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¡REFLEXIONA
Recuerda:
Herramientas para el sistema astronómico
Muchos de los grandes matemáticos, como Euclides y Arquímedes, también escribieron sobre temas astronómicos. A principios del siglo II a. C. los astrónomos griegos adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de fracciones y, casi al mismo tiempo, compilaron tablas de las cuerdas de un círculo. Para un círculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función del ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado incremento. Eran similares a las modernas tablas del seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría. En la primera versión de estas tablas, las de Hiparco, hacia el año 150 a. C., los arcos crecían con un incremento de 7 1/2º, de 0° a 180°. En tiempos del astrónomo Ptolomeo, en el siglo II d. C., la maestría griega en el manejo de los números había avanzado hasta tal punto que Ptolomeo fue capaz de incluir en su Almagesto una tabla de las cuerdas de un círculo con incrementos de 1/2° que, aunque expresadas en forma sexagesimal, eran correctas hasta la quinta cifra decimal.
Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver problemas con triángulos planos y se introdujo un teorema que recibe el nombre del astrónomo Menelao de Alejandría para calcular las longitudes de arcos de esfera en función de otros arcos. Estos avances dieron a los astrónomos las herramientas necesarias para resolver problemas de astronomía esférica, y para desarrollar el sistema astronómico que sería utilizado hasta la época del astrónomo alemán Johannes Kepler.
- Cuando trates de encontrar faltas usa
un espejo, no un telescopio.
- No mires nunca de dónde vienes, sino
a dónde vas.
- Nunca dejes que muera el sol sin que
hayan muerto también tus rencores.
El amor es como el oro... Si lo pierdes,
no lo busques, el que lo encuentre no te
lo devolverá.
- Si juzgas a la gente no tendrás tiempo
de amarla. Conócete a ti mismo; pero
sobre todo, conoce a los demás. El terreno
en que ha de librarse la batalla diaria
es en el individuo humano. Nada se
consigue, aunque nos conozcamos bien,
si no conocemos a los demás.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 3 E) 9
Hallar: x + z 2 1 ; 3^2 ; 4^3 ; zX
¡ Razona...!
MAGNITUDES PROPORCIONALES CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
MAGNITUD
Es todo aquello que puede ser medido, ejemplos: el área de un terreno, la edad de una persona, etc.
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Dos magnitudes serán proporcionales si son dependientes entre sí, es decir, si una de ellas varía, la otra también varía.
CLASES DE MAGNITUDES
a) Magnitudes directamente proporcionales (D.P.). También denominadas simplemente proporcionales. Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales (D.P.), cuando el cociente entre sus valores correspondien- tes es una constante. Es decir, A y B son directamente proporcionales si:
B
A (^) k = (constante)^ También: A = k. B
Se lee: A es directamente proporcional a B. Esto significa que cuando A se duplica, triplica, cuadruplica, etc. B también se duplica, triplica, cuadruplica, etc.
Ejemplo: Si dos cuadernos cuestan S/.6, ¿cuánto costarán 6 cuadernos?
Resolución: Como el número de cuadernos se ha triplicado, también el costo se triplicará es decir: 3 # S/.6 = S/. Podemos llenar un cuadro con algunos datos:
Magnitudes Valores correspondientes Costo 6 12 18 24 n.º cuadernos 2 4 6 8
Del cuadro, observamos que si dividimos el costo entre el número de cuadernos se obtiene una cantidad cons- tante, en este caso es 3.
Gráficamente: Costo
Cuaderno
b ) Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.) Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales cuando el producto entre sus valores correspondien- tes es una constante.
Es decir, A y B son inversamente proporcionales si:
A. B = k(constante) También: A B =k
Se lee: A es inversamente proporcional a B. Esto significa que al duplicarse A, B se reduce a su mitad; si A se cuadriplica, B se reduce a su cuarta parte, etc.
Esta gráfica nos indica que a medida que B (n.° cuadernos) aumenta, también A (costo) aumenta, o si B disminuye, también A disminuye.
R O..
