integrable, sea N un entero positivo y sea P un polinomio trigonom´etrico de grado N. Sea {Sn} la sucesi´on de sumas parciales de la serie de Fourier de f. Entonces

‖f − SN ‖ 2 ≤ ‖f − P ‖ 2

y hay igualdad si y s´olo si P = SN.

Demostraci´on. Sea

P (x) = α 2 o +

∑^ N

k=

αk cos kx + βk sen kx.

Por la Proposici´on 1.22 tenemos que

1 π

∫ (^2) π 0

(P (x) )^2 dx = α

(^2) o 2 +

∑^ N

k=

α^2 k + β k^2.

Por otro lado 1 π

∫ (^2) π 0

f (x)P (x) dx =

= αo 2

π

∫ (^2) π 0

f (x) dx +

∑^ N

k=

αk^1 π

∫ (^2) π 0

f (x) cos kx dx + βk^1 π

∫ (^2) π 0

f (x) sen kx dx

= αo 2 a o+

∑^ N

k=

αkak + βkbk.

Sea Sn(x) = a 2 o +

∑^ n k=

ak cos kx + bk sen kx

Ejercicios 1.

(1) Demuestre que los siguientes espacios vectoriales son espacios con producto interno

(a) El espacio Cn^ de los vectores 1 × n. Con el producto escalar eucl´ıdeo

〈v, w〉n = vw∗^ =

∑^ n k=

vkwk.

donde v, w ∈ Cn, v = (v 1 ,... , vn), w = (w 1 ,... , wn), y w∗^ es el adjunto de w. (b) El espacio Cn×n de las matrices n × n. Con el producto dado por

〈A, B〉n×n = tr(AB∗) =

∑^ n i=

∑^ n k=

aikbik

donde A, B ∈ Cn×n, son de la forma A = (aik), B = (bik). (c) El espacio

l 2 =

(xn)n≥ 1 /xn ∈ C tales que

∑^ ∞

n=

|xn|^2 < ∞

con el producto dado por

〈x, y〉 =

∑^ ∞

n=

xnyn.

(d) Sabiendo probabilidades se puede considerar el siguiente caso. Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad. Sea L^2 (Ω, F, P ) el conjunto de las variables aleatorias Y : Ω → R, centradas (es decir, E(Y ) = 0) con varianza finita (es decir, tales que E(Y 2 ) < ∞). El espacio L^2 (Ω, F, P ) es un espacio con producto interno, el cual est´a dado por la covarianza

〈Y 1 , Y 2 〉 = Cov(Y 1 , Y 2 ) = E(Y 1 Y 2 )

donde E denota la esperanza.

13

14 EJERCICIOS 1.

(e) Sabiendo teor´ıa de la medida se puede considerar el siguiente caso. Si (Ω, F, μ) es un espacio de medida sea

L^2 (Ω, F, μ) =

f : Ω → C, f es F - medible y

Ω

|f (t)|^2 dμ(t) < ∞

El espacio L^2 (Ω, F, μ) es un espacio con producto interno, el cual est´a dado por

〈f, g〉 =

Ω

f (t)g(t)dμ(t).

(2) Demostrar: Sea (X, 〈., .〉) un espacio con producto interno. Si definimos

‖x‖ = 〈x, x〉^1 /^2 entonces ‖ ‖ es una norma en X.

Adem´as, esta norma satisface la ley del paralelogramo, es decir, para todo x, y ∈ X: ‖x + y‖^2 + ‖x − y‖^2 = 2‖x‖^2 + 2‖y‖^2.

(3) Demostrar que todo espacio con producto interno se puede completar.

(4) Sea X un espacio vectorial real con producto interno 〈., .〉. Demostrar que para todo x, y ∈ X

〈x, y〉 =^14 (‖x + y‖^2 − ‖x − y‖^2 ).

(5) Sea X un espacio vectorial complejo con producto interno 〈., .〉. Demostrar que para todo x, y ∈ X

〈x, y〉 =^14 (‖x + y‖^2 − ‖x − y‖^2 + i‖x + iy‖^2 − i‖x − iy‖^2 ).

(6) Sea (X, ‖.‖) un espacio normado (real o complejo). Demostrar que ‖.‖ proviene de un producto interno si y s´olo si satisface la ley del paralelogramo.

(7) Demostrar: Todo conjunto ortogonal es linealmente independiente.