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Matem´atica aplicada a las ciencias de la salud
APUNTE I
1. N´umeros reales (R)
En matem´aticas, el conjunto de los n´umeros reales (denotado por R) incluye tanto a los n´umeros racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los n´umeros irracionales. Se sabe que los egipcios y babil´onicos hac´ıan uso de fracciones (n´umeros racionales) en la resoluci´on de problemas pr´acticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matem´atica griega cuando se consider´o el aspecto filos´ofico de n´umero. Los pitag´oricos descubrieron que las relaciones arm´onicas entre las notas musicales correspond´ıan a cocientes (divisi´on) de n´umeros enteros, lo que les inspir´o a buscar proporciones num´ericas en todas las dem´as cosas, y lo expresaron con la m´axima ((todo es n´umero)).
1.1. N´umeros Racionales (Q)
Son todos los n´umeros que pueden representarse como el cociente de dos n´umeros enteros o un entero y un natural positivo, es decir, una fracci´on com´un a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El t´ermino ((racional)) alude a una fracci´on o parte de un todo. El conjunto de los n´umeros racionales se denota por Q, que deriva de ((cociente)) (Quotient en varios idio- mas europeos). Este conjunto de n´umeros incluye a los n´umeros enteros (Z), es un conjunto num´erico que contiene los n´umeros naturales N = { 1 , 2 , 3 , 4 , · · · }, sus opuestos y el cero. Los en- teros negativos, como 1 o 3 (se leen ((menos uno)), ((menos tres)), etc.), son menores que cero y todos los enteros positivos. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, se puede escribir un signo ((m´as)) delante de los positivos: +1, +5, etc. Y si no se escribe signo al n´umero se asume que es positivo.. El conjunto de todos los n´umeros enteros se representa por la letra Z = {..., − 3 , − 2 , − 1 , 0 , +1, +2, +3, ...} letra inicial del vocablo alem´an Zahlen. Obs: En la recta num´erica los n´umeros negativos se encuentran a la izquierda del cero y los positivos a su derecha.
1.2. N´umeros Irracionales (Q∗)
Un n´umero irracional es aquel n´umero que no puede ser expresado como una fracci´on m/n, donde m y n sean enteros y n sea diferente de cero. Es cualquier n´umero real que no es racional, y su expresi´on decimal no es ni exacta ni peri´odica. Un decimal infinito (es decir, con infinitas cifras) aperi´odico, como
no puede representar un n´umero racional. A tales n´umeros se les nombra ”n´umeros irracionales”. Esta denominaci´on significa la imposibilidad de representar dicho n´umero como raz´on o cociente de dos n´umeros enteros. El n´umero pi (π), n´umero e y el n´umero ´aureo (φ) son otros ejemplos de n´umeros irracionales.
Prof. Raiza Navarro
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2. Operatoria con n´umeros Reales
En esta secci´on se explicar´a como operar en los reales, comenzando por aclarar que las opera- ciones aritm´eticas se clasifican en directas e inversas, donde las operaciones directas son la suma, multiplicaci´on y potenciaci´on y la resta, divisi´on y radicaci´on son operaciones inversas respectivamente. Ahora es necesario las propiedades de estas operaciones y luego ir avanzando por cada subconjunto de los reales.
2.1. Propiedades de los n´umeros reales
Fuente: Algebra y trigonometr´´ ıa con geometr´ıa anal´ıtica, E. Swokowski and J. Cole
2.2. Signos de agrupaci´on
Generalmente son usados 3 tipos de signos de agrupaci´on estos son los par´entesis ”( )”, las llaves ”{ }” y los corchetes ”[ ]”. Los par´entesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:
Si un par´entesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos de los t´erminos que est´an dentro del par´entesis.
Si un par´entesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los t´erminos que est´an al interior del par´entesis.
