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Unidad Didáctica.- Cálculo integral y sus aplicaciones
Tema 10.- La integral indefinida. Técnicas de integración
Tema 11.- Cálculo de integrales para algunos tipos de funciones
Tema 12.- Integral definida
Ángel Giménez Curso 2020/
Departamento de Estadística, Matemáticas e Informática Universidad Miguel Hernández de Elche
Curso: 2020-2021 Asignatura: Matemáticas Profesor: Ángel Giménez Pastor UMH Pág. 1
Tema 10.- La integral indefinida. Técnicas de integración
Ángel Giménez Curso 2020/
Departamento de Estadística, Matemáticas e Informática Universidad Miguel Hernández de Elche
Contenidos
La integral indefinida
Integrales inmediatas
Técnicas de integración
Integración por sustitución
Sustitución inversa
Integración por partes
Curso: 2020-2021 Asignatura: Matemáticas Profesor: Ángel Giménez Pastor UMH Pág. 3
La integral indefinida
Definición
Decimos que la función F (x) es una función primitiva de f (x) si
F ′(x) = f (x) ∀x ∈ Dom(f )
Ejemplo
F (x) = x
3 3
, F 1 (x) = x
3 3
− 5 y F 2 (x) = x
3 3
+ 2 son primitivas de f (x) = x^2.
Nota
- Si F (x) es una primitiva de f (x), también lo es F (x) + C, para cualquier constante C ∈ R.
- Más aún, el conjunto de todas las primitivas de f (x) son de esa forma, es decir, son suma de
una primitiva cualquiera F (x) y una constante C.
Ejercicios Básicos
1. Resolver las siguientes integrales:
(a)
x^5 dx (b)
∫ x 4
dx (c)
(x^2 + 2x − 1 x
) dx
(d)
∫ x 3 − x 2 + 1
x
dx (e)
x^2
dx (f)
x^5
dx
(g)
x
3 dx^ (h)
√ 4 x dx (i)
√^1
x dx
(j)
∫ x 2
√x dx (k)
√ (^3) x + 3√x
dx (l)
√ (^3) x(√x + 1) dx
(m)
ex^ +^1 x
dx (n)
x√x dx^ (o)
x + √^1 x
dx
(p)
e−x
1 + e
x x
dx (q)
5 x^ dx (r)
cos^2 x
dx
(s)
sin^2 x dx
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Técnicas de integración
Sustitución o cambio de variable
- Supongamos que queremos calcular una integral de la forma:
g(f (x))f ′(x) dx
- Realizamos el cambio de variable u = f (x), obteniendo du = f ′(x)dx.
- Entonces:
g(f (x))f ′(x) dx =
g(u) du
- Finalmente calculamos la integral y deshacemos el cambio.
Ejemplos sencillos de cambio de variable
sin(ax) dx = − (^) a^1 cos(ax) + C
cos(ax) dx =^1 a sin(ax) + C
eax^ dx =^1 a eax^ + C
bax^ dx = 1 a ln b
bax^ + C
cos^2 (ax) dx^ =
a tan(ax) +^ C
sin^2 (ax) dx^ =^ −^
a cot(ax) +^ C
a^2 − x^2
dx = arcsin xa + C
a^2 + x^2 dx^ =
a arctan^
x a +^ C
Nota: En la práctica conviene memorizar también estas integrales.