C
15 20 O
& =^150
L
R D
L L
R D D
2
=
c m
L
R D
L
R D
L
R D
L
R D R
R
1 2 2 2 1 = & = 2
- Un anciano repartió su herencia entre sus dos sirvientes proporcionalmente a sus años de servicio que son 18 y 20 años e inversamente proporcional a sus edades de 26 y 36 años respectivamente. Determinar el monto de la herencia si el mayor recibió S/.1600 más que el menor. Resolución: Sean: H: herencia a repartir A: años de servicio E: edad ..^. A
H E H^ H
H
H
2
& = &^1 =
Por dato: H 1 - H 2 = 1600 81K - 65K = 1600 16K = 1600 K = 100 Luego: 81K + 65K = 146K = 146(100) = S/.14 600
- A es D.P. al cubo de B, el cuadrado de B es D.P. a la raíz cuadrada de C, y C es I.P. al cuadrado de D. Si, cuando A = 3; D = 4. Hallar A, cuando D = 2 3 18. Resolución: Del problema tenemos:
B
A K
C
B K
C D K
3 1 2 2 2 3
_
`
a
b bb
b bb.
C
B K
C
B K
B
D
K K
D
K
2 2 4 2 2
4 2
2 2 3 2
4
B D K
B D K
B
D
K
4 2 41 44
1
44
1
44
1
2
1
2 1
^ h
Reemplazamos (1) en B
A K
3 =^1
A D. 2 K
3 = 5
Nos piden:
- 4 2 A. 2 18
(^3 ) 2
3 ^ h = ^ h ` A = 2
- Dos ruedas de 30 y 55 dientes están engranadas, calcular el número de vueltas que habrá dado cada una al cabo de 4 minutos si una rueda ha dado 80 vueltas más que la otra por minuto. Resolución: Teniendo en cuenta que: n.° vueltas I.P. n.° dientes
- x = 55(x - 80) 30x = 55x - 4400 4400 = 25x 176 = x Para la rueda de 30 dientes tenemos: Si en un minuto hizo 176 vueltas
en 4 minutos hará: 176 # 4 = 704
Para la rueda de 55 dientes tenemos: Si en un minuto hizo 96 vueltas
en 4 minutos hará: 4 # 96 = 384
- El número de cuadernos es directamente proporcional al número de resmas que tenga de papel y al número de obreros que trabajan. Si para hacer 100 cuadernos, se utilizaron 15 resmas y se emplearon 20 obreros; ¿cuántos obreros se emplearon para hacer 150 cuadernos con 18 resmas de papel? Resolución:
Tenemos:
O = 25
- La resistencia eléctrica de un conductor es proporcional a su longitud L e inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro D. ¿Qué sucede con la resistencia si L disminuye en su cuarta parte y D aumenta en su mitad? Resolución:
La resistencia disminuye en sus dos terceras partes.
EvaluaciónEvaluación^ 115 Día:
Apellidos y nombres:
Año: Sección:
Mes: Año:
CA LIFICACIÓN
Tema:
- Sabiendo que x es I.P. a y, hallar x cuando y= 64, si cuando x = 8, y vale 392.
A) 49 B) 55 C) 92
D) 50 E) 48
- El costo unitario de un libro es I.P. al número de ejemplares editados. Si una primera tirada se vende por S/.35 640, ganando el 10%, ¿cuánto será el costo de cada libro en una segunda tirada de 1800 ejemplares?
A) S/.20 B) S/.61 C) S/.
D) S/.16 E) S/.
- Si A es D.P. a B^2 e I.P. a C , cuando A = 4, B = 8 y C = 16. Hallar A cuando B = 12 y C = 36.
A) 12 B) 6 C) 4
D) 9 E) 8
- A^2 + B^2 es D.P. a A 2 - B^2. Si cuando A^2 + B^2 = 10; A^2 - B^2 = 8. ¿Cuál es el valor de A cuando B = 7?
A) 23 B) 21 C) 25
D) 31 E) 36
- El consumo de una persona es D.P. a su sueldo el resto lo ahorra. Un señor gana $500 y ahorra $100; si recibe un aumento, consume $1260. ¿De cuánto es el aumento?
