Determinantes
Filánder Sequeira
Chavarría
Última actualización: 14 de enero de 2021
Filánder A. Sequeira MAT005 Álgebra Lineal, UNA
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Tema 2 - determinantes handout
Tipo: Diapositivas
2022/2023
1 / 42
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Determinantes
Filánder Sequeira
Chavarría
Última actualización: 14 de enero de 2021
Organización de la presentación
(^1) Cálculo de determinantes
2 Propiedades de los determinantes
Determinantes de orden 2
Definición
El determinante de una matriz cuadrada A ∈ R
2 × 2 , denotado
|A| o det(A), se define por:
|A| =
a 11 a 12
a 21 a 22
:= a 11 a 22 − a 21 a 12.
Ejemplo
Se tiene que:
∣ =^7 ·^ (−2)^ −^ (−2)^ ·^4 =^ −14 + 8^ =^ −^6
∣ =^ (−1)^ ·^ (−12)^ −^4 ·^3 =^12 −^12 =^0
Ejemplo
Sea A :=
− 8 − 1 3 − 6 − 4 − 2 0 3 0 − 3 − 5 − 7
. Luego, se tiene que:
m 23 (A) =
m 44 (A) =
Determinantes de orden n
Definición
El determinante de una matriz cuadrada A ∈ R
n×n , denotado
|A| o det(A), se define por:
|A| :=
∑^ n
k=
i+k aik |mik(A)| ,
o bien,
|A| :=
∑^ n
k=
k+j akj |mkj (A)| ,
para cualesquier i, j = 1, 2 ,... , n dados.
Ejemplo
Determine el valor de
Solución
Solución. Considerando la primer fila:
1+ · 1 · |m 11 (A)|
1+ · 3 · |m 12 (A)|
1+ · 5 · |m 13 (A)|
Por lo tanto, el determinante dado corresponde a 2.
Ejemplo
Encuentre el determinante de la matriz:
A :=
Solución
Solución. Dado que la tercera fila de A posee dos ceros, se con-
sidera esta para calcular el determinante. Para ello, nótese que
los signos de todas las entradas de A son los siguientes:
2
− 1
5
−
− 5
3
− 4
− 7
− 0
0
−
− 3
7
− 9
donde, en particular, para la fila 3 se tiene que:
− 7
− 0
0
−
Solución
Nótese que ahora se requiere calcular dos determinantes de orden
3 , lo cual se realiza como sigue, empleando para ambos la fila 1 :
2 +^1 −^5 +
1
− 5
∣ −^1 ·
∣ + 5^ ·
Por lo tanto, se deduce que |A| = 6 · 95 + 7 · 0 = 570.
Ejemplo
Halle el determinante de la matriz:
A :=
Solución
De esta forma, se tiene que:
|A| = − 2
∣ −^7 ·
donde el determinante de orden 3 se calculó empleando la fila 1.
Por lo tanto, el determinante de A corresponde a − 34.
Ejercicio
Ejercicio
Encuentre el determinante de la matriz: