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INTEGRACI ´ON
Juli´an de la Horra Departamento de Matem´aticas U.A.M.
1 Introducci´on
En este cap´ıtulo vamos a abordar y estudiar el concepto de integral definida. Empezaremos planteando algunos ejemplos sencillos que surgen en las Cien- cias Experimentales, y que servir´an de motivaci´on:
Primer ejemplo.- Estamos interesados en el estudio de una poblaci´on de una especie determinada en cierto h´abitat. Conocemos (aproximadamente) la velocidad a la que var´ıa el n´umero de ejemplares de esta poblaci´on a lo largo del tiempo. Disponiendo de esta informaci´on, ¿seremos capaces de decir (aproximadamente) cu´al es la diferencia de poblaci´on entre dos instantes determinados? La integral definida ser´a la herramienta que nos permitir´a dar respuesta a este problema.
Segundo ejemplo.- Estamos interesados en el estudio de una part´ıcula en movimiento a lo largo de un eje. Conocemos (aproximadamente) la ve- locidad a la que se mueve esta part´ıcula. Disponiendo de esta informaci´on, ¿seremos capaces de decir (aproximadamente) cu´al es la diferencia de posici´on de la part´ıcula entre dos instantes determinados? Nuevamente, la integral definida ser´a la herramienta que nos permitir´a dar respuesta a este problema.
En la siguiente secci´on, se introducir´a el concepto de integral definida. Una vez que hayamos presentado este concepto, nos surgir´a el problema de c´omo calcular las integrales definidas. El c´alculo de integrales definidas se puede abordar de dos maneras. En primer lugar, podemos recurrir al concepto de primitiva que nos permite calcular las integrales definidas de manera exacta; en la Secci´on 3 se repasar´an algunos m´etodos sencillos para obtener primitivas. En segundo lugar, podemos recurrir a m´etodos sencillos para calcular, de forma aproximada, las integrales definidas: la regla del trapecio y la regla de Simpson (Secci´on 4). En la Secci´on 5, se explicar´a brevemente el empleo del programa R para poder utilizar con facilidad la regla del trapecio y la regla de Simpson. Finalmente, en la Secci´on 6, veremos algunas de las aplicaciones de la integral definida, que son nuestro objetivo fundamental.
2 Concepto de integral definida
Vamos a introducir el concepto de integral definida a partir del problema del c´alculo de ´areas ya que, este tipo de enfoque, permite una presentaci´on gr´afica muy sencilla de comprender.
Empezamos considerando una funci´on de una variable y = f (x) definida sobre el intervalo [a, b] y que toma valores positivos. Queremos calcular el ´area comprendida entre la curva y = f (x), el eje de abscisas, X = a y X = b (ver Figura 1).
El problema se aborda, desde un punto de vista te´orico, mediante las sumas inferiores y superiores, que utilizan rect´angulos con bases cada vez m´as estrechas y que, intuitivamente, van aproximando el ´area requerida cada vez con mayor precisi´on (ver Figura 2).
Definici´on.- Consideramos una funci´on continua y = f (x) definida sobre el intervalo [a, b]. En este caso, se puede probar que el supremo de las sumas inferiores coincide con el ´ınfimo de las sumas superiores, y este n´umero com´un recibe el nombre de integral definida de y = f (x) sobre el intervalo [a, b], y se representa por (^) ∫ b a
f (x)dx •
Las funciones con las que habitualmente se trabaja en las Ciencias Exper- imentales son funciones continuas y, por tanto, tendr´a sentido hablar de su integral definida. Si la funci´on y = f (x) toma valores positivos sobre [a, b], esta integral definida proporciona el ´area encerrada entre la curva y = f (x), el eje de abscisas, X = a y X = b. Cuando la funci´on sea positiva en unos trozos y negativa en otros habr´a que tener un poco de cuidado para calcular ´areas, como veremos m´as adelante.
3 Soluciones exactas
Las sumas inferiores y superiores son necesarias para la formalizaci´on matem´a- tica del concepto pero, si se quiere aplicar ese proceso al c´alculo efectivo de integrales definidas, nos encontramos con que dicho proceso es tedioso en los casos sencillos e inaplicable en los casos complicados. Afortunadamente, existen procedimientos sencillos, basados en una maravillosa y sorprendente relaci´on que existe entre derivaci´on e integraci´on.
Ejemplo 1.- Queremos obtener una primitiva de la funci´on y = (^) x ln^1 x , es decir, queremos resolver la integral indefinida:
∫ (^1)
x ln x
dx.
Con el objetivo de tratar de conseguir una integral inmediata, definimos una nueva variable, u = ln x. Tenemos:
u′^ =
x
du dx
⇒ dx = xdu
Sustituimos: ∫ (^1)
x ln x
dx =
xu
xdu =
u
du = ln |u| + C = ln | ln x| + C •
Integraci´on por partes El m´etodo de integraci´on por partes es tambi´en muy utilizado. A grandes rasgos, consiste en lo siguiente: a) Queremos obtener una primitiva de f (x), es decir, queremos calcular la integral indefinida
∫ f (x)dx, pero no es inmediata. b) Factorizamos f (x)dx de una manera alternativa: ∫ f (x)dx =
∫ udv
c) El m´etodo de integraci´on por partes, propiamente dicho, se basa en el siguiente resultado: ∫ f (x)dx =
∫ udv = uv −
∫ vdu
Para que este m´etodo funcione, en la pr´actica, tenemos que ser capaces de obtener:
du (que es trivial), v =
∫ dv y
∫ vdu.
Una vez realizado todo lo anterior, lo ´unico que queda es deshacer los cambios, para dejar la primitiva expresada en funci´on de x.
Ejemplo 2.- Queremos obtener una primitiva de la funci´on y = xex, es decir, queremos resolver la integral indefinida: ∫ xexdx
Factorizamos xexdx de una manera alternativa: ∫ xexdx =
∫ (x)(exdx) =
∫ udv,
siendo u = x y dv = exdx. Tenemos: u = x ⇒ u′^ = 1 = dudx ⇒ du = dx, dv = exdx ⇒ v =
∫ dv =
∫ exdx = ex. Tenemos, por tanto: ∫ xexdx =
∫ udv = uv −
∫ vdu = xex^ −
∫ exdx = xex^ − ex^ + C •
Descomposici´on en fracciones simples Este es un m´etodo que podemos utilizar cuando queremos hallar la prim- itiva de un cociente de dos polinomios, siendo el grado del numerador menor que el del denominador. El objetivo del m´etodo es descomponer el cociente de polinomios en suma de fracciones simples que sean inmediatas de inte- grar. En vez de hacer una exposici´on te´orica de este m´etodo, veremos como se utiliza mediante dos ejemplos sencillos.
Ejemplo 3.- Queremos obtener una primitiva de la funci´on y = (^) x (^2) −^2 xx− 2 , es decir, queremos resolver la integral indefinida: ∫ (^2) x
x^2 − x − 2
dx.
En este ejemplo, el denominador es un polinomio de grado 2 con dos ra´ıces reales simples, x = −1 y x = 2. En este caso, el cociente de polinomios admite una descomposici´on de la siguiente forma:
2 x x^2 − x − 2
2 x (x + 1)(x − 2)
A
x + 1
B
x − 2
El siguiente paso es determinar el valor de los coeficientes A y B:
2 x (x + 1)(x − 2)
A
x + 1
B
x − 2
A(x − 2) + B(x + 1) (x + 1)(x − 2)
=
(A + B)x + (B − 2 A) (x + 1)(x − 2)
A + B = 2
B − 2 A = 0
} ⇒
{ A = 2 / 3 B = 4 / 3
La ´ultima integral indefinida,
∫ (^1) (x+1)^2 =^ −^
1 x+1 , es bastante inmediata, pero se puede facilitar su c´alculo definiendo u = x + 1 y aplicando el m´etodo de cambio de variable. •
El m´etodo de descomposici´on en fracciones simples se complica cuando aparecen ra´ıces imaginarias en el denominador. Estos casos m´as complicados, junto con otros m´etodos de obtenci´on de primitivas, se pueden encontrar en los libros dedicados a este objetivo. Aqu´ı no vamos a profundizar m´as en dichos m´etodos porque nuestro objetivo es obtener el valor de integrales definidas y en la pr´oxima secci´on veremos que esto se puede hacer, de forma aproximada, con m´etodos muy sencillos.
4 Soluciones aproximadas
Como se ha dicho desde el principio del cap´ıtulo, nuestro objetivo es hallar el valor de integrales definidas,
∫ (^) b a f^ (x)dx, donde^ f^ (x) es una funci´on con- tinua. En aquellos casos en que podemos encontrar una primitiva, F (x), de la funci´on f (x), el problema queda resuelto. Pero, en muchas ocasiones, en- contrar una primitiva no es posible o es francamente complicado. Adem´as, tambi´en en muchas ocasiones, es suficiente con obtener el valor aproximado de
∫ (^) b a f^ (x)dx. Veremos a continuaci´on dos procedimientos num´ericos sencillos que dan soluciones aproximadas para una integral definida.
Regla del trapecio Consideramos una funci´on continua, y = f (x), y queremos calcular, aproximadamente,
∫ (^) b a f^ (x)dx. Dividimos el intervalo [a, b] en varios subinter- valos, todos ellos con la misma longitud h. Como se puede ver en la Figura 3, el ´area que se obtiene con la integral definida queda muy aproximada por la suma de las ´areas de los trapecios representados en la figura. El ´area de cada uno de los trapecios es la semisuma de las bases por la altura, de modo que tenemos:
∫ (^) b
a
f (x)dx ' A 1 + A 2 + ... + An
f (x 0 ) + f (x 1 ) 2
h +
f (x 1 ) + f (x 2 ) 2
h + ... +
f (xn− 1 ) + f (xn) 2
h
h 2
[f (x 0 ) + 2f (x 1 ) + ... + 2f (xn− 1 ) + f (xn)]
La expresi´on que acabamos de obtener recibe el nombre de regla del trapecio y sirve para calcular, aproximadamente, una integral definida.
Regla de Simpson La regla de Simpson proporcionar´a otra aproximaci´on al valor de una integral definida. Su obtenci´on es algo m´as complicada que la regla del trapecio, pero es algo m´as precisa, y la regla que resulta al final es tambi´en muy sencilla de aplicar. Consideramos nuevamente una funci´on continua, y = f (x), y queremos calcular, aproximadamente,
∫ (^) b a f^ (x)dx.
Detalles t´ecnicos de la obtenci´on de la regla de Simpson:
Para empezar, dividimos el intervalo [a, b] en dos subintervalos con la misma longitud h, y trasladamos todo el recinto sobre el eje horizontal hasta dejarlo centrado en el origen (ver Figura 4). Los dos recintos tienen la misma superficie. A continuaci´on, consideramos un polinomio de grado 3, a + bx + cx^2 + dx^3 , que pase por los puntos (−h, g(−h)), (0, g(0)) y (h, g(h)), de modo que tenemos:
a − bh + ch^2 − dh^3 = g(−h) = f (x 0 ) a = g(0) = f (x 1 ) (1) a + bh + ch^2 + dh^3 = g(h) = f (x 2 ) Al exigir que ese polinomio de grado 3 pase por esos tres puntos, estamos consiguiendo que su gr´afica sea “parecida” a la de g(x), y tenemos: ∫ (^) b
a
f (x)dx =
∫ (^) h
−h
g(x)dx '
∫ (^) h
−h
[a + bx + cx^2 + dx^3 ]dx
[ ax + b
x^2 2
x^3 3
x^4 4
]h
−h
= 2ah + 2c
h^3 3
=
h 3
[6a + 2ch^2 ]
Finalmente, comprobaremos que h 3
[6a + 2ch^2 ] =
h 3
[f (x 0 ) + 4f (x 1 ) + f (x 2 )].
