Combinació lineal
Donat un conjunt de vectors u1, u2,....,uk, direm que un vector v és combinació
lineal dels vectors u1, u2,....,uk si existeixen k escalars tals que
v = k x u1 + k x u2 + k x uk
El vector v és combinació lineal d’un conjunt de vectors si el podem expressar
com sumes i productes per escalars dels vectors d’aquest conjunt
Mètode per estudiar si un vectors és combinació lineal d’un conjunt de vectors
Per veure si un vector v pertany Rn es combinació lineal dels vectors u1,
u2,....,uk,
1. Construir una matriu A posant en columnes el vectors u1, u2,....,uk,
2. Construir la matriu (A|b) afegint la matriu A una columna addicional donada
pel vector v
3. Calcular el rang de les dues matrius:
Si rang (A) = rang (A|b) -> Sistema compatible -> v es combinació lineal
dels vectors u1, u2,....,uk,
Si rang (A) ≠ rang (A|b) -> Sistema incompatible -> v NO es combinació
lineal dels vectors u1, u2,....,uk,
Exemples
1. El vector v = (3,-4,3) és CL dels vectors u1 = (1,-3,0) i u2 = (1,2,3)
Matriu amb els vectors u1 i u2 i v com a matriu ampliada
1 1| 3
-3 2| -4
0 3| 3
Estudi del rang (A) (màxim rang 2)
1 1 = 5 ≠ 0
-3 2
Per tant rang (A) = 2
Estudi rang (A|b) (màxim rang 3)
1 1 3
-3 2 -4 = 0
0 3 3
Per tant rang (A|b) = 2
Rang (A) = rang (A|b) per tant es un sistema compatible i el vector v es
combinació lineal dels vectors u1 i u2
