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Propiedades de Determinantes
En el siguiente apunte, vamos a ir recorriendo las distintas propiedades de determinante a
partir de ejemplos. Todas las propiedades enunciadas valen para el calculo de cualquier
determinante de una matriz de orden n x n.
Determinante de la matriz diagonal
Sea la siguiente matriz diagonal:
Para calcular este determinante habría que responder a estas preguntas.
- ¿Cuántos términos distintos de 0 presenta el desarrollo del 𝑑𝑒𝑡
, según la
definición?
- ¿Cuál es el signo del término, o de los términos ≠ 0?
Si lo desarrollan por fila, podemos observar que:
- El único elemento en la fila 1 ≠ 0 , 𝑒𝑠 𝑑
11
= 1 , luego queda que |𝐷| = 1 |
- El determinante de la matriz 2x2 es la diferencia entre el producto de la diagonal y la
contra diagonal. Por lo tanto, queda:
Propiedad
El determinante de la matriz diagonal (principal) es igual al producto de los
elementos de esta.
De forma similar, se puede analizar que pasa con el determinante de una matriz triangular.
Sea 𝑑𝑒𝑡(𝐷): ℝ
4 × 4
𝑖𝑗
𝑖𝑗
= 0 𝑠𝑖 𝑖 > 𝑗, es decir:
11
12
13
14
22
23
24
33
34
44
1
2
3
4
1
2
3
4
Si aplicamos la regla de Laplace, ¿qué línea sería conveniente elegir para efectuar la mínima
cantidad de operaciones? Tendríamos que elegir 𝐶
1
ó 𝐹
4
, debido a que solo hay un número
distinto de cero. Entonces, si desarrollamos el 𝑑𝑒𝑡
1
, nos queda:
11
1 + 1
22
23
24
33
34
44
21
31
41
11
22
23
24
33
34
44
Se puede recurrir nuevamente a la regla de Laplace para reducir el orden de este
determinante, también por la nueva columna 1.
11
22
1 + 1
33
34
44
21
31
11
22
33
34
44
Calculamos el determinante de 2x2 y nos queda que:
11
22
33
44
Propiedad generalizada
El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es igual al
producto de los elementos de su diagonal principal.
Determinante de una matriz con una fila o columna de ceros
Sea la matriz 𝐴 = (
), para calcular el determinante usando Laplace, podemos
elegir la última columna. Lo que nos queda que
Propiedad
Una matriz con una fila o una columna en la que todos los elementos son
nulos tiene determinante igual a cero.
Determinante de una matriz que tiene multiplicada una fila por un
número
Sean las matrices:
11
12
13
21
22
23
31
32
33
11
12
13
21
22
23
31
32
33
21
21
22
22
23
23
Entonces, la matriz B es:
11
12
13
𝑘 × 𝑎
21
𝑘 × 𝑎
22
𝑘 × 𝑎
23
31
32
33
Desarrollando el determinante observamos que:
11
22
33
11
23
32
12
23
31
12
21
33
13
21
32
13
22
31
Sacando factor común 𝑘, se tiene:
11
22
33
11
23
32
12
23
31
12
21
33
13
21
32
13
22
31
Por lo que, el 𝑑𝑒𝑡(𝐵) es igual a 𝑘. det (𝐴)
El determinante del producto de dos matrices
Qué pasa si tenemos el producto de dos matrices y queremos calcular el determinante, por
ejemplo:
El determinante del producto sería:
Ahora calculemos el determinante de A y el de B:
Propiedad
El determinante de un producto de matrices coincide con el producto de
los determinantes de cada matriz:
Una consecuencia inmediata de esta propiedad es el cálculo del determinante de la matriz
inversa. Veamos la deducción.
