Introducción a Determinantes
Las matrices cuadradas tienen asociadas un número llamado determinante. Este número, el
determinante, permite conocer si una matriz es o no inversible, determinar su rango, analizar
si un sistema es compatible o no. Tiene aplicaciones sobre cuestiones geométricas como ser
calcular áreas y volúmenes. También permiten resolver sistemas de ecuaciones lineales
“Regla de Cramer”, entre otras cosas.
Definición
El determinante de una matriz A, abreviado det(A) ó |A| , es un escalar
determinado como la suma de n! (factorial) términos, cada uno de estos
tiene a su vez n factores. Cada término del desarrollo del determinante
está formado por un elemento de cada fila y de cada columna de la matriz.
La mitad de ellos (términos) conservan su signo, mientras que los restantes
lo invierten, dependiendo de la paridad que establece la suma del número
de fila con el número de columna.
Observación
Salvo para los determinantes de orden 1, la cantidad de términos del
desarrollo de un determinante es par.
Analicemos a continuación como calcular los determinantes según el orden de la matriz.
• Determinante de una matriz de orden 1
𝑑𝑒𝑡(𝐴):ℝ1×1 → ℝ/𝐴 = (𝑎11)→𝑑𝑒𝑡(𝐴)=|𝐴|= 𝑎11
Observación
|𝐴| No significa modulo, sino determinante. A no es un número es una
matriz.
• Determinante de una matriz de orden 2
𝑑𝑒𝑡(𝐴):ℝ2×2 → ℝ/𝐴 = (𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22) → 𝑑𝑒𝑡(𝐴)=|𝐴|= 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21
El desarrollo tiene 2 términos, analicemos el primero: 𝑎11𝑎22. El primer factor se encuentra
en la fila 1 y en la columna 1 de la matriz A, mientras que el segundo en la fila 2 y columna 2,
tal como establece la definición.
Ejemplo: |𝐴|=|2 3
4 5|= 2 . 5 − 4 . 3 = −2
• Determinante de una matriz de orden 3 o superior