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2.6. Definici´on de sustracci´on (-) y divisi´on (÷)
Fuente: Algebra y trigonometr´´ ıa con geometr´ıa anal´ıtica, E. Swokowski and J. Cole
2.7. Propiedad de signos
- Suma: Si a y b son n´umeros enteros positivos y b > a, entonces;
+a + b = +(a + b) 4 + 5 = 9 −a − b = −(a + b) − 4 − 5 = −(4 + 5) = − 9 −a + b = b − a −4 + 5 = 5 − 4 = 1 a − b = −(b − a) 4 − 5 = −(5 − 4) = − 1
- Producto: Si a y b son n´umeros enteros positivos, entonces
+a · +b = +(ab) +4 · +5 = +(4 · 5) = 20 −a · −b = +(ab) − 4 · −5 = +(4 · 5) = 20 −a · +b = −(ab) − 4 · +5 = −(5 · 4) = − 20 +a · −b = −(ba) − 4 · −5 = −(5 · 4) = − 20
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2.8. M´ınimo com´un m´ultiplo (mcm) y M´aximo com´un divisor (MCD)
- M´ınimo com´un m´ultiplo: Es el n´umero positivo m´as peque˜no que es m´ultiplo de dos o m´as n´umeros. Ejemplo, Los m´ultiplos de 2 son; 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26... Los m´ultiplos de 4 son 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40... Los m´ultiplos de 3 son 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30... Entonces el m´ınimo com´un m´ultiplo entre el 2-4-3 es el 12, en cambio el 24 es s´olo un m´ultiplo com´un entre los tres n´umeros.
- M´aximo com´un divisor: Se define como m´aximo com´un divisor (MCD) de dos o m´as n´umeros enteros al mayor n´umero entero que los divide sin dejar residuo alguno. Ejemplo, Los divisores de 12 son; 1,2,3,4,6 y 12 Los divisores de 24 son; 1,2,3,4,6,8,12 y 24 Los divisores de 42 son; 1,2,3,6,7,14,21 y 42 Entonces el m´aximo com´un divisor entre el 12-24-42 es el 6, en cambio el 2 es solo un divisor com´un entre los tres n´umeros.
- Determinar mcm y MCD en tabla: Por ejemplo si queremos determinar el mcm y el MCD de 12, 24 y 42 con ayuda de una tabla se debe dividir los 3 n´umeros por el primer n´umero primo lo m´as que se pueda e ir avanzando hasta que solo queden 1 en la tabla, adem´as marcaremos aquellos n´umeros primos que dividan al mismo tiempo los tres n´umeros.
Con la tabla construida, solo queda determinar el mcm y el MCD, de la siguiente manera
El mcm ser´a el producto de todos los factores primos utilizados; 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 168 El MCD ser´a el producto de los factores primos marcados en rojo; 2 · 3 = 6
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2.9.3. Amplificar y simplificar fracciones
Estas operaciones sobre las fracciones son para modificar a conveniencia las fracciones sin perder su valor original.
- Amplificar: Esta operaci´on consiste en multiplicar el numerador y denominador por un mismo n´umero Ejemplo: 4 12
, amplificado en 2
- Simplificar: Esta operaci´on consiste en dividir el numerador y denominador en un mismo valor de forma exacta. Ejemplo: 4 12
, simplificado en 4
4 ÷ 4 12 ÷ 4
Para reconocer el n´umero por cual se puede simplificar una fracci´on para que sea irreductible, una t´ecnica es descomponer en numerador y el denominar en factores primos y luego dividir por los factores que son iguales en el numerador y denominador o simplificando los factores iguales. Ejemplo: 4 12
2 · 2 ÷ (2) ÷ (2)
2 · 2 · 3 ÷ (2) ÷ (2)
o 4 12
^2 ·^ ^2
^2 ·^2 ^ ·^3
2.9.4. Transformaci´on de decimales a fracciones
Para realizar transformaci´on de decimales a fracci´on se debe conocer los tipos de decimales.
- Decimal Finito: Son aquellos decimales que tienen una cantidad de decimales que se pueden contar. Estos decimales se convierten dividiendo el n´umero sin incluir la coma entre una potencia de base 10, donde se incluyen tantos ceros como decimales tenga el n´umero. Ejemplo:
2 , 45 =
^5 ·^7 ·^7
^5 ·^5 ·^2 ·^2
, Fracci´on irreductible
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- Decimal Infinito: Son aquellos decimales que tienen una cantidad de decimales que es im- posible contabilizar. Hay dos tiempos de decimales infinitos, est´an los decimales infinitos peri´odicos y los decimales infinitos aperi´odicos.