A) $1050 B) $1075 C) $ D) $1150 E) $
- Si A es D.P. a B y C es I.P. D^2. Averiguar cómo varía A cuando B aumenta en su tercera parte, C disminuye sus 2/5 y D aumenta en la quinta parte de su valor.
A) 3/9 B) 2/9 C) 1/9 D) 5/9 E) 4/
- La magnitud A es directamente proporcional al cuadrado de B e inversamente proporcional a C. Cuando B es 30 y C es 15, entonces A es igual a 18. Hallar B cuando A sea 20 y C tome el valor de 27.
A) 15 2 B) 30 3 2 C) 60 3 D) 75 E) 30 2
- El precio de un libro es inversamente proporcional al número de ejemplares editados y directamente proporcional al dinero invertido en la publicidad. Si el precio de un libro es 30 soles y se han editado 400 libros, invirtiéndose S/.6000 en publicidad, ¿cuál será el precio de otro libro si se han editado 500 libros y se invirtió S/.8000 en publicidad?
A) S/.35 B) S/.36 C) S/. D) S/.32 E) S/.
- Para valores de B# 8 las magnitudes A y B son D.P.; para valores de 8 # B # 15 las magnitudes A y B son I.P, y para valores de B $ 15. A I.P. B 2. Si cuando B = 4, A = 15, calcular el valor de A cuando B = 30.
A) 4 B) 8 C) 2 D) 7 E) 5
- En un examen de admisión se inscribieron 1089 postulantes. Se comprobó que el número de inscritos diariamente era I.P. al número de días que faltaban para el cierre de inscripción, excepto el último día en que se inscribieron 60. Si la inscripción duró 7 días, el tercer día se inscribieron:
A) 105 B) 140 C) 84 D) 120 E) 112
- ¿Cuál es el peso de un diamante que vale 55 000 dólares, si uno de 6 quilates cuesta 19 800 dólares y el precio es proporcional al cuadrado de su peso?
A) 12 B) 12,5 C) 10 D) 13 E) 14
- La potencia del motor de un automóvil es directamente proporcional a su capacidad e inversamente proporcional a los años de uso. Si un motor de 4 litros de capacidad y 3 años de uso tiene una potencia de 80 caballos, ¿cuántos años de uso tiene otro motor de 6 litros de capacidad y 90 caballos de potencia?
A) 4 B) 3 C) 6 D) 7 E) 8
- En un fenómeno intervienen las magnitudes A y B; se ha descubierto que cuando B $ 72 se cumple que A es D.P. a B 2 ; pero cuando B # 72, A es I.P. a 3 B. Si cuando B = 9 se tiene A = 40, hallar el valor de A cuando B = 216.
A) 300 B) 340 C) 270 D) 180 E) 242
- Si se cumple que: f(12)= 18 calcular:
M f
f f 10
^
^ ^
h
h h
Sabiendo que f(x) es una función de proporciona- lidad directa.
A) 1,8 B) 1,9 C) 2, D) 2,1 E) 2,
- Según el gráfico, A es I.P. a B. Hallar (a- b).
a + 16
a - 24
A) 16 B) 48 C) 112
D) - 16 E) 64
- En un proceso de producción se observa que la producción es D.P. al número de máquinas e I.P. a la raíz cuadrada de la antigüedad de ellas. Inicialmente había 15 máquinas con 9 años de uso, luego se consiguen 8 máquinas más con 4 años de uso cada una. Determinar la relación de la producción actual con la producción inicial.
A)
15 B)
4 C)
D)
9 E)
- El valor de una joya varía en forma proporcional al cuadrado de su peso. ¿Cuánto se perderá al partir una joya que costó S/.2997, en 3 partes cuyos pesos son entre sí como 4; 3 y 2 respectivamente?
A) S/.1070 B) S/.1071 C) S/. D) S/.1073 E) S/.
- Si S es la suma de dos cantidades, siendo una de ellas I.P. a D 2 y la otra D.P. a D^2. Hallar x si el siguiente cuadro indica sus valores correspondientes.
