Universidad Nacional Experimental del Táchira
801 EJERCICIOS
RESUELTOS
DE
INTEGRAL
INDEFINIDA
ITALO G. CARLOS J.
CORTES A SANCHEZ C.
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Matematicas métodos de integración
Tipo: Ejercicios
2018/2019
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Universidad Nacional Experimental del Táchira
801 EJERCICIOS
RESUELTOS
DE
INTEGRAL
INDEFINIDA
ITALO G. CARLOS J.
CORTES A SANCHEZ C.
INDICE
A Patricia. / A Ana Zoraida.
A los que van quedando en el camino,
Compañeros de ayer,
De hoy y de siempre.
INTRODUCCION
El libro que os ofrecemos, no es un libro auto contenido, sino un instrumento
de complementación, para la práctica indispensable en el tópico relativo a las
integrales indefinidas. En este contexto, el buen uso que se haga del mismo
llevará a hacer una realidad, el sabio principio que unifica la teoría con la práctica.
El trabajo compartido de los autores de “801 ejercicios resueltos” es una
experiencia que esperamos sea positiva, en el espíritu universitario de la
activación de las contrapartes, en todo caso será el usuario quien de su veredicto
al respecto, ya sea por medio del consejo oportuno, la crítica constructiva o la
observación fraterna, por lo cual desde ya agradecemos todo comentario al
respecto.
Nos es grato hacer un reconocimiento a la cooperación prestada por los
estudiantes de UNET: Jhonny Bonilla y Omar Umaña.
ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE
e : Base de logaritmos neperianos.
A η : Logaritmo natural o neperiano.
A og : Logaritmo vulgar o de briggs.
s e n: Seno.
arcs e n: Arco seno.
cos : Coseno.
arc cos :^ Arco coseno.
arc co s: Arco coseno.
τ g : Tangente.
arc tg : Arco tangente.
co τ g Cotangente.
arc co tg (^) Arco cotangente.
sec : Secante.
arcsec : Arco secante.
cos ec : Cosecante.
arcsec : Arco cosecante.
exp : Exponencial.
dx : Diferencial de x.
x : Valor absoluto de x.
m.c.m: Mínimo común múltiplo.
IDENTIFICACIONES USUALES
s n (s n )
n n e x = e x
1 s e n x arcs e n x
−
n n A η x = Aη x ( )
n n A og x = A ogx
A ogx =A og x
IDENTIDADES ALGEBRAICAS
- Sean a, b: bases; m, n números naturales. m n m n a a a
= ( )
m n mn a = a
m m n n
a a a a
− = ≠
n n n ab = a b
n (^) n
n
a a b b b
⎜ ⎟ =^ ≠
( )
m m n n^ m^ n a = a = a
n^1 n
a a
−
0 a = 1, a ≠ 0
- Sean a, b ,c: bases; m, n números naturales
( )
(^2 2 ) a ± b = a + 2 ab + b ( )
(^3 3 2 2 ) a ± b = a ± 3 a b + 3 ab + b
( )
(^4 4 3 2 2 3 ) a ± b = a ± 4 a b + 6 a b ± 4 ab + b
2 2 a − b = ( a + b )( a − b )
2 2 ( )( )
n n n n n n a − b = a + b a − b
3 3 2 2 a ± b = ( a ± b )( a ∓ ab ± b )
2 2 2 2 ( a + b + c ) = a + b + c + 2( ab + ac + bc )
- Sean b, n, x, y, z: números naturales
A og xyz ( ) = A og x (^) b + A og y (^) b +A og z (^) b b^ b^ b
x og og x og y y
⎜ ⎟=^ −
A A A
n A og x (^) b = n og x A (^) b n^1 og (^) b x og xb n
A = A
A og (^) b 1 = 0 A og bb = 1
A η e = 1 A η exp x = x = x
x A η e = x
x e x
η
A
exp( A η x ) = x
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
s n cos
e ec θ
cos s ec
θ θ
s n
cos
e g
θ τ θ
θ
co
g g
τ θ τ θ
2 2 s e n θ + cos θ= 1
2 2 1 + τ g θ =sec θ
2 2 1+ co g τ θ= cos ec θ cos^ θ^ cos^ ec θ^^ =coτ^ g θ
cos θτ g θ =s e nθ
(a)
s e n( α + β) = s e n α cos β + cos α s e nβ s e n 2 α =2s e n α cosα
1 cos s n 2 2
e
α − α = ±
2 1 cos 2 s n 2
e
α α
s e n( α − β) = s e n α cos β −cos α s e nβ
FORMULAS FUNDAMENTALES
Diferenciales Integrales
du du dx u
1.- du = u + c ∫
2.- d au ( )= adu 2.- adu = a du ∫ ∫
3.- d u ( + v ) = du + dv 3.- ( du + dv ) = du + dv ∫ ∫ ∫
1 ( )
n n d u nu du
−
4.-
1
( 1) 1
n n u u du c n n
= + ≠ −
∫
du d u u
A η = 5.-
du u c u
= η + ∫
A
u u d e = e du 6.-
u u e du = e + c ∫
u u d a = a A η adu 7.-
u u a a du c η a
∫ A
8.- d (s e n u ) = cos udu 8.- cos udu = s e n u + c ∫
9.- d (cos u ) = − s e n udu 9.- s e n udu = − cos u + c ∫
2 d ( τ gu ) = sec udu 10.-
2 sec udu = τ gu + c ∫
2 d (co τ gu ) = − cosec udu 11.-
2 cosec udu = − co τ gu + c ∫
12.- d (sec u ) = sec u gudu τ 12.- sec u gudu τ = sec u + c ∫
13.- d (co sec u ) = − co sec u co τ gudu 13.- co sec u co τ gudu = − co sec u + c ∫
2
(arcs n )
1
du d e u
u
2
arcs n
1
du e u c
u
∫
2
(arc cos )
1
du d u
u
2
arc cos
1
du u c
u
∫
2
(arc ) 1
du d gu u
τ =
2
arc 1
du gu c u
= τ +
∫
2
(arc co ) 1
du d gu u
τ
2
arc co 1
du gu c u
= − τ +
∫
2
(arc sec )
1
du d u
u u
2
arcsec ; 0
1 arc sec^ ;^0
du^ u^ c u
u u u^ c u
⎧^ +^ >
− ⎩−^ +^ <
∫
2
(arc co sec )
1
du d u
u u
2
arc co sec ; 0
1 arc co sec^ ;^0
du^ u^ c u
u u u^ c u
− ⎧^ −^ +^ >
− ⎩ +^ <
∫
OTRAS INTEGRALES INMEDIATAS
sec
cos
u c gudu u c
η τ η
⎪−^ +
∫
A
A
2.- co τ gudu = ηs e n u + c ∫
A
sec
sec
u gu c
udu (^) u gu c
η τ
π η τ
⎩ ⎝^ ⎠
∫
A
A
4.- co sec udu = ηco sec u − coτ gu + c ∫
A
5.- s e n hudu = cos u + c ∫
= 6.- cos udu = s e n hu + c ∫
7.- τ ghudu = ηcos u + c ∫
A = 8.- co τ ghudu = ηs e n u + c ∫
A =
9.- sec hudu = arc τ gh (s e n hu )+ c ∫
10.- co sec hudu = − arc co τ gh (cos hu )+ c ∫
2 2
arcs n
arcs n
u e c du (^) a
a u u e c a
∫
2 2
2 2
du u u a c
u a
= η + ± +
±
∫
A
2 2
arc
arc co
u g c du (^) a a
u a u g c a a
τ
τ
∫
2 2
du u a c u a a u a
η
∫
A
2 2 2 2
du 1 u c
u a u a a a u
= η +
± + ±
∫
A 16.-
2 2
arc cos
arc sec
u c du (^) a a
u u a u c a a
∫
2 2 2 2 2 2 2
2 2
u a u ± a du = u ± a ± A η u + u ± a + c
2 2 2 2 2 arcs n 2 2
u a u a u du a u e c a
∫
2 2
( s n cos ) s n
au au e^ a^ e^ bu^ b^ bu e e budu c a b
∫
2 2
( cos s n ) cos
au au e^ a^ bu^ b^ e^ bu e budu c a b
∫
Realmente, algunas de estas integrales no son estrictamente inmediatas; tal como
se verá mas adelante y donde se desarrollan varias de ellas.