a) Decimal peri´odico: Son aquellos n´umeros que en su parte decimal una misma cifra se repite infinitamente. Este tipo de decimal de trasforma dividiendo el n´umero sin considerar la coma ni el periodo menos la parte entera entre tantos 9 como d´ıgitos tenga la cifra que se repita en el periodo Ejemplo:
2 , 45454545454545454545 ..... = 2, 45 =
b) Decimal Semi peri´odico: Son aquellos n´umeros que una parte de su misma cifra decimal se repite infinitamente. Este tipo de decimal de trasforma dividiendo el n´umero sin considerar la coma ni el periodo menos la parte no peri´odica entre tantos 9 como d´ıgitos peri´odicos tenga la cifra y tantos 0 como parte no peri´odica tenga su cifra decimal. Ejemplo:
2 , 4555555555555555555555555 ..... = 2, 45 =
2.9.5. Operatoria con fracciones
- Signos: Sean a, b n´umeros enteros, con b distinto de cero, entonces,
a b
−a b
a −b
Ejemplo
- Suma o Resta: Sean a, b, c y d n´umeros enteros, con b y d distintos de cero, entonces,
a b
c d
a · d ± c · b b · d
a b
c b
a ± c b Ejemplo: 2 3
÷ 9
÷ 9
, Otra forma de realizar esta operaci´on es utilizar el m´ınimo com´un m´ultiplo (mcm), para as´ı igualar los denominadores de ambas o m´as fracciones, as´ı el mcm entre 3 y 6, es el 6, entonces se utiliza la amplificaci´on.
÷ 3
÷ 3
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Tambi´en existen leyes para operar las potencias, estas leyes son;
Fuente: Algebra y trigonometr´´ ıa con geometr´ıa anal´ıtica, E. Swokowski and J. Cole
2.10.2. Ra´ıces
Su definici´on es ”Las ra´ıces corresponden a potencias de exponente racional. Se dice que la ra´ız n-´esima de un n´umero a es b , si y s´olo si, la n-´esima potencia de b es a , es decir: Como la ra´ız
n-´esima es la operaci´on inversa de la potencia la definici´on anterior cobra mucho m´as sentido, es decir, si no hay un n´umero b elevado a la n igual a a, entonces tampoco existe la ra´ız n
a igual a b. Las leyes de estas son;
Fuente: Algebra y trigonometr´´ ıa con geometr´ıa anal´ıtica, E. Swokowski and J. Cole
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Como observaci´on se tiene que tener cuidado con hacer operaciones poco l´ogicas y tentadoras, sin tener presente la jerarqu´ıa de las operaciones como las que se muestran a continuaci´on Como
Fuente: Algebra y trigonometr´´ ıa con geometr´ıa anal´ıtica, E. Swokowski and J. Cole
caso particular, si tenemos ra´ıces en los denominadores de los n´umeros racionales, es posible aco- modar ese numero utilizando la racionalizaci´on de un denominador, para ello si el denominador tiene la forma n
ak, con k < n y a > 0, entonces se debe amplificar la fracci´on por n
an−k, a consecuencia de ello se tendr´a lo siguiente;
1 √ nak ·
√ nan−k √ nan−k =
√ nan−k √ nak+n−k =
√ nan−k √ nan =
√ nan−k
a
Donde el ultimo resultado es una fracci´on racionalizada. Ahora estas ra´ıces tambi´en se pueden considerar como potencias pero con exponente fraccio- nario, entonces: Sea m/n un n´umero racional, donde n es un entero positivo mayor a 1 y si a es un n´umero real tal que n
a existe, se tiene que;
- a^1 /n^ = n
a
- am/n^ = ( n
a)m^ = n
am
- am/n^ = (a^1 /n)m^ = (am)^1 /n
Lo anterior cumple con todas las leyes propuestas para las potencias, siempre y cuando n 6 = 0, y adem´as las cumple cumple para exponentes irracionales.
2.10.3. Notaci´on cient´ıfica
Se llama notaci´on cient´ıfica cuando se escribe cualquier n´umero representado por un n´umero, con un solo d´ıgito antes de la coma, multiplicada por una potencia de diez (10n). Este d´ıgito es el primero del valor original, es decir se escribe de la forma
k · 10 n^ ; Donde 1 ≤ k < 10 y n ∈ Z
Ahora como sabemos hay dos casos posibles, que un n´umero sea muy peque˜no o que el n´umero sea demasiado grande, entonces
- Si el n´umero es mayor o igual a 10, hay que mover la coma decimal a la izquierda y el exponente n es positivo y el valor de n es igual a las veces que se movi´o la coma decimal.