D 2 3 1
S 20 15 x
A) 25 B) 36 C) 37 D) 30 E) 35
- ¿Cuántas de las siguientes relaciones son directamente proporcionales?
- Espacio y velocidad
- Espacio y tiempo
- Velocidad y tiempo
- Número de obreros y número de días
- Número de horas diarias y número de días
- Eficiencia y tiempo
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
- El calor producido por una plancha es directamente proporcional al cuadrado de la corriente eléctrica y al tiempo transcurrido. Si una plancha produce 5000 calorías cuando circula una corriente de 2 amperios, durante 10 minutos; hallar la corriente que circularía por la misma plancha durante 5 minutos para producir 40 000 calorías. A) 4 A B) 6 A C) 8 A D) 10 A E) 12 A
- El consumo de carbón de una locomotora varía proporcionalmente al cuadrado de la velocidad; cuando la velocidad es de 24 km/h, el consumo de carbón es de 2 toneladas por hora. Hallar la velocidad de la locomotora si el consumo de carbón es de 8 toneladas. A) 26 km/h B) 27 km/h C) 48 km/h D) 29 km/h E) 30 km/h
- Salvador observa que los gastos que hace al celebrar su cumpleaños es D.P. al número de invitados e I.P. a las horas que ocupa en preparar la reunión. Si la última vez gastó S/.1050, invitó a 150 personas y ocupó 12 horas, ¿cuánto ahorrará si invita solo a 100 personas y ocupa 14 horas?
A) S/.1000 B) S/.600 C) S/. D) S/.150 E) S/.
- Se sabe que el precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Un diamante de S/.2100 se rompe en 4 pedazos tales que el peso del 1.° es 1/2 del 2.°, el peso del 2.° es 2/ del 3.° y que el 3.° es 3/4 del peso del 4.°. ¿Cuánto se perdió?
A) S/.1400 B) S/.1470 C) S/. D) S/.1610 E) S/.
- Se sabe que A es D.P. a B e I.P. a 3 C. Además cuando A es 14, B es 64 y C es igual a B. Hallar A cuando B sea 4 y C sea el doble de B.
A) 7 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6
- Siendo la magnitud A D.P. al cuadrado de la magnitud B, determinar a + d, si el siguiente cuadro representa los valores de las magnitudes respectivas.
A 27 75 d B a 5 4
A) 48 B) 51 C) 50
D) 48 E) 54
- Una magnitud A es D.P. a B y también a C, e inversamente proporcional a D 2 ¿Qué variación experimenta A cuando B se duplica, C aumenta en su doble y D se reduce a su mitad?
A) Aumenta 16 veces su valor B) Aumenta 15 veces su valor C) Aumenta 24 veces su valor D) Aumenta 23 veces su valor E) Aumenta 8 veces su valor
- Si A I.P. B, hallar: (2a+ b)
(b - 1) (b + 1)
A) 60 B) 61 C) 62
D) 64 E) 65
- Suponer que el apetito de una persona es D.P. a su talla e I.P. a su estado de ánimo. Si Horacio que mide 1,80 m y cuyo estado de ánimo es de 4 puntos se come 18 empanadas. Hallar cuántas empanadas se come Wilmer que mide 1,20 m y su estado de ánimo es de 6 puntos.
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOSREGLA DE TRES
DEFINICIÓN
La regla de tres es un procedimiento aritmético que permite calcular algún valor desconocido luego de comparar varias magnitudes.
De acuerdo al número de magnitudes que intervienen en una regla de tres, esta puede ser:
REGLA DE TRES SIMPLE
Si en la comparación intervienen solo dos magnitudes, a su vez puede ser:
a) Directa
Si las magnitudes comparadas son directamente proporcionales.
Magnitud (I) a 1 a (^2)
Magnitud (II) b 1 x
D.P.
Luego:
b
a x
a 1
(^1) = 2 & x. a
b a 1
=^1
b) Inversa
Si las magnitudes que intervienen en el problema son inversamente proporcionales.
Magnitud (I) a 1 a (^2)
Magnitud (II) b 1 x
I.P.