Sea A una matriz regular o invertible, sabemos que 𝐴. 𝐴
− 1
− 1
. 𝐴 = 𝐼 siendo 𝐼 la matriz
identidad del mismo orden que las matrices 𝐴 𝑦 𝐴
− 1
. La matriz 𝐼 matriz identidad es una
matriz “diagonal y escalar” donde los elementos de la diagonal principal son iguales a 1, el
valor de su determinante es por lo tanto igual a 1. Aplicamos determinantes a la expresión,
− 1
− 1
Aplicando la propiedad anterior, se obtiene:
− 1
− 1
En el planteo se estableció que la matriz 𝐴 , es una matriz regular 𝑑𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0 , estamos
habilitados a despejar 𝑑𝑒𝑡
− 1
Propiedad
El determinante de la matriz inversa de A es:
− 1
Observación
De esta propiedad se puede deducir que:
Si una matriz es inversible su determinante es distinto de cero. Más aun,
matrices singulares o no regulares no tienen inversa.
Otras propiedades
Sean: 𝑑𝑒𝑡(𝐸): ℝ
3 × 3
𝟏𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟑
21
22
23
31
32
33
) ∧ 𝑑𝑒𝑡(𝐸) ≠ 0 y 𝑑𝑒𝑡(𝐹): ℝ
3 × 3
21
22
23
𝟏𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟑
31
32
33
). Calculamos el 𝑑𝑒𝑡(𝐹) aplicando Laplace sobre los elementos de la
fila 1 de la matriz E :
𝟏𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟑
21
22
23
31
32
33
𝟏𝟏
11
𝟏𝟐
12
𝟏𝟑
13
Ahora aplicamos Laplace sobre los elementos de la fila 2 de la matriz F , se tiene:
21
22
23
𝟏𝟏
𝟐𝟏
𝟏𝟐
𝟐𝟐
𝟏𝟑
𝟐𝟏
31
32
33
11
21
12
22
13
23
Desarrollamos ambos determinantes para ver si existen diferencias.
11
11
12
12
13
13
11
1 + 1
22
23
32
33
12
1 + 2
21
23
31
33
13
1 + 3
21
22
31
32
11
22
23
32
33
12
21
23
31
33
13
21
22
31
32
11
21
12
22
13
23
11
2 + 1
22
23
32
33
12
2 + 2
21
23
31
33
13
2 + 3
21
22
31
32
11
22
23
32
33
12
21
23
31
33
13
21
22
31
32
Los valores absolutos de los determinantes son iguales, difieren en su signo.
Propiedad
Al intercambiar dos líneas de la matriz , el determinante cambia de signo.
Qué pasa ahora si tenemos una matriz con dos filas iguales, por ejemplo:
Sea 𝐸 = (
). Calculemos su determinante desarrollando por 𝑭
𝟏
(Laplace)
1 + 1
1 + 2
1 + 3
𝐹
1
Desarrollando el determinante por fila 2, se tiene:
𝟏𝟑
𝟏𝟑
13
𝟐𝟑
𝟐𝟑
23
𝟑𝟑
𝟑𝟑
33
𝟒𝟑
𝟒𝟑
33
𝟏𝟑
13
𝟐𝟑
23
𝟑𝟑
33
𝟒𝟑
33
𝟏𝟑
13
𝟐𝟑
23
𝟑𝟑
33
𝟒𝟑
33
La expresión en cada uno de los paréntesis es el desarrollo de un determinante.
11
12
𝟏𝟑
14
21
22
𝟐𝟑
24
31
41
32
42
𝟑𝟑
𝟒𝟑
34
44
11
12
𝟏𝟑
14
21
22
𝟐𝟑
24
31
41
32
42
𝟑𝟑
𝟒𝟑
34
44
Propiedad
Si los elementos de una línea de una matriz cuadrada están constituidos
por dos sumandos, el determinante de esta matriz puede expresarse
como suma de dos determinantes
Por último, una propiedad que es de gran importancia ya que nos permite calcular el
determinante pivoteando, es decir, aplicando Gauss , es la siguiente:
Propiedad
Si a los elementos de una línea de una matriz cuadrada de le suma un
múltiplo de otra línea, entonces el determinante no cambia.
Analicemos un ejemplo para entender que nos esta diciendo:
Sea la matriz 𝐸 = (
). Calculemos el determinante y comparemos con el
determinante que se obtiene haciendo una operación como en Gauss.
Hagamos la columna 1 más 5 por la columna 2, y luego calculemos el determinante:
Esta propiedad nos permite simplificar el determinante original generando ceros.
Observación
Siempre que apliquemos esta propiedad es la línea que quiero modificar
más o menos un múltiplo de otra línea.