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3.1.1. Conversi´on de unidades
Es la transformaci´on del valor num´erico de una magnitud f´ısica, expresado en una cierta unidad de medida, en otro valor num´erico equivalente y expresado en otra unidad de medida de la misma naturaleza. Este proceso suele realizarse con el uso de los factores de conversi´on o las tablas de conversi´on de unidades. Frecuentemente basta multiplicar por una fracci´on (factor de una conversi´on) y el resultado es otra medida equivalente, en la que han cambiado las unidades. Cuando el cambio de unidades implica la transformaci´on de varias unidades, se pueden utilizar varios factores de conversi´on uno tras otro, de forma que el resultado final ser´a la medida equivalente en las unidades que buscamos. Esta conversi´on es utilizada en variadas ciencias como la qu´ımica y la f´ısica, por ejemplo para transformar magnitudes f´ısicas, estas son;
Magnitud Unidades Longitud Cent´ımetro (cm) Metro (m) Kil´ometro (km) Masa Gramo (g) Kilogramo (kg) Tonelada (ton) Tiempo Segundo (s) Minuto (min) Hora (h) Temperatura Celsius (C) Fahrenheit (F) Kelvin (K) Calor Calorias (cal) Kilocalorias (Kcal) btu Superficie Centimetro cuadrado (cm^2 ) Metro cuadrado (m^2 ) Kilometro cuadrado (km^2 ) Volumen Centimetro cubico (cm^3 ) Metro cubico (m^3 ) Kilometro cubico (km^3 ) Densidad
g cm^3
kg dm^3
lb f t^3 Velocidad
m s
km h
pie s Aceleraci´on
m s^2
km h^2
pie s^2 Fuerza Newton (N) KiloFuerza (kgf) d Presi´on
N
m^2
kgf cm^2
bar
A continuaci´on algunas equivalencias.
- Unidades de longitud:
a) 1km = 1000 m =10000 dm = 100000 cm = 1000000 mm b) 1m = 10 dm = 100 cm =1000 mm c) 1 pie = 0,3048 m = 3,048 dm = 30,48 cm = 304,8 mm d ) 1 pie = 12 pulg. e) 1 pulg. = 0,0254 m = 0,254 dm = 2,54 cm = 25,4 mm f ) 1 milla terrestre = 1609 m
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- Unidades de masa:
a) 1tonelada = 1000 kg = 1000000 g b) 1 kg = 1000 g c) 1 UTM = 9,8 kg = 9800 g d ) 1SLUG = 14,59 kg = 14590 g e) 1 lb = 0,454 kg = 454 g
- Unidades de longitud
a) 1km = 1000m =10000dm = 100000cm = 1000000mm b) 1m = 10 dm = 100 cm =1000 mm c) 1 pie=0,3048 m = 3,048 dm = 30,48 cm = 304,8 mm d ) 1 pie = 12 pulg.1 pulg. = 0,0254 m = 0,254 dm = 2,54 cm = 25,4 mm e) 1 milla terrestre = 1609 m
- Unidades de masa:
a) 1tonelada = 1000 kg = 1000000 g b) 1 kg = 1000 g c) 1 UTM = 9,8 kg = 9800 g d ) 1 SLUG = 14,59 kg = 14590 g e) 1 lb = 0,454 kg = 454 g
- Unidades de tiempo
a) 1 a˜no = 12 meses = 365 d´ıas =1 mes = 30 d´ıas = 1 d´ıa b) 1 d´ıa = 24 horas =1 hora = 60 min. = 3600 s
- Unidades de fuerza:
a) 1kp = 1 kgf (kilogramo fuerza) = 9,8 N = 9, 8 · 105 d b) 1N = 10^5 d c) 1 lbf = 0,454 kgf =4,4492 N = 4, 4492 · 105 d d ) 1 kips =1000 lbf
Por ejemplo, para convertir 8 metros a yardas, sabiendo que un metro es a 1,093613 yardas, entonces la conversi´on ser´a;
8 m ·
1 , 093613 yr 1 m
8 6 m · 1 , 093613 yr 1 6 m
= 8, 74904 yr
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Para ello, despejamos b, tomando todos los factores que lo acompa˜nan y pasarlos como deno- minador al otro lado de la igual
b =
As´ı es posible determinar le valor del n´umero b, por lo que solo falta encontrar el valor del n´umero a, pero como sabemos que a − b = 60, entonces el posible deducir que el valor de a es 100. Podemos comprobarlo verificando que los valores de raz´on son iguales entre s´ı,
k =
= 2, 5 ⇔ k =
R: ∴ los n´umeros son 100 y 40.
