¡Descarga logaritmo +ejercicios resueltos y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
log
tan
sup
se lee aritmo de x de base a
cuando la base es no se suele poner nada en la base y cuando la base es e numero neperiano se escribe Ln
sabemos que a con a
sabemos que a a
sea c d e a c d
sea c h a c d f a d y como a c d a a a a e h f c d c d asi queda demostrado que c d c d
sea (^) dc^ e a (^) dc
sea c h a c d f a d y como a (^) dc^ a a a a e h f (^) dc^ c d
asi queda demostrado que (^) dc^ c d cuidado con c c hay bas tes alumnos que lo confunden
sea b w a b y b v a b a b en el remplazamos b por a queda asi a a a w v c w v c b b
ongamos que b d b e a f
a b c b c a
a b c c f d e d ef^ b (^) a
b
Definicion x b a x siendo x a a
a
demostrar que c d c d siendo c d a a
demostrar que (^) dc^ c d siendo c d a a
demostrar que b b siendo a a b
Cambio de Base b (^) a
b
demostracion
.
..
.
.. ..
a
e
a
h a
f e e h f h f a a a a a a
a
e
a
h a
f e e h f h f a a a
a a a a
n a
n
a
c w c a
v v v w v c^ vc
a
c a
a c c d e f
d remplazar b por c
remplazar a por c f d e a c
c
por definicion
por definicion
a
b
a
a a a a
a a a
a
c a
a c
c
aplicando la def
aplicando la def aplicando la def
aplicando la def
aplicando la def aplicando la def
aplicando la def aplicando la def
0
1
e
f
log
log log
log log log
log log log
log
log log
log log log
log log log
log log
log log
log log
log log log
log log
log
log
log
log
log log log
log log log
log log
log
log
log
c
c
2 2 2
+
-
Q
Q Q S Q Q Q
Q S
Q
Q
S
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
S
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
S
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
V
V
V
X
V
V
V
V
V
V
X X
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
X
V
V
V
V
V
V
V
V
V
X
V
V
V
V
V
V
V
V
V
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
O
log
tan lim
log min
log log
utilizando la formula de cambio de base c (^) b
c b c c
sabemos por def de que a b b n remplazando n por b en el queda a b
sabemos c x entonces c c c
a a
a a
a
haciendo cambio de base b (^) a
b a facil demostrarlo sabiendo (^) cb^ bc
haciendo cambio de base b (^) a
b n a
m b n
m b n
m (^) b
haciendo cambio de base a (^) n a
m a n
m
recordarlas son muy impor tes en los ites
Para resolver problema o ecuacion aritmica lo primero que hay que hacer es sacar su do io
demostrar que b c c
demostrar que a b
demostrar que a c
demostrar que (^) a a
demostrar que b (^) a
demostrar que (^) cb^ bc
demostrar que b mn^ b
demostrar que a mn
b d b d si a b d b d si a
.
b a
a a b a
n a a b
x a c a a
a a a
a a
a
a b
b b
a
m a
n a
m
a
a a a
a
m a
a
a b a
b
c a
a (^) a
a b
a a a
m a
a
m
a a a a
1
1
1
a
c c c b c b
n
n
a
b b
n
n
log log
log
log log log
log log
log log log
log
log
log
log
log
log
log
log log
log
log
log log
log
log
log
log
log log log
log log
log log
log log
log log
log
log log
log log
log
log log log^ log log log
log
log log b
= -^ = -^ =-
-
+
S
Q
S S
S
S
Q
S
Q
Q
V
X
X X X
X V
X
V
V
cos ln^ ln
ln
ln ln
Ejercicio
Resuelve la inecuacion x^ x^ x
Ejercicio Resuelve la ecuacion e^ e e
Ejercicio
Resuelve la inecuacion x x x
Ejercicio Resuelve la inecuacion
Ejercicio
Resuelve la ecuacion x^ x
Ejercicio
Resuelve la ecuacion x^ x
Ejercicio Resuelve la ecuacion seguiente
x (^) sen x
Resuelve la ecuacion x Antes de nada hallemos campo de existencia x existe Si y solo si x luego D x e e x e y como e D se concluye que x e
2 ln
x (^) x x
x x
x x
f x f
2 21
2 4
51 5 5
1 2 1
16
2 4
2 1
