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MATRICES
1.- Matrices.-
Es un arreglo rectangular de números (reales o complejos) dispuestos en m filas y n columnas.
Para denotar una matriz se utilizaran las mayúsculas y sus elementos con minúscula (mismo tipo
de letra), se denota de la siguiente forma:
A =
a
11
a
12
¿ a
1 n
a
21
a
22
¿ a
2 n
¿ ¿ ¿ ¿
a
m 1
a
m 2
¿ a
mn
En forma simplificada A = ( a ij
) mxn
y se le denomina matriz mxn
Ejemplos:
A
2 x 2
=
1 0
3 1
A
3 x 3
A
3 x 1
A
1 x 3
=( 1 − 2 0 )
Ejemplo: Escribir una matriz A 3x
tal que a ij
= 2i + 3j
a 23
= 2.2 + 3.3 = 13 a 24
= 2.2 + 3.4 = 16 a 31
= 2.3 + 3.1 = 9
a 32
= 2.3 + 3.2 = 12 a 33
= 2.3 + 3.3 = 15 a 34
= 2.3 + 3.4 = 18
es decir
A =
2.-Clasificacion de matrices.-
Tipo de matriz Definición Ejemplo
FILA
Aquella matriz que tiene una sola fila,
siendo su orden 1×n
COLUMNA
Aquella matriz que tiene una sola columna,
siendo su orden m×
RECTANGULAR
Aquella matriz que tiene distinto número de
filas que de columnas, siendo su orden
m×n ,
TRASPUESTA
Dada una matriz A , se llama traspuesta de
A a la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas.
Se representa por A
t
ó A
T
OPUESTA
La matriz opuesta de una dada es la que
resulta de sustituir cada elemento por su
opuesto. La opuesta de A es -A.
NULA
Si todos sus elementos son cero. También se
denomina matriz cero y se denota por 0m×n
CUADRADA
Aquella matriz que tiene igual número de
filas que de columnas, m = n, diciéndose
que la matriz es de orden n.
Diagonal principal : son los elementos a 11
,
a 22 , ..., a nn
Diagonal secundaria : son los elementos a ij
con i+j = n+
Traza de una matriz cuadrada : es la suma
de los elementos de la diagonal principal tr
A.
Diagonal principal :
Diagonal secundaria :
SIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a su
traspuesta.
A = A
t
, a ij
= a ji
ANTISIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a la
opuesta de su traspuesta.
A = -A
t
, a ij
= -a ji
Necesariamente a ii = 0
DIAGONAL
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus
elementos nulos excepto los de la diagonal
principal
ESCALAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus
elementos nulos excepto los de la diagonal
principal que son iguales
IDENTIDAD
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus
elementos nulos excepto los de la diagonal
principal que son iguales a 1. Tambien se
denomina matriz unidad.
d) La transpuesta del producto de un escalar por una matriz es igual al producto del escalar por
la transpuesta de la matriz. (k.A)
t
= k.A
t
2.- Operaciones con matrices.
2.1.- Suma de matrices.- Dadas dos matrices A y B de igual orden mxn, llamaremos matriz
suma a otra matriz de igual