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En este documento se presenta la teoría básica de dominio y rango de funciones algebraicas, con énfasis en funciones racionales y iracionales. Se explican conceptos como asintotas verticales, horizontales y oblicuas, y se dan ejemplos de cómo encontrarlas para diferentes funciones. Además, se introduce la función a trozos o característica.
Tipo: Apuntes
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Con “n” entero positivo tiene como : Dominio 𝐷
𝑓
= ℝ o bien 𝑥 ∈ (−∞, ∞) y Rango:
𝑓
A continuación se presentan algunas gráficas que ejemplifican esto.
Obten la gráfica de las funciones
2
y 𝑓
4
Obten la gráfica de las funciones
3
y 𝑓(𝑥) = 𝑥
5
Función Racional
Esta función se expresa como el cociente de dos funciones polinomilales 𝑓
( 𝑥
con
Para hacer un correcto análisis de la función racional es importante encontrar las asóntotas que esta
función puede tener, así como sus puntos de intersección con los ejes si es que los hay.
Definición de Asíntota
Asíntota es un término con origen en un vocablo griego que hace referencia a algo que no tiene
coincidencia. El concepto se utiliza en el ámbito de la geometría para nombrar a una recta que, a medida
que se prolonga de manera indefinida, tiende a acercarse a una cierta curva o función, aunque sin alcanzar
a hallarla.
Esto quiere decir que, mientras la recta y la curva van extendiéndose, la distancia entre ambas tenderá
hacia el cero. De acuerdo a sus características, las asíntotas pueden clasificarse en horizontales (cuando la
recta es perpendicular al eje que corresponde a las ordenadas), verticales (la recta, en este caso, es
perpendicular al eje correspondiente a las abscisas) u oblicuas (no resultan perpendiculares ni paralelas a
ningún eje).
Si la distancia d entre una recta a una curva L y el punto móvil Q(x,y) de la función tiende a cero,
entonces la recta o curva recibe el nombre de asíntota
¿Cómo encontrar las asíntotas en una función racional?
Asíntotas verticales
Una función de la fomra 𝑓
( 𝑥
tiene asíntotas verticales en los valores de x que hacen que
= 0 pero no a 𝑃
Rango: {𝒚 ∈ ℝ|𝒚 ≠ 𝟎 } o bien ℝ − {𝟎} es decir, todos los números reales excepto el cero.
Tambien se podría escribir como 𝒚 ∈ (−∞, 𝟎) ∪ (𝟎, ∞)
Si se tabulan valores distintos a cero obtenemos:
Recordemos que debemos encontrar las asíntotas para poder realizar la gráfica.
Asíntota Vertical se encuentra en 𝒙 = 𝟎 ya que este es el valor que hace que nuestro denominador
obtenga un valor de cero, y no el numerador.
Asíntota Horizontal se encuentra en 𝒚 = 𝟎 ya que el grado del numerador es menor que el grado del
numerador.
Por lo cual nuestra gráfica queda de la siguente forma.
Ejemplo: Obtener la gráfica de la función 𝑦 =
, su dominio y su rango.
Dominio:
Para el dominio debemos recordar que para que una función racional este definida en los ℝ debe
cumplir que 𝑄
En este ejemplo fácilmente observamos que para que esto se cumpla analizamos el denominador y nos
queda entonces que 𝑥 + 2 ≠ 0 → 𝑥 ≠ − 2 por lo tanto:
Dominio:
o bien ℝ −
es decir, todos los números reales excepto el - 2.
Tambien se podría escribir como 𝒙 ∈ (−∞, −𝟐) ∪ (−𝟐, ∞)
Rango:
Para el rango despejamos la variable independiente x y obtenemos 𝑥 =
2 𝑦+ 3
2 −𝑦
al ser una función
racional se procede de la misma forma que como se obtuvo el domino.
En este ejemplo fácilmente observamos que para que esto se cumpla analizamos el denominador y nos
queda entonces que 2 − 𝑦 ≠ 0 → 𝑦 ≠ 2 por lo tanto:
Rango:
o bien ℝ −
es decir, todos los números reales excepto el 2.
Tambien se podría escribir comoy ∈ (−∞, 𝟐) ∪ (𝟐, ∞)
Recordemos que debemos encontrar las asíntotas para poder realizar la gráfica.
Asíntota Vertical se encuentra en 𝒙 = −𝟐 ya que este es el valor que hace que nuestro denominador
obtenga un valor de cero, y no el numerador.
Asíntota Horizontal se encuentra en 𝒚 = 𝟐 ya que el grado del numerador es menor que el grado del
numerador.
Se trazan las asintotas y se realiza una pequeña tabulación y por lo cual nuestra gráfica queda de la
siguente forma.
Procedimientos para despejar la variable
independiente:
Ejemplo: Obtener la gráfica de la función 𝑓
( 𝑥
) = √𝑥
− 𝑥 − 2 , su dominio y su rango.
Dominio:
Para el dominio debemos recordar que para que en una raíz cuadrada no debe haber números negativos,
por tal motivo utilizamos la siguiente desigualdad 𝑥
2
− 𝑥 − 2 ≥ 0 de donde obtenemos − 1 ≥ 𝑥 ≥ 2.
Entonces:
Dominio:
o bien 𝒙 ∈ (−∞, 𝟏
Rango:
Para el rango despejamos la variable independiente x
2
2
2
2
2
Se utiliza la fórmula general 𝑥 =
−𝑏±√𝑏
2
− 4 𝑎𝑐
2 𝑎
donde 𝒂 = 𝟏 , 𝒃 = −𝟏 , 𝒄 = −𝟐 − 𝒚
𝟐
2
2
2
Y obtenemos
2
Como dentro de la raíz hay una suma de cuadrados que 𝒚 ∈ ℝ pero como se está trabajando con el
concepto de función y es una raíz positiva el rango quedaría:
Rango: {𝒚 ∈ ℝ|𝒚 ≥ 𝟎 } o bien 𝒚 ∈ [𝟎, ∞) es decir, todos losvalores de y mayores o iguales a cero.
Al relizar una tabulación con los valores permintod en el dominio obtenemos la siguiete gráfica.
Función a trozos o característica
Esta función se expresa como 𝑓
( 𝑥
) = {
𝑓
( 𝑥
) 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏
𝑓
( 𝑥
) 𝑏 ≤ 𝑥 < 𝑐
𝑓
(𝑥) 𝑐 ≤ 𝑥 < 𝑑
son funciones que estan
seccionadas por intervalos y en cada intervalo se presenta una función distinta. Para gráficarla se tabula
cada función en su respectivo intervalo.
como 𝑓
( 𝑥
) = {
𝑥
− 1 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 < 2
3 𝑠𝑖 2 < 𝑥 < 4
3 𝑥 − 9 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4
1
2
0 - 1
1 0
2 3
2
2 3
3 3
4 3
3
4 3
5 6
6 9
7 12
8 15
Esta función tiene la foma 𝑓
= 𝑚𝑥 + 𝑏 y representa una recta en el plano cartesiano, en donde 𝑚 es
la pendiente y 𝑏 la ordenada al origen.
Dominio: 𝐷 𝑓
− 2 , 2 ) ∪ ( 2 , ∞) Rango: 𝑅
𝑓
Fuentes: Cálculo diferencial e integral. CONAMAT. Editorial: PEARSON, 2010
Rediseño y aportes: María Amalia Cortez de Obón