2 2 2 2
log log log
log log log
log log
log log
+ + d
=-^ = = =
**-
Q R
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q Q
Q
Q
V W
V
V
V
V
V
V
V
V
V V
V
V
% "
int
int sec
int
int sec
Respuesta
Respuesta
Respuesta
Respuesta
Resuelve Ln x^ Ln x
primero campo de existencia
existe Ln x^ si y solo si x x
Ln x^ si y solo si x x x
x ervalos es
la er cion de estos dos
luego campo de existencia es ahora si podemos a proceder a resolver la ecuacion Ln x^ Ln x^ Ln x^ x^ Ln x x x x
x
x luego x es la solucion
resuelve e e e
e Lne Ln x Ln x Ln
resuelve e e
e e e e^ e^ e^ e e^ e (^) e e e e (^) e sea a e asi que e (^) e a a luego a
e x (^) LnLn
resuelve Ln x Ln x Ln x
campo de existencia x
x
x x
x
x ervalos es
la er cion de los
Ln x^ Ln x^ Ln x^ Ln x^ x^ Ln x^ x x x x x x x^ x^ x
x asi que la solucion es S
2 3 3^ 1 2
,
x x x
x x
x x
x x x x^ x^ x^ x x^ x (^) x x x x (^) x x x (^) x
x
2
2 1
2 1 2 1
(^22) 2 2 2
1 2
2 2 2 2 2
d
d
d
d
d
b
D
= -^ -^ +
= -^ +
= = -^ = = +
+ - = +^ -^ = -^ +^ = - + =
= -^ = = =
= - +^ = -
= - -^ =
**- -
Q**
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
R R
Q
Q
Q
Q
Q
Q
S
Q
Q
S
Q
Q
Q
Q
Q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
W W
V
V
V
V
V
V
X
V
X
V
V
V V
V
"
"
# #
#
"
#
"
"
#
"
#
%
%
& &
&
% &
%
& %
%
&
Z
[
\
]]
]]]
]]
]]]
Z
[
\
]]
]]
]]
]]
Z
[
\
]]
]]]
]]
]]]
G
G
G
G
G
E
G
G
G
G
_
a
bb bb bb bb
_
a
bb b bb b
H
J
ln ln ln
lim log
Resuelve Respuesta A sustituindo a A a a es una ecuacion de segundo grado a a
a imposible ya que
x x
la solucion a la ecuacion es x
resuelve x x Respuesta antes de empezar a resolver se halla el campo de existencia x (^) existe Ssi x x
x existe Ssi x x
asi D vea la imagen para entenderlo donde coinciden los dos colores recuerda que b (^) b a
x x (^) x x
x
x (^) como la base es a se puede e inar los y la desigualdad no cambia
x
x (^) x x x (^) x x x x
x x x
x x x x x x x x x x x x B y como D la solucion a la inecuacion es x B D
,
,
x x x x^ x x x^ x x
x x
x x
x x
f
a a^ a
f f
1 2 1 2 2 2 2 2
1 2
1 2
21 2
21 2
1
21 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
(^2) 1 2
2
log log
log
log
log log log
log log log log log
log log
d , d +
D D
D D
+ - = = - -^ = =
= -^ =
- + -^ - -^ -
= - +^ =
- - - - -^ - - **- -
-**
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
S
Q
S
Q
Q
S
Q
Q
S
Q
Q
S
Q
Q
Q
Q
V
V
V
V
V
V
V
V
X
X
V
V
V
X
V
X
V
V
V
V
X
V
V
# V
" " #
# #
&
& & &
Z
[
\
]]
]]
]]]
]
Z
[
\
]]
]]
]]]
]
ln ln ln
ln ln ln
ln ln ln ln ln
min
ln ln ln
Resuelve x^ x^ x x Respuesta antes de nada hallemos campo de existencia es decir la solucion debe D x x existe Ssi x x x x x existe Ssi x x existe Ssi x ya que x x
x
x x
x x x x x vea la imagen
luego el D asi que la solucion debe a este conjunto D Ahora si empecemos a resolver la ecuacion x x x x^ x^ x x^ x
x
x x (^) x x
x x (^) x x
x x (^) x x x
x x x x x x x x A es una Ec de grado resolviendo por rufini
se deduce que A x x x
resolvamos por discri ante la ecuacion x x
x D
D
y x D
asi que se concluye que la ecuacion x x x x tiene por solucion x
Resuelve la inecuacion seguiente x^ x Respuesta antes de nada hallemos campo de existencia es decir la solucion debe D x x existe Ssi x x x x x x x x x luego D esto nos indica que la solucion a la inecuacion debe estar D x x x x x x x x x x x y como x D se concluye x x que las soluciones son x
,
f
f f
f f
f
f f
f
2
2 2
2 2 (^2 2 ) 2
(^2 2 )
2 3 4 2 3 2
2
2
2 3 1
2
21
2 2
21
2 2
21
2 2 21
2 21
2
f
log log
log
log log log log
d
d
d
d , , ,
b
g
b!