Respuesta:
4 3 2 ( ) ( )( ) 4 3 2
x a b x abx x x a x b dx c
∫
1.5.- Encontrar:
3 2 ( a + bx ) dx ∫
Solución.-
3 2 2 3 2 6 2 3 2 6 ( a + bx ) dx = ( a + 2 abx + b x ) dx = a dx + 2 abx dx + b x dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 3 2 6 a dx + 2 ab x dx + b x dx ∫ ∫ ∫
4 7 2 2 2 4 7
x x a x + ab + b + c
Respuesta:
3 2 ( a + bx ) dx ∫
4 2 7 2
abx b x a x + + + c
1.6.- Encontrar: 2 pxdx ∫
Solución.-
1 2 2 3 1 2
1 2
x px pxdx = px dx = p x dx = p + c = + c ∫ ∫ ∫
Respuesta:
px x pxdx = + c ∫
1.7.-Encontrar: n
dx
x
∫
Solución.-
1 1 1 1 1
n n n n n n n
dx x x nx x dx c c c x n^ n
n n
− − + − +
− = = + = + = + − − + (^) −
∫ ∫
Respuesta:
1
n n
n
dx nx c x n
− +
∫
1.8.- Encontrar:
1
( )
n n nx dx
−
∫
Solución.-
1 1 1 1 1 1 1 1 ( )
n n n n n n n n n n n n n nx dx n x dx n x dx n x dx
− − − − − − − = = = ∫ ∫ ∫ ∫
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
n n (^) n n
n (^) n n (^) n n n n n n n n n n n
n n
x x n c n c n nx c n x c n x c n x c
− + − − − − − +
− +
Respuesta:
1
( )
n n n nx dx nx c
−
= + ∫
1.9.- Encontrar:
(^2 3 23 ) ( a − x ) dx ∫
Solución.-
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 3
3 2 2 3 3 ( a x ) dx a 3 a x 3 a x x dx
∫ ∫⎢⎣ ⎥⎦
4 2 2 4 3 3 3 3
4 2 2 4 2 3 3 3 3 2 2 2 = ( a − 3 a x + 3 a x − x ) dx = a dx − 3 a x dx + 3 a x dx − x dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
(^5 3 ) 4 2 2 4 4 2 3 3 3 3 3 3
3 2 2 2 3 3 3 3 (^5 7 ) 3 3
x x x = a dx − a x dx + a x dx − x dx = a x − a + a − + c ∫ ∫ ∫ ∫
4 5 2 7 3 3 3 3 3 2 9 9
5 7 3
a x a x x = a x − + − + c
Respuesta:
(^4 3 5 3 23 73 ) (^2 2 3 ) 3 3
a x a x x a − x dx = a x − + − + c ∫
1.10.- Encontrar: ( x +1)( x − x +1) dx ∫
Solución.-
2 ( x + 1)( x − x + 1) dx = ( x x −( x ) ∫
- x + x − x +1) dx
5 5 1 3 3 2 2 2 2 2
x x = x x + dx = xx + dx = x + dx = x dx + dx = + x + c = + x + c ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Respuesta:
5 2 2 ( 1)( 1) 5
x x + x − x + dx = + x + c ∫
1.11.- Encontrar:
2 2
3 2
( x 1)( x 2) dx
x
∫
Solución.-
2 2 2 2 3 3 3 3
2 2 4 2 4 2
3 2
( x 1)( x 2) dx ( x x 2) dx x x 2 dx dx dx
x x^ x^ x^ x
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
13 7 1 10 4 2 3 3 3 3 3 3
10 4 2 1 1 1 3 3 3
10 4 2 13 7 1 (^1 1 1 ) 3 3 3 3 3
x x x x x x x dx x dx x dx c
−
− −
∫ ∫ ∫
13 7 (^3 3 ) 3