En efecto, utilizando (1), tenemos: h 3
[f (x 0 ) + 4f (x 1 ) + f (x 2 )]
h 3
[(a − bh + ch^2 − dh^3 ) + 4(a) + (a + bh + ch^2 + dh^3 )]
=
h 3
[6a + 2ch^2 ]
[f (30) + 2f (35) + 2f (40) + 2f (45) + f (50)]
=
[0, 0050 + 2(0, 0030) + 2(0, 0018) + 2(0, 0011) + 0, 0007]
Tambi´en podemos aplicar la regla de Simpson con 4 subintervalos: ∫ (^50)
30
f (x)dx =
∫ (^50)
30
(0, 1)e−(0,1)xdx
[f (30) + 4f (35) + 2f (40) + 4f (45) + f (50)]
=
[0, 0050 + 4(0, 0030) + 2(0, 0018) + 4(0, 0011) + 0, 0007]
C´alculo exacto En este caso, la integral definida se puede evaluar, de manera muy sencilla, a trav´es de la primitiva:
∫ (^50)
30
f (x)dx =
∫ (^50)
30
(0, 1)e−(0,1)xdx =
[ −e−(0,1)x
] 50 30
Como se puede apreciar, la diferencia entre el resultado exacto y los re- sultados aproximados es m´ınima. Teniendo en cuenta que cualquier modelo que empleemos en las Ciencias Experimentales nunca ser´a una descripci´on exacta de la realidad sino (en el mejor de los casos) una buena aproximaci´on, los resultados aproximados aportados por la regla del trapecio y por la regla de Simpson (utilizando s´olo 4 subintervalos) son magn´ıficos. •
Ejemplo 6.- Supongamos ahora que queremos calcular la siguiente inte- gral definida:
∫ (^300)
260
f (x)dx =
∫ (^300)
260
2 π
e − (^) 2(20)^12 (x−240)^2 dx =
∫ (^300)
260
2 π
e−^
(x−240)^2 (^800) dx
Este tipo de integrales tendr´a mucho inter´es aplicado al utilizar el modelo Normal como modelo de Probabilidad. De momento, se trata simplemente de una integral definida. Podemos aplicar la regla de Simpson con 4 subintervalos, y tenemos: ∫ (^300)
260
f (x)dx =
∫ (^300)
260
2 π
e−^
(x−240)^2 (^800) dx
[f (260) + 4f (270) + 2f (280) + 4f (290) + f (300)]
=
[0, 0121 + 4(0, 0065) + 2(0, 0027) + 4(0, 0009) + 0, 0002]
En este caso, nos tenemos que conformar con una soluci´on aproximada pero, como se ha puesto de manifiesto en el ejemplo anterior, esto no suele ser un problema. •
5 Utilizaci´on de R
La aplicaci´on de la regla del trapecio y de la regla de Simpson no ofrece ninguna complicaci´on, como se ha podido comprobar en los ejemplos de la Secci´on 4. En esos ejemplos, se utilizaban 4 subintervalos y se obten´ıan muy buenas aproximaciones. Sin embargo, a veces, es necesario utilizar m´as subintervalos, para mejorar la aproximaci´on. El aumento del n´umero de subintervalos no supone ninguna complicaci´on te´orica pero, si se quiere llevar a cabo con una calculadora, el proceso puede resultar enormemente tedioso, aumentando la probabilidad de que se produzcan errores. Por este motivo, cuando se quiere utilizar un n´umero algo elevado de subintervalos, es muy conveniente recurrir a programas inform´aticos. Uno de los muchos programas que se pueden utilizar es el programa R, The R Project for Statistical Computing, que se puede descargar y utilizar de forma gratu´ıta. Volvamos al Ejemplo 5, para ilustrar el uso de R.
Ejemplo 5 (continuaci´on).- Seguimos queriendo calcular la siguiente integral definida:
∫ (^50)
30
f (x)dx =
∫ (^50)
30
(0, 1)e−(0,1)xdx
Aplicaremos nuevamente la regla de Simpson, pero ahora utilizaremos 10 subintervalos. Llevar esto a cabo con una calculadora ser´ıa bastante pesado, ya que tendr´ıamos que ir calculando cu´anto vale la funci´on que se desea integrar en los 11 extremos de los 10 subintervalos. Es mucho m´as c´omodo recurrir a R, que har´a esos c´alculos para nosotros. Los pasos que habr´ıa que dar son los siguientes:
- En primer lugar, tenemos que definir en R la funci´on f(x) que se quiere integrar. En este caso, escribir´ıamos:
Tercer caso: Area entre dos funciones.´ Ahora queremos calcular el ´area comprendida entre las funciones y = f (x) e Y = g(x) (ver Figura 7).