D D
- - = - -^ = -
= -^ -
- - = -^ = +
= -^ +
- + + -^ +
- - - - + = -^ +
Q
Q
R
Q
Q
Q
Q
R
T
S Q
R
Q
Q
Q
Q
R
Q
Q
Q
Q
S
Q Q
Q
V
V
V
W
V
V
V
W
X
Y
V
V
W
V
V
V
W
V
V
V
X
V
V V
V
"
"
"
"
" "
"
" "
%
%
%
%
% % % % %
Z
[
\
]]
]]]
]]
]]]
G
_
a
bb bb bb bb
_
a
bb bbb bb bbb
ln
Resuelve la inecuacion e e e Respuesta e e e e e e e e e e A sustituindo e a A a a
a a^ a^ a a a
a
x
a e e x
Resuelve la inecuacion x x x Respuesta
x
x
x existen Ssi x x
x
x x vea la imagen
asi que D x x x x x x
x x x x x x
x x x x (^) xx x x
x
x x
x (^) como x x x
x x podemos X en cruz
x
x x
x (^) x x x x (^) x x x x x
x x x x x pero como D luego el conjunto de las soluciones
es x vea la imagen de abajo
si a y f x^ g x^ f x^ g x si a y f x^ g x^ f x^ g x b b a b mn^ b
,
x x x x x x x x x
x x
f
f
a a a a a a
c a
n
a
m a
2 1 1 2 1 1 2 2 2 2
1 2
2 21
2 4
4
21
(^2 )
(^2 )
2 2 21
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 3 3 2
c (^) n n
2
log log log
log
log
log
log log log log log log
log log log log log log
log log log log log log
log log
log log
log log log
log log
d
D D
+ - - -^ + +- - -^ ++
**+ +
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
# #
#
#
&
&
Z
[
\
]]
]]
]]
]]
]]
]]
Z
[
\
]]
]]
]]
]]
Z
[
\
]]]
]
]]
]]
Z
[
\
]]
]]
]]
]]
_
a
bb bb bb bb
_
a
bb bb bb bb
ln
lg
ln ln
Resuelve e^ e e Respuesta e (^) e e (^) e e e e A multiplicando por e A e^ e sustituyendo e por a queda de la forma seguiente
a a a Imposible ya que a e
a e x
Resuelve la inecuacion E x x x Respuesta como ya se han resuelto a unos ejercicios de esta forma aplicando cambio de variable en este caso vamos aplicar la formula b (^) mn^ b pero para eso hallemos antes el campo de existencia
x
x
x
x
x
x vea la imagen para deducir que D
x x x x x x
E x x x x^ x x x^ x x
x
x (^) x B sabemos por D que x x x
B x x x x x x x x x x x esto nos indica que x como D se concluye que x para entenderlo vea la imagen
Resuelve la ecuacion F Respuesta multiplicar por sustituyendo a (^) a a a a a asi que a a a x a a (^) x x
5 25 30 5 5 5 5 5^ 5 6 5
1 5 5 6 5 0 5 5 6 1 0 16 4 1 5^1
1 0 1 5^1 1 5 1
,
,
x (^) x x
x (^) x x (^) x x x x x x (^) x x
x
x
a
n a
f
f
f
x x x x x x^ x x (^) x x
x
2
(^2) 1 2 2
1
51 5 5
51 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
2
1 2 1 1 2 1 2 2 2 (^2 2 2 2 2) 1 2
2
m
(^1 )
log log log
log log
log log log log log log
log log log log log
d d
D D
D D
=-^ =
- - + - + - -^ + - -^ +
+ - =^ - + = = =
**-
-**
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
" #
#
!
% &
&
& &
$
Z
[
\
]]]
]
]]
]]
Z
[
\
]]
]]
]]
]]
G
G
_
a
bb bb bb bb
J
: a a
cos ln^ ln
ln
ln
cos ln^ ln^ cos ln^ ln
ln cos
cos cos cos cos
cos (^) cos cos cos cos cos
cos cos
ln ln
a a a
a
a a
Resuelve la ecuacion seguiente
x (^) sen x
Respuesta hallemos campo de existencia D
x existe Ssi x x
x existe Ssi x x (^) x
x (^) sen x x (^) sen x
Remplazando x por a queda de la seguiente manera sen
sen a^ sen a a sen a (^) sen
a (^) sen a sen a sen sen a
a a k
a k k a k
a k k
a k
a k k y como resulta que a x entonces x k
k k
x e
e (^) k
R R
Z Z
Z Z
Z
f
k
k
2 2
2
2 2 2
247
24
2 2
2 2 2
2
2
d (^) d 2
r r r r
r r r r (^) r
r r (^) r r (^) r
r (^) r
r (^) r
r (^) r r (^) r
r (^) r
- + = -^ + =
= (^) r (^) r
r (^) r
+ +
+
+
Q
Q
Q
S
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q Q
V
V
V
X
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Z
[
\
]]
]]
]]
]]
Z
[
\
]]
]]
]]
]]
Z
[
\
]]
]]
]]
]]
Z
[
\
]]
]]
]]
]]
G
G
_
a
bb bb bb bb
_
a
bb bb bb bb
_
a
bb bb bb bb _ ‘ a
bb bb bb bb
J
J