3 13 3 7 4 3 23 3 3 3 3 6 3 3 6 3 3 6 13 7 13 7 13 7
x x x x x x x x = − − x + c = − − x + c = − − x + c
Respuesta:
2 2 4 2 3
3 2
x x dx x x x c
x
∫
1.12.- Encontrar:
2 ( )
m n x x dx x
∫
Solución.-
2 2 2 2 2
1/ 2
m n m m n n m m n n x x x x x x x x x x dx dx dx x x x
∫ ∫ ∫
2 1/ 2 1 1/ 2 2 1/ 2 2 1/ 2 1/ 2 2 1/ 2 2 ( 2 ) 2 1/ 2 1 1/ 2 2 1/ 2
m m n n m m n n x^ x^ x x x x dx c m m n n
− + + + + − + − − = − + = − + + − + + + +
∫
4 1 2 2 1 4 1 4 1 2 2 1 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2
(^4 1 2 2 1 4 1 4 1 2 2 1 4 )
m m n n m m n n
x x x x x x c c m m n n (^) m m n n
arc arc 7 7 7
x x g c g c a
τ + = τ +
Respuesta: 2
arc 7 7
dx x g c x a
= τ +
∫
1.16.- Encontrar: 2 4
dx
- x
∫
Solución.-
Sea: a = 2 , Luego:
2 2
2 2 2 4
dx dx x a x c
x a x
= = η + + +
∫ ∫
A
2 = A η x + 4 + x + c
Respuesta:
2
2
dx x x c
x
= η + + +
∫
A
1.17.- Encontrar: 2 8
dx
− x
∫
Solución.-
Sea: a = 8 , Luego: 2 2 2
arcs n
8
dx dx x e c
x a x a
∫ ∫
arcs n arcs n 8 2 2
x x = e + c = e + c
Respuesta: 2
arcs n
8 4
dx x e c
x
∫
1.18.- Encontrar: 2 9
dy
x +
∫
Solución.-
La expresión: 2
x + 9
actúa como constante, luego:
2 2 2 2
dy y dy y c c x x x x
∫ ∫
Respuesta: 2 2 9 9
dy y c x x
∫
1.19.- Encontrar:
2 2
4
x x dx
x
∫
Solución.-
2 2 2 2
4 4 4
x x x x dx dx dx
x x^ x
− −^ −
∫ ∫ ∫
2 2 + x = 2 2 (2 − x ) (2 + x )
2 2 x dx
∫ (^2) (2 − x )
2 2 2 (2 ) 2 2
dx dx dx
x x x
∫ ∫ ∫
Sea: a = 2 , Luego:
2 2
2 2 2 2
arcs n
dx dx x e x a x c
a x a x a
− = − η + + +
− +
∫ ∫
A
2 2 2 arcs n ( 2) arcs n 2 2 2
x x = e − A η x + + x + c = e − Aη x + + x + c
Respuesta:
2 2 2
4
arcs n 2
4 2
x x x dx e x x c
x
η
∫
A
1.20.- Encontrar:
2 τ g xdx ∫
Solución.-
2 2 2 τ g xdx = (sec x − 1) dx = sec xdx − dx = τ gx − x + c ∫ ∫ ∫ ∫
Respuesta:
2 τ g xdx = τ gx − x + c ∫
1.21.- Encontrar:
2 co τ g xdx ∫
Solución.-
2 2 2 co τ g xdx = (cos ec x − 1) dx = cos ec xdx − dx = − coτ gx − x + c ∫ ∫ ∫ ∫
Respuesta:
2 co τ g xdx = − coτ gx − x + c ∫
1.22.- Encontrar: (^) 2
2 4
dx
x +
∫
Solución.-
2 2 4
dx
x +
∫
2 2
arc 2( 2) (^2 2 2 2 )
dx dx x g c x x
= = τ +
∫ ∫
arc 4 2
x = τ g + c
Respuesta: 2
arc 2 4 4 2
dx x g c x
= τ +
∫
1.23.- Encontrar: 2 7 8
dx
x −
∫
Solución.-
(^2 2 8 2 2 ) 2 7 7
7( ) 7 (^ (^ )^ (^ )
dx dx dx dx
x (^) x x x
∫ ∫ ∫ ∫
8 8 7 7
8 8 8 7 7 7
x x (^) x c c c
x x x
η η η
A A A