Luego:
a 1. b 1 = a 2 .x & x. a
b a 2
=^1
REGLA DE TRES COMPUESTA
Cuando intervienen más de dos magnitudes.
Ejemplo:
Tratemos de resolver el siguiente problema:
Para construir 600 m de acera, 12 obreros tardaron 10 días. ¿Cuánto tardarán 18 obreros para construir 1800 m?
Ordenando las magnitudes y valores tendremos:
obra obreros tiempo 600 m 12 obreros 10 días 1800 m 18 obreros x
Como podemos observar, en la magnitud tiempo aparece la incognita x.
Comparamos entonces la magnitud tiempo con cada una de las dos magnitudes:
- Tiempo y obra son directamente proporcionales pues al multiplicar la obra habrá que multiplicar también el nú- mero de días.
- Tiempo y número de obreros son inversamente proporcionales pues al multiplicar el número de obreros, el nú- mero de días quedará dividido.
En el esquema:
Obra Obreros Tiempo 600 m 12 ob. 10 días 1800 m 18 ob. x
D.P. I.P.
Para calcular el valor de la incógnita procedemos de la siguiente forma:
x 10.. 20 600
Es decir, los obreros tardarán 20 días.
- Si un tren recorre 319 km en 9 h 40 min, ¿cuán- to tardará en recorrer 231 km?
- ¿Cuántos hombres harían en 19 días un traba- jo que 209 hombres pueden hacer en 10 días?
- Si 8 hombres necesitan 75 días para acabar un trabajo, ¿cuántos hombres podrían hacerlo en 40 días?
- ¿Cuánto tiempo necesitarán 12 hombres para hacer un trabajo que 8 hombres pueden hacer en 9 días?
- 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 días. En ese momento, abandonan el traba- jo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán en termi- nar el trabajo los obreros que quedan?
- Un barco tiene víveres para 78 tripulantes du- rante 22 días, pero solo viajan 66 personas. ¿Cuántos días durarán los víveres?
- Se realiza una excursión al desierto y se ins- criben 500 personas, las cuales llevan víveres para 72 días. ¿Cuántas personas no podrán
Efectuar:
viajar si se desea que la excursión dure 18 días más y se consuma la misma cantidad de raciones?
- 15 peones hacen un trabajo en 20 días. Si aumentáramos al grupo anterior 10 peones, ¿en cuántos días harían el mismo trabajo?
- 12 máquinas pueden producir 35 000 lapice- ros en 21 horas. ¿Cuántos lapiceros podrán producir 24 máquinas en 18 horas?
- 6 obreros pueden cavar una zanja en 15 días. Sin embargo, 3 días después de inicia- do el trabajo ingresan 2 obreros más. ¿En cuántos días más se concluirá la obra?
- Una guarnición de 1600 hombres tiene ví- veres para 10 días, a razón de tres raciones diarias para cada hombre. Si se refuerza con 400 hombres, ¿cuántos días durarán los víveres, si cada hombre toma 2 raciones diarias?
- 20 operarios pueden producir 120 pares de za- patos en 18 días. ¿Cuántos operarios podrán producir 80 pares de zapatos en 24 días?
EvaluaciónEvaluación^ 123 Día:
Apellidos y nombres:
Año: Sección:
Mes: Año:
CA LIFICACIÓN
Tema:
- Para sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado, un peón cobra S/.300. ¿Cuánto cobrará por sembrar otro terreno cuadrado, pero de 12 m de lado?
A) S/.108 B) S/.180 C) S/.
D) S/.144 E) S/.
- 10 campesinos siembran un terreno cuadrado de 15 metros de lado en 12 días. ¿En cuántos días 30 campesinos sembrarán otro terreno cuadrado de 20 metros de lado?
A) 7 días B) 7 3
(^1) días C) 8 días
D) 9 días E) 7 9
(^1) días
- Un obrero demora 8 horas para construir un cubo compacto de 4 cm de arista. Después de 100 horas de trabajo, ¿qué volumen habrá hecho?