Técnicas de integración
Ejemplos de cambio de variable
(x^3 + 5x + 10)^10 (3x^2 + 5) dx = 1 11
(x^3 + 5x + 10)^11 + C
∫ x
x^2 + 1
dx =^1 2
ln(x^2 + 1) + C
∫ 3 x 2
x^3 + 7
dx = ln |x^3 + 7| + C
∫ e√x
2 √x
dx = e
√x
2 x sin(x^2 − 1) dx = − cos(x^2 − 1) + C
x^3 ex
4 dx =^14 ex
4
x ln x dx^ = 5 ln^ |^ ln^ x|^ +^ C
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Ejercicios Básicos
2. Resolver las siguientes integrales:
(a)
(3x^2 − 2 x)^3 (3x − 1) dx (b)
3 x + 2
dx
(c)
3 − x dx^ (d)
∫ x
2 + x^2 dx
(e)
(x + 1)^3 dx^ (f)
x^2 1 + x^3 dx
(g)
∫ (x − 3)
x^2 − 6 x + 1
dx (h)
ex
2 + ex^ dx
(i)
∫ ln x
x
dx (j)
tan x dx
(k)
2 x cos(x^2 + 1) dx (l)
∫ x 2
1 − (x^3 − 1)^2
dx
(m)
e^2 x^ − 1
dx
Técnicas de integración
Ejemplos de integración por partes
Para calcular la integral
xex^ dx, aplicamos el método de integración por partes:
xex^ dx =
u = x −→ du = 1dx dv = exdx −→ v = ex
∥ =^ xe
x (^) −
ex^ dx = xex^ − ex^ + C
Es decir, ∫
x ex^ dx = x ex−
ex^1 dx = xex^ − ex ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ u dv u v v du
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Técnicas de integración
Algunos tipos de integrales que se resuelven mediante integración por partes
- Integrales del tipo ∫^ P (x)ekx^ dx , siendo P (x) un polinomio. Aplicar integración por partes considerando
u = P(x) y dv = ekxdx
- Integrales del tipo ∫^ P (x) sin(kx) dx o ∫^ P (x) cos(kx) dx , siendo P (x) un polinomio. Aplicar integración por partes considerando
u = P(x) y dv =
sin(kx) o cos(kx)
dx
- Integrales del tipo ∫^ P (x) ln(kx) dx , siendo P (x) un polinomio. Aplicar integración por partes considerando
u = ln(kx) y dv = P(x)dx
Ejercicios Básicos
Regla ALPES (orientativa)
A Funciones arco: arcotangente, arcoseno, arcocoseno
L Función logarítmica.
P Funciones potenciales (exponente numérico).
E Funciones exponenciales.
S Funciones seno y coseno.
3. Resolver las siguientes integrales mediante integración por partes.
(a)
xex^ dx (b)
xe−x^ dx (c)
3 xe^4 x^ dx
(d)
(1 + x^2 )e−x^ dx (e)
ln x dx (f)
x ln x dx
(g)
x sin x dx (h)
x cos x dx (i)
x^2 ex^ dx
(j)
x^2 ln(2x) dx (k)
arctan x dx (l)
cos x · e^2 x^ dx
(m)
x^3 ex
2 dx
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Tema 11.- Cálculo de integrales para algunos tipos de funciones
Ángel Giménez Curso 2020/ Departamento de Estadística, Matemáticas e Informática Universidad Miguel Hernández de Elche
Cálculo de algunos tipos de integrales
Ejemplo
Calcular la integral ∫
x^3 + 3x^2 x^2 + 1
dx.
Solución.- El numerador tiene grado 3 y el denominador grado 2 , así que podemos dividir y
obtenemos:
x^3 + 3x^2 = (x^2 + 1)(x + 3) − (x + 3) ⇒ x
(^3) + 3x 2 x^2 + 1
= x + 3 − x^ + 3 x^2 + 1
Así, tomando integrales obtenemos:
x^3 + 3x^2 x^2 + 1
dx =
(x + 3) dx −
x x^2 + 1
dx − 3
dx x^2 + 1 =^1 2
x^2 + 3x − 1 2
ln(x^2 + 1) − 3 arctan x + C
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Cálculo de algunos tipos de integrales
Caso 2: grado (P (x)) < grado (Q(x)) = 2 Se iguala el polinomio del denominador, Q(x), a cero y se obtienen sus raíces.
- Tipo I: Supongamos que Q(x) = (x − a 1 )(x − a 2 ) con a 1 6 = a 2 raíces reales. Entonces: ∫ (^) P (x) Q(x) dx^ =
∫ (^) A x − a 1 dx^ +
∫ (^) B x − a 2 dx
- Tipo II: Supongamos que Q(x) = (x − a)^2 , con a ∈ R. Entonces: ∫ (^) P (x) Q(x) dx^ =
∫ (^) A x − a dx^ +
∫ (^) B (x − a)^2 dx
- Tipo III: El polinomio del denominador no factoriza , es decir, no tiene raíces reales.