x x c c x x
η η
A A
Respuesta: 2
dx x c x (^) x
η
∫
A
1.24.- Encontrar:
2
2 3
x dx
x +
∫
1.28.- Encontrar:
2 s n 2
x e dx ∫
Solución.-
2
1 cos 2
s n 2
x e dx
∫
x
1 cos 1 1 cos 2 2 2 2
x dx dx dx xdx
∫ ∫ ∫ ∫
x senx = − + c
Respuesta:
2 s n 2 2 2
x x senx e dx = − + c ∫
1.29.- Encontrar: 2
dx b a a b a b x
∫
Solución.-
Sea:
2 c = a + b ,
2 d = a − b ,; luego 2 2 2 2 ( ) ( )
dx dx
a b a b x c d x
∫ ∫
(^2 ) (^2 2 ) 2
dx 1 dx 1
c d c d d x (^) x d (^) d
⎜ +^ ⎟ +
⎝ ⎠ ⎝^ ⎠
∫ ∫
c
d
x 1 dx arctg c arctg c c (^) cd c d
2 2
1 a bx 1 a b arctg c arctg x c a b a b a b (^) a b a^ b
Respuesta: (^2 2 )
dx a b arctg x c a b a b x (^) a b a b
∫
1.30.-Encontrar: 2
dx b a a b a b x
∫
Solución.-
Sea:
2 c = a + b ,
2 d = a − b ,Luego: 2 2 2 2 ( ) ( )
dx dx
a b a b x c d x
∫ ∫
2 2 2 2 (^2 2 ) 2
dx 1 dx 1
c d c d d x (^) x d (^) d
⎜ −^ ⎟ −
⎝ ⎠ ⎝^ ⎠
∫ ∫
2 c
d
x c d dx^ c c c
x c^ cd^ dx^ c d
η η
A A
2 2
a bx a b c
a b a^ bx^ a^ b
η
− −^ +^ +
A
Respuesta: (^2 2 )
dx a bx a b c a b a b x (^) a b a bx a b
η
∫
A
1.31.- Encontrar: (^) ( )
2 0 1
x a dx
∫⎢⎣ ⎥⎦
Solución.-
( )
2 0 0 1 ( 1) (1 1) 0
x a dx a dx dx dx dx dx c
∫ (^) ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Respuesta: (^) ( )
2 0 1
x ⎡ (^) a − ⎤ dx = c ∫⎢⎣ ⎥⎦
EJERCICIOS PROPUESTOS
Mediante el uso del álgebra elemental, o algunas identidades trigonométricas,
transformar en integrales de fácil solución, las integrales que se presentan a
continuación.
5 3 x dx ∫
x
- e dx ∫
1.34.- (1 + τ gx dx ) ∫
2 cos (^2)
x dx ∫
3 (1 + x ) dx ∫
0 (1 + x ) dx ∫
2
3
x
x
dy
∫
2 5
dx
− x
∫
2 5
dx
x −
∫
2 5
dx
x +
∫
2 5
dx
x +
∫
2 5
dx
x −
∫
2 2 (s e n x + cos x −1) dx ∫
1.45.- x (1 − x dx ) ∫
2 ( τ g x +1) dx ∫
2 12
dx
x −
∫
2 12
dx
x +
∫
2 12
dx
x −
∫
2 12
dx
x +
∫
2 12
dx
− x
∫
2 12
dx
x x −
∫
2 12
dx
x − x
∫
2 12
dx
x + x
∫
2 8 2
dx
− x
∫
2 2 8
dx
x −
∫
2 2 8
dx
x +
∫
2 x − 10 dx ∫
2 x + 10 dx ∫
2 10 − x dx ∫ (^) 1.61.-
2
2
1 cos
s n
x dx e x
∫
2 1 −s e n xdx ∫
2 1 −cos xdx ∫
0 (2 3 )
x x − dx ∫
0 0 (2 3 )
n − dx ∫ (^) 1.66.-
s n
cos
e x gx dx x
τ
∫
x
dx
∫^ −
3 2 ∫ 4 − x^ dx 1.69.-^
(^2 ) ∫ x^ −^4 dx 1.70.-^
(^2 ) ∫ x^ +^4 dx
2 3
dx
x − x
∫
2 3
dx
x x −
∫
2 3
dx
x x +
∫
3 s n
x e θ dy ∫
1.75.- η u dx ∫
A 1.76.- exp( η x ) dx ∫
A
x^2 e dx
η ∫
A
1.78.-
x dx x
∫
2 11 − x dx ∫
2 x − 11 dx ∫
2 x + 11 dx ∫
x η e dx ∫