A) 600 cm 3 B) 800 cm 3 C) 1000 cm 3 D) 400 cm 3 E) 680 cm 3
- Sabiendo que la eficiencia de A es de 75%, que la eficiencia de B es de 60% y además B puede hacer una obra en 18 días. ¿En cuántos días podrán hacer juntos la obra?
A) 4 días B) 5 días C) 8 días D) 9 días E) 12 días
- Dieciocho caballos tienen ración para 15 días. Si se aumentan 9 caballos más, ¿para cuántos días alcanzará la ración anterior?
A) 6 días B) 9 días C) 12 días D) 10 días E) 11 días
- Para hacer 600 m de una obra, 30 obreros han trabajado 12 días a razón de 10 horas diarias. ¿Cuántos días de 6 horas necesitarán 36 obreros de igual rendimiento para hacer 900 m de la misma obra?
A) 25 días B) 24 días C) 20 días D) 30 días E) 50 días
- Un grupo de 21 obreros han hecho en 12 días de 8 h/d K 1 metros de una carretera; otro grupo de 40 obreros, 20% más eficientes que los anteriores, han hecho K 2 metros de la misma carretera en 7 días trabajando 10 h/d. Hallar K 1 /K 2
A)
1 B)
3 C)
D)
4 E)
- Seis obreros terminan un trabajo en 24 días. Después de 8 días de trabajo se juntan dos obreros más. ¿En cuánto tiempo terminarán lo que falta de la obra?
A) 6 días B) 9 días C) 12 días D) 10 días E) 11 días
- Una tripulación de 45 hombres tienen víveres para un viaje de 60 días. Si se desea aumentar la tripulación en 5 hombres, ¿en cuántos días se debe acortar la duración del viaje?
A) 4 dias B) 5 dias C) 6 dias D) 7 dias E) Más de 7 dias
- Doce obreros pueden hacer una obra en 28 días. Si 8 de estos obreros son reemplazados por 8 que rinden 60% más, ¿en cuánto tiempo se hará la misma obra?
A) 20 días B) 14 días C) 15 días D) 17 días E) 16 días
- Un conductor eléctrico de 120 metros de longitud ofrece una resistencia de 0,4 W. ¿Qué resistencia ofrecerá un conductor eléctrico de la misma bobina pero de 600 metros de longitud?
A) 3 W B) 2 W C) 4 W D) 5 W E) 0,1 W
- Una obra debía terminarse en 30 días empleando 20 obreros, trabajando 8 horas diarias. Después de 12 días de trabajo, se pidió que la obra quedase terminada 6 días antes de aquel plazo y así se hizo. ¿Cuántos obreros se aumentaron teniendo presente que se aumentó también en dos horas el trabajo diario?
A) 5 B) 3 C) 2 D) 6 E) 4
- Un grupo de costureras dicen que pueden terminar de coser los uniformes que les pidieron en 3 días. Si contratan a 3 costureras adicionales lo harían en 2 días. Si todo el trabajo se lo dieran a una costurera, ¿cuánto tardaría?
A) 18 días B) 16 días C) 14 días D) 20 días E) 12 días
- Se disuelven 240 g de azúcar en 5 L de agua. ¿Cuántos litros de agua deben añadirse para que un litro de agua de la nueva mezcla tenga 8 g de azúcar?
A) 20 L B) 30 L C) 22 L D) 25 L E) 28 L
- Si 3 hombres hacen una obra en 12 días, ¿cuántos hombres más habrá que contratar para hacer la obra en 4 días?
A) 9 B) 7 C) 8 D) 5 E) 6
- Un jardinero demora 5 días en sembrar un terreno cuadrado de 4 m de lado. ¿Cuánto se demorará en otro de 8 m de lado?
A) 20 días B) 16 días C) 30 días D) 18 días E) 14 días
- Un caballo amarrado con una cuerda de 8 metros de longitud emplea 24 días para comer la hierba que está a su alcance. ¿Cuántos días más podrá comer si es amarrado con una cuerda de 10 metros de longitud?