- P(x)=cte y Grado(Q(x))=2: En este caso la integral se puede escribir de la forma: ∫ (^) B (x − a)^2 + b^2 dx^ =^
B b arctan
( (^) x − a b
)
- Grado(P(x))=1 y Grado(Q(x))=2: En este caso la integral se puede escribir de la forma: ∫ (^) M x + N (x − a)^2 + b^2 dx^ =^ logaritmo neperiano^ +^ arcotangente
Ejercicios Básicos
4. Calcular las siguientes integrales racionales:
(a)
∫ dx
x^2 − 9
(b)
∫ 5 x + 4
x^2 − 2 x − 8 dx
(c)
∫ 2 x + 1
x^2 − 2 x + 1
dx
(d)
2 + (x − 1)^2
dx
(e)
x^2 − x + 1 dx
(f)
3 x + 1 x^2 − x + 1 dx
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Cálculo de algunos tipos de integrales
Fórmulas trigonométricas fundamentales Sean a y x números reales cualesquiera.
- Identidades pitagóricas sin^2 (ax) + cos^2 (ax) = 1 (1) 1 + tan^2 (ax) = sec^2 (ax) (2) 1 + cot^2 (ax) = csc^2 (ax) (3)
- Ángulo doble sin(2ax) = 2 sin(ax) cos(ax) (4) cos(2ax) = cos^2 (ax) − sin^2 (ax) (5)
- Fórmulas de reducción de grado sin^2 (ax) =^1 −^ cos(2 2 ax) (6)
cos^2 (ax) = 1 + cos(2 2 ax) (7)
Ejercicios Básicos
5. Calcular las siguientes integrales trigonométricas:
(a)
sin^2 x dx (b)
cos^2 x dx
(c)
sin^3 (x) dt (d)
cos^4 (
x 2 )^ dx
(e)
cos^5 (x) dx (f)
sin^2 (8x) dx
(g)
sin^2 x cos x dx (h)
sin^4 (3x) dx
(i)
sin^2 (9x) cos(9x) dx (j)
cos^5 (−x) sin(−x) dx
(k)
sin x cos 5x dx (l)
cos^1 2
x cos^3 2
x dx
6. Calcular la integral
∫ sin 2 x
cos^4 x
dx realizando la sustitución u = tan x.
7. Calcular la integral
1 − x^2 dx realizando la sustitución inversa x = sin t.
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Tema 12.- Integral definida
Ángel Giménez Curso 2020/ Departamento de Estadística, Matemáticas e Informática Universidad Miguel Hernández de Elche
Contenidos
La integral definida
Sumas de Riemann
La integral definida
Teorema fundamental del cálculo
Regla de Barrow
Propiedades de la integral definida
Técnicas de integración aplicadas a la integral definida
Aplicaciones de la integral definida
Valor medio de una función. Aplicaciones
Cálculo de áreas
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Sumas de Riemann
Problema
Durante una epidemia de una cierta
enfermedad contagiosa, la velocidad de
propagación de la enfermedad, es decir, la
variación del número de enfermos por
unidad de tiempo, viene dada por:
vp = f (t), donde t es el tiempo (medido en
semanas) y la función f tiene la
representación gráfica de la derecha.
- ¿Cuál será la velocidad de propagación media en los dos primeros meses?
- La velocidad de propagación media es: vpm = número total de enfermos acumulados
intervalo total de tiempo
- vpm =^252 ·^ 1 + 368^ ·^ 2 + 182^ ·^3 −^252 ·^2 8
=^1030
= 128, 75 enfermos/semana.
La integral definida
- Sea y = f (x) una función definida en un intervalo [a, b]. Dividimos el intervalo [a, b] en n
subintervalos mediante los puntos
a = x 0 < x 1 < x 2 < x 3 < · · · < xn− 1 < xn = b
Cada conjunto de puntos P = {x 0 , x 1 ,... , xn} se denomina una partición del intervalo
[a, b].
- Sea ∆xi = ∆xi = xi − xi− 1 , esto es, la longitud del i-ésimo subintervalo [xi− 1 , xi]. La
norma de P , denotada por ‖P ‖ se define como:
‖P ‖ = max(∆x 1 , ∆x 2 ,... , ∆xn).