3.2.3. Variable
Una variable es una cantidad que puede tomar distintos valores y distintos tipos de valores. Esta cantidad que var´ıa en matem´atica se representa generalmente utilizando las ´ultimas letras de nuestro abecedario. Debemos notar que las variables son cuantitativas, es decir que tienen asociado un valor num´eri- co, as´ı es posible expresar una caracter´ıstica a trav´es de un n´umero, por ejemplo: edad, estatura, peso corporal, etc.
3.2.4. Variaci´on proporcional Directa
Para que dos magnitudes mantengan una relaci´on de proporcionalidad directa tienen que estar relacionadas de tal forma que si duplicamos una, la otra se tiene que duplicar, si la triplicamos la otra tambi´en y si la reducimos a la mitad la otra tambi´en se tiene que reducir. Se puede entender que si aumentamos la cantidad de una, la otra tiene que aumentar tambi´en proporcionalmente, matem´aticamente explicado ser´a dos variables son directamente proporcionales si y solo si la raz´on entre ellas es constante, es decir, a es directamente proporcional a b , si existe una constante k tal que;
a = k · b o k =
a b Ejemplo: En un laboratorio de fisiolog´ıa, al medir durante cierto tiempo los litros de sangre que bombea el coraz´on de una persona cuyo peso es de 70 kg, se obtuvieron los siguientes datos:
Litros de sangre que bombea el coraz´on 20 35 50 60 tiempo medido en minutos 4 7 10 12
En la tabla se observa que, cuando aumenta el tiempo, tambi´en aumenta el n´umero de litros de sangre que bombea el coraz´on; esto se ve de izquierda a derecha; ahora, si se ve la tabla de derecha a izquierda, tenemos que, al disminuir los litros de sangre que bombea el coraz´on, tambi´en disminuye el tiempo que tarda en bombear la sangre.
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Al expresar las razones de la tabla y obtener sus cocientes se tiene sus valores de raz´on son iguales por lo que todas las medidas son proporcionales entre s´ı:
20 4
Entonces si se mantienen proporcionalmente en el tiempo, podemos decir que a los 24 minutos se habr´an bombeado 120 litros. Esto se puede comprobar mediante su constante de proporcionalidad
a = k · b ⇔ 5 · 24 = 120 En resumen podemos definir que este tipo de variaci´on proporcional representa una linea recta positiva en el plano cartesiano
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Ejemplo: 18 j´ovenes andinistas tienen alimento para 10 d´ıas. Si faltan tres de los j´ovenes, ¿para cu´antos d´ıas m´as alcanzar´a el alimento si consumen diariamente la misma raci´on prevista? Para encontrar la cantidad adicional de d´ıas que durar´a el alimento, planteamos la siguiente proporci´on, considerando que ahora la cantidad de j´ovenes es igual a 15:
k = 18 · 10 = 180
15 =
b
b =
= 12d´ıas
Se concluye as´ı que el gr´afico de la relaci´on inversamente proporcional en el plano cartesiano es una curva llamada hip´erbola que no intercepta a los ejes coordenados.
3.2.7. Variaci´on proporcional conjunta o combinada
En la resoluci´on de problemas, llamaremos proporcionalidad compuesta a aquellas situaciones que involucran m´as de dos variables, las cuales se pueden relacionar de manera directa, inversa o cualquier combinaci´on de ellas. Ejemplo; Un campesino ha utilizado 2.100 kg de forraje para alimentar a 24 animales durante 10 d´ıas. ¿Cu´anto gastar´ıan 40 animales en 8 d´ıas?
En el problema planteado hay tres variables involucradas: la cantidad de forraje, el n´umero de animales y el n´umero de animales y el n´umero de d´ıas. Si ordenamos la informaci´on en una tabla obtenemos.
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donde las variables animales y forraje son inversamente proporcionales, dado que a medida que se tienen m´as animales, el forraje durar´a menos. y las variables forraje y d´ıa son directamente proporcionales sabiendo que si tengo m´as forraje, me durar´a m´as d´ıas, entonces la constante de proporcionalidad k para ambos casos se calcular´a como
k =
b a · c As´ı la constante para el caso 1 (Donde se tiene toda la informaci´on) ser´a;
k 1 =
Y para el caso 2, donde est´a nuestra inc´ognita ser´a;
k 2 =
x 40 · 8
x 320 Como sabemos que ambos casos son proporcionales, eso implica que ambas constantes sea iguales, entonces k 1 = k 2
8 , 75 =
x 320 x = 8, 75 · 320 = 2800 Por lo tanto la respuesta al problema es que se gastar´an 2800 kg de forraje en 8 d´ıas para 40 animales.