Tenemos:
“ Area entre´ y = f (x), y = g(x), X = a y X = b”=A 1 + A 2
= [
∫ (^) c a f^ (x)dx^ −^
∫ (^) c a g(x)dx] +^
[∫ (^) b c g(x)dx^ −^
∫ (^) b c f^ (x)dx
]
Diferencia de posici´on de una part´ıcula entre dos instantes Consideramos una part´ıcula que se mueve a lo largo de un eje con una velocidad v(t), y queremos calcular la diferencia de posici´on de este m´ovil entre dos instantes t = a y t = b. Llamaremos P (t) a la funci´on que describe la posici´on que ocupa la part´ıcula a lo largo del eje en funci´on del tiempo. Recordemos que, en F´ısica, v(t) es la velocidad de variaci´on de la posici´on P (t). Por lo tanto, P ′(t) = v(t), es decir, P (t) es una primitiva de v(t). Por lo tanto, aplicando el resultado que relaciona las primitivas con la integral definida, tenemos:
“Diferencia de posici´on entre t = a y t = b” = P (b) − P (a) =
∫ (^) b
a
v(t)dt.
Diferencia de poblaci´on entre dos instantes Consideramos una poblaci´on en la que el n´umero de individuos var´ıa con una velocidad v(t) a lo largo del tiempo. Esta velocidad ser´a positiva (cuando la poblaci´on aumenta) o negativa (cuando la poblaci´on disminuye). Queremos calcular la diferencia de poblaci´on entre dos instantes t = a y t = b. Este problema es an´alogo al de calcular la diferencia de posici´on de una part´ıcula, s´olo que en este caso estamos interesados en la variable que repre- senta el n´umero de individuos de esa poblaci´on (en vez de interesarnos por la posici´on de la part´ıcula). Llamaremos N (t) a la funci´on que representa el n´umero de individuos de la poblaci´on en el instante t. Por lo tanto, N ′(t) = v(t), es decir, N (t) es una primitiva de v(t). Por lo tanto, aplicando el resultado que relaciona las primitivas con la integral definida, tenemos:
“Diferencia de poblaci´on entre t = a y t = b” = N (b) − N (a) =
∫ (^) b
a
v(t)dt.
Distancia total recorrida por una part´ıcula entre dos instantes
Primer caso: Distancia total recorrida por una part´ıcula, cuando la velocidad es siempre positiva. Consideramos una part´ıcula que se mueve con una velocidad v(t) ≥ 0, y queremos calcular la distancia total recorrida por esta part´ıcula entre dos instantes t = a y t = b. Volvemos a llamar P (t) a la funci´on que describe la posici´on que ocupa dicha part´ıcula en funci´on del tiempo. Recordemos que v(t) sigue siendo la velocidad de variaci´on de la posici´on P (t). Por lo tanto, P ′(t) = v(t), es decir, P (t) es una primitiva de v(t). Adem´as, como la velocidad es siempre positiva, la distancia total reccorrida coincide con la diferencia de posici´on. En definitiva, tenemos:
D=“Distancia total recorrida entre t = a y t = b”
=“Diferencia de posici´on entre t = a y t = b”= P (b) − P (a)=
∫ (^) b a v(t)dt.
La situaci´on gr´afica se puede ver en la Figura 8.
Segundo caso: Distancia total recorrida por una part´ıcula, cuando la velocidad es cualquiera. En este caso, la situaci´on gr´afica es del tipo mostrado en la Figura 9. Desde un punto de vista t´ecnico, se trata exactamente del mismo problema que abordamos en el segundo caso del c´alculo de un ´area, cuando la funci´on es positiva en una parte y negativa en otra. Por supuesto, el problema se resuelve de la misma forma:
D=“Distancia total recorrida entre t = a y t = b”=D 1 + D 2
∫ (^) c a v(t)dt^ +^
∫ (^) b c [−v(t)]dt^ =^
∫ (^) c a v(t)dt^ −^
∫ (^) b c v(t)dt.