A) 10 días B) 11 días C) 11,5 días D) 12,5 días E) 13,5 días
- Un albañil pensó construir un muro en 15 días, pero tardó 5 días más, porque que trabajó 3 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó diariamente?
A) 12 h B) 10 h C) 9 h D) 8 h E) 15 h
- Se sabe que 30 carpinteros en 6 días pueden hacer 90 mesas o 150 sillas. Hallar x, sabiendo que 20 de estos carpinteros en 15 días han hecho 120 mesas y x sillas.
A) 50 B) 42 C) 48 D) 36 E) 30
- Una enfermera proporciona a un paciente una tableta cada 45 minutos. ¿Cuántas tabletas necesitará para 9 horas de turno si debe administrar una al inicio y al término del mismo?
A) 12 B) 10 C) 14 D) 13 E) 11
- Si una tubería de 12 cm de radio arroja 360 litros por minuto. ¿Qué tiempo se empleará para llenar un depósito de 192 m 3 con otra tubería de 16 cm de radio?
A) 400 min B) 360 min C) 300 min D) 948 min E) Más de 400 min
- Si en 80 litros de agua de mar existen 2 libras de sal, ¿cuánta por pura se debe aumentar a esos 80 litros para que en cada 10 litros de la mezcla exista 1/6 de libra de sal?
A) 20 L B) 35 L C) 40 L D) 60 L E) 50 L
- Una mecanógrafa escribe 125 páginas de 36 líneas a 11 palabras por línea, en 5 días. ¿Cuántas páginas escribirá en 6 días, si cada página es de 30 líneas y cada línea tiene 12 palabras?
A) 165 B) 145 C) 135 D) 155 E) 115
- Las máquinas M 1 y M 2 tienen la misma cuota de producción semanal, operando 30 horas y 35 horas, respectivamente. Si M 1 trabaja 18 horas y se malogra debiendo hacer M 2 el resto de la cuota, ¿cuántas horas adicionales debe trabajar M 2?
A) 12 h B) 14 h C) 16 h D) 18 h E) 20 h
- El rendimiento de dos hermanos es como 1 a 4. Si juntos hacen un trabajo en 80 días, ¿cuánto tiempo se demorará el más rápido en hacer solo el trabajo?
A) 64 días B) 144 días C) 100 días D) 96 días E) 120 días
- Para forrar un cubo de 1 m de lado se gastó $100. ¿Cuánto se gastará para forrar un cubo de 1,5 m de lado?
A) $225 B) $150 C) $ D) $250 E) $
- 20 hombres trabajando 9 horas diarias pueden hacer una obra en 15 días; 18 hombres trabajando, en cuántas horas diarias pueden hacer la obra en 25 días. A) 10 h/d B) 7 h/d C) 6 h/d D) 16 h/d E) 4 h/d
- Si por pintar un cubo de 5 cm de arista se pagó S/. 3600 ¿Cuánto se pagará por un cubo de 15 cm de arista?
A) S/. 32 400 B) S/. 24 000 C) S/. 15 400
D) S/. 1800 E) S/. 36 000
- Juan es el doble de rápido que Héctor. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 18 días, ¿en cuántos días hará el trabajo Héctor trabajando solo? A) 27 días B) 54 días C) 18 días D) 25 días E) 36 días
- Si 15 obreros tardan 10 días en hacer una obra, ¿cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 25 días? A) 6 B) 8 C) 10 D) 4 E) 15
- Si 6 leñadores pueden talar 8 árboles en 8 días, ¿en cuántos días talarán 16 leñadores 16 árboles si estos últimos son 1/4 menos eficientes que los anteriores? A) 10 días B) 8 días C) 9 días D) 12 días E) 16 días
a) Aumento único (A.U.)
Dos aumentos sucesivos del a 1 % y a 2 % equivalen a un aumento único de:
A U.. a a a^.^ a % (^1 2 )
= ; + +^1 2 E
Ejemplo: dos aumentos sucesivos del 25% y 40% equivalen a un aumento único de:
A U.. 25 40 % 100
= + + 25 #^40 = 75
Descuentos sucesivos
Se entiende por descuentos sucesivos a aquellos descuentos que se van efectuando uno a continuación de otro, considerando como el nuevo 100% a la cantidad que va quedando.