- Seleccionemos un punto ci ∈ [xi− 1 , xi] para cada subintervalo de la partición, y sea
c = (c 1 , c 2 ,... , cn). Definimos la suma de Riemmann :
R(f, P, c) = ∆x 1 · f (c 1 ) + ∆x 2 · f (c 2 ) + · · · + ∆xn · f (cn)
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La integral definida
R(f, P, c) = ∆x 1 · f (c 1 ) + ∆x 2 · f (c 2 ) + · · · + ∆xn · f (cn)
= (Área con signo de los rectángulos de la figura)
Definición formal de integral definida
∫ b
a
f (x)dx = l´ım ‖P ‖→ 0
R(f, P, c) ¡Cuando existe!
Teorema fundamental del cálculo
Función área con signo
- Sea y = f (x) una función real continua definida en un intervalo [a, b].
- Definimos la función “área con signo” como: G(x) =
∫ x
a
f (t) dt
Teorema fundamental del cálculo
La función G(x) verifica:
- Es derivable en (a, b)
- Su derivada es:
G′(x) = f (x)
Esto es G(x) es una primitiva de la
función f (x).
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Regla de Barrow
- Puesto que G(x) es una primitiva de f (x), sabemos que G(x) = F (x) + C donde F (x) es
una primitiva cualquiera de la función f (x). En ese caso:
0 = G(a) = F (a) + C ⇒ C = −F (a) ⇒ G(x) = F (x) − F (a).
- Por tanto, la integral definida de f en el intervalo [a, b] vale:
∫ b
a
f (x) dx = G(b) = F (b) − F (a)
- La cantidad F (b) − F (a) la denotaremos por [F (x)]ba, y podemos escribir:
Regla de Barrow
∫ b
a
f (x) dx = [F (x)]ba
Técnicas de integración aplicadas a la integral definida
Fórmula de integración por partes para la integral definida
∫ b
a
u(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]ba −
∫ b
a
u′(x)v(x) dx.
Ejemplos
0
xex^ dx por partes:
u = x, du = dx, dv = exdx, v = ex,
0
xex^ dx =
[
xex
] 1
0
ex^ dx =
[
xex
] 1
0 −^
[
ex
] 1
0 =^ e^ −^ (e^ −^ 1) = 1.
1
x^2 ln x dx por partes:
u = ln x, du = (^1) x dx, dv = x^2 dx, v = 13 x^3 dx,
1
x^2 ln x dx =
[ 1
3 x
(^3) ln x
] 2
1
1
3 x
x dx^ =
[
x^3 ln x
] 2
1 −^
1
x^2 dx
3 ln 2^ −^
[
x^3
] 2
3 ln 2^ −^
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Técnicas de integración aplicadas a la integral definida
Fórmula de integración por sustitución para la integral definida
∫ b
a
g(f (x))f ′(x) dx =
∫ f (b)
f (a)
g(u) du.
Ejemplos
∫ e
1
ln x x
dx por sustitución: u = ln x, du = x^1 dx
∫ e
1
ln x x
dx =
∫ ln(e)
ln(1)
u du =
[
u^2 2
] 1
0
=^1
1
√^ x^2 x^3 − 1
e
√x (^3) − 1
dx por sustitución: u =
x^3 − 1 , du = 2 √^3 xx (^32) − 1 dx
1
x^2 √ x^3 − 1
e
x^3 − (^1) dx =^2 3
0
eu^ du =
[
eu
]√ 7
e
√ 7 − 1
Ejercicios Básicos
8. Calcular las siguientes integrales definidas:
(a)
0
x^3 dx (b)
1
(2x + x^2 ) dx
(c)
0
(t^3 − t^4 ) dt (d)
1
2 t^5 −
t^2
dt
(e)
2
t − 1
dt (f)
0
(x +
x + 4
x) dx
(g)
0
x^2 ex^ dx (h)
2
ln(x^2 − 1) dx
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Valor medio de una función. Aplicaciones
Definición
Sea y = f (x) una función definida en un intervalo [a, b]. Se define el valor medio de f sobre [a, b]
como:
f^ ¯ = 1 b − a
∫ b
a
f (x) dx.
Ejemplo
Las emisiones E de un cierto motor están dadas en función del tiempo t (en años) mediante la
expresión
E = f (t) = 2t^2 ,
donde E es la tasa de emisiones medida en millones de partículas contaminantes por año.
Encontrar la media de emisiones entre el primer y quinto año de vida del motor.
Solución.-
E^ ¯ =^1
1
2 t^2 dt =
[
t^3
] 5
3 millones de partículas.
