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Apunte : LOGARITMOS
Por: Sebasti ´an Rojas Canales
+ a^0 = 1; a 6 = 0
+ ax^ · ay^ = aa+y
+ a
x ay^ =^ a
x−y
+ (ax)y^ = ax·y
+ a−^1 =^1 a ; a 6 = 0
+ a−n^ = a^1 n ; a 6 = 0
( (^) a b
)x = a
x bx
Recuerda (Propiedades de Potencias)
a mn^ = n
√ am
+ √na · n
√ b = n
√
a · b + n
√a √ nb = n
√ (^) a b
+ n
√ (^) m √
a = n·m^ √a + n
√ am^ · b = a mn^ · n
√ b
Recuerda (Propiedades de las Ra´ıces)
Logaritmos
El logaritmo es una funci ´on que relaciona un n ´umero b, que al elevarlo a la potencia y nos da por resul- tado el n ´umero x. A continuaci ´on se presenta una definici ´on formal:
DEFINICI ON´ 1 (LOGARITMOS) Se define el logaritmo de un n ´umero real positivo x, con respecto a la base b, como el n ´umero y tal que b elevado a y nos da x.
logb x = y ⇔ by^ = x; ∀b, x ∈ R+^ ∧ b 6 = 0 y b 6 = 1
otra definici ´on de logaritmo es:
DEFINICI ON´ 2 (LOGARITMOS) El logaritmo de un n ´umero n en base a se define como el n ´umero al que hay que elevar a para obtener el n ´umero n. ay^ = x ⇒ loga x = y
Las partes de un logaritmo son las siguientes:
EJEMPLO 1
22 = 4 ⇒ log 2 4 = 2
Dos elevado a dos es 4 , por lo tanto, el n ´umero al que hay que elevar a 2 para obtener 4 es 2 (log 2 4 = 2).
EJEMPLO 2 23 = 8 ⇒ log 2 8 = 3
Dos elevado a 3 es 8 , por lo tanto, el n ´umero al que hay que elevar a 2 para obtener 8 es 3 (log 2 8 = 3).
El logaritmo es, por tanto, la operaci ´on inversa a la potencia, igual que la divisi ´on es la operaci ´on inversa del producto.
Hay que tener en cuenta que: a−n^ =
an Esto es muy importante cuando hay decimales en el logaritmo.
EJEMPLO 3 10 −^4 =
= 0, 0001 ⇒ log 10 0 , 0001 = − 4
OBSERVACI ON´ 1 Por convenci´on en el logaritmo en base diez, no se escribe la base:
log 10 x = log x
OBSERVACI ON´ 2 El logaritmo en base e (euler) se denomina logaritmo natural de x se escribe de la forma ln(x)
EJEMPLO 4 log 2 32 = 5, porque 25 = 32
EJEMPLO 5 log 10000 = 4, porque 104 = 10000
EJEMPLO 6 ln(e) = loge e = 1, porque e^1 = e
C ´alculo de logaritmos
Para obtener un ejercicio de logaritmos, debemos plantearlos como una ecuaci ´on, donde la inc ´ognita es el exponente que deseamos encontrar. El proceso es ir escribiendo el argumento del logaritmo hasta que se transforme en una potencia de igual base al de la base del logaritmo.
Veamos un ejemplo:
EJEMPLO 7 Calcular log 4 64
Lo que buscamos se traduce a la siguiente ecuaci ´on:
4 x^ = 64
Sabemos que 64 = 4^3 , por lo tanto, 4 x^ = 4^3 entonces se deduce que
x = 3
Soluci ´on
EJEMPLO 11 log 23
log 2 4 =
- Cambio de base de un logaritmo:
loga x = logb^ x logb a
, ∀a, b, x ∈ R
EJEMPLO 12 Se sabe que el log 3 9 = 2 y log 3 27 = 3, el log 9 27 ser´ıa:
log 9 27 =
log 3 27 log 3 9
A veces aparecen expresiones en las que habr´a que usar varias de las propiedades:
EJEMPLO 13
log
x · y^2 √ (^3) z = log x + 2 log y −
log z
- Comprobar las siguientes operaciones con logaritmos. Usar las propiedades de los logarit- mos vistas:
(a) log 2 (16 · 32) = 9 (b) log 3 (81 · 27) = 7 (c) log(0, 001)^2 = − 6 (d) log x · y · z = log x + log y + log z (e) log
( (^) x · y · z a · b
= log x + log y + log z − log a − log b
(f) log
x · y · z x^2 · y^3
= − log x − 2 log y + log z
- Sabiendo que log 2 4 = 2 y que log 2 8 = 3, ¿Por qu´e el log 4 8 vale
Ejercicios
Ejercicios Propuestos
Logaritmos Prof. Sebasti ´an Rojas Canales
- Exprese en forma logar´ıtmica las siguientes potencias
(a) 34 = 81
(b) 25 = 32
(c) (0, 2)^3 = 0, 008
(d) 102 = 100
(e)
(f) 10 −^3 = 0, 001
- Exprese los siguientes logaritmos en notaci ´on exponencial
(a) log 2 16 = 4
(b) logx y = z
(c) loga 5 = b
(d) log 3 81 = 4
(e) log 10 1000 = 3
(f) log (^32)
9 =^ −^2
- Calcula cada uno de los siguientes logaritmos:
(a) log 7 343 = (b) log 16 8 =
(c) log 23 32 243
(d) log 8 512 = (e) log 27 3 =
(f) log 43256 81
(g) log 4 1024 = (h) log√ 2 16 =
(i) log 35125 27
- Determina el valor de x en las siguientes expresiones:
(a) logx 121 = 2 (b) log 2 32 = x (c) logx 3 = 1
(d) logx
(e) log 5 1 = x
(f) log√ 3 9
3 = x
(g) log 4 x = 3
(h) logx
(i) log 2
x 2 x + 3
(j) log 5 x = 4 (k) log 5 x = 3 (l) loga
a
(^85) = x (m) log 3 9 = x
(n) logx^81 625
- Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones:
(a)
log 3 81 + log 2 64 log 100000
(b)
log 4
- log 103 0 , 3 log 3 (125)−^1 − log 2 (32)−^1
(c) 2 log 14 32 + 7 log 15 125 − log 13 24 =
(d) 4 log (^57)
− 5 log (^67)
- Si logk x = log 2 k = 3. Determine el valor de x.