Ejemplo:
Si al precio de una grabadora que cuesta 300 dólares se le hacen dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, ¿cuál será su nuevo precio?
Precio inicial: 300
20% de 300 = 0 100
Nuevo precio: 300 - 60 = 240
- 2.° descuento: 10% de 240 = 2 100
Nuevo precio: 240 - 24 = 216
a) Descuento único (D.U.) Dos descuentos sucesivos del d 1 % y d 2 % equivalen a un único des cuento de:
D U d d % d d (^1 2 )
= ; + -^1 2 E
Ejemplo: una tienda comercial anuncia descuentos sucesivos del 20% y 20%, en todas las conservas y bebidas. ¿A qué descuento único equivalen?
D U.. 20 20 20 20 36%
-^
Efectuar:
- ¿Qué tanto por ciento de 1950 es 56?
- La diferencia entre el 60% y el 45% de un número es 63. Hallar el número.
- Carlos tiene S/.126 y su dinero excede al de César en el 5% de este, ¿cuánto tiene César? 4. ¿A cómo hay que vender lo que ha costado S/.340, para ganar el 15% de la venta? 5. Si de 60 alumnos que se presentan a un concurso de Matemática aprueban el examen 48. ¿Qué porcentaje desaprueban el examen?
Nota PV = PC + g PV = PC - P PL = PV + d g (^) neta = gbruta - gastos
donde: PV : precio de venta P (^) C : precio de compra P (^) L : precio de lista g : ganancia p : pérdida d : descuento
- Se gana el 60% del precio de costo de un artículo. ¿A qué porcentaje del precio de venta equivale la ganancia? Resolución: g = 60% P (^) C
Se sabe que: PV = PC + g PV = PC + 60% PC PV = 160% P (^) C &^ PC = P 160
v Reemplazando: g 60% P 37,5% 160
= $ V= Pv
- ¿Qué tanto por ciento se pierde cuando se vende a S/.13, lo que había costado S/.65? Resolución: Del problema se entiende que la pérdida fue de S/. Luego: 65 $ 100% 52 $ x
x =.^ 80% 65
- Hallar el 9 por 10 del 4 por 50 del 8 por 150 del 25 por 36 de 90 000. Resolución:
- En un salón A hay 40 alumnos y en otro salón B hay 20 alumnos. ¿Cuántos alumnos deben pasarse de A a B para que los alumnos de A sean el 33 1/3% de los alumnos de B? Resolución: Salón A: 40 alumnos Salón B: 20 alumnos
(40 - x) = 33 % 3
(^1) (20 + x)
40 - x = 3
(^100) % (20 + x)
40 - x =
- 3
(^100) (20 + x)
120 - 3x = 20 + x 100 = 4x 25 = x
- Elprecio de venta de un televisor es S/.800. Si la ganancia neta es S/.60; los gastos son el 20% de la ganancia bruta y al final se desea hacer una rebaja del 4% del precio de costo. Hallar el precio de lista de dicho televisor. Resolución: PV = S/. gneta = S/. Gastos = 20% ganancia (^) bruta gneta = gbruta - gastos 60 = g (^) bruta - 20% g (^) bruta 60 = 80% g (^) bruta S/.75 = gbruta Luego hallamos el precio de costo: & PV = PC + gbruta 800 = P (^) C + 75 S/.725 = PC Nos piden P (^) L : P (^) V = PL - Descuento 800 = PL - 4%(725) PL = S/.
- Si el 25% del 20% de un número es 60, hallar la mitad del número. Resolución: 25%. 20%. x = 60
x 100
$ 20 $ = 60 & x = 1200
Nos piden:
` x 600 2 2
- Un ambulante compra maletines a 18 nuevos soles. ¿A cómo tiene que venderlas para ganar el 20% de la venta? Resolución: PV = PC + ganancia P (^) V = PC + 20% Pv 80% P (^) V = PC 80% P (^) V = 18
` P V = S/.22,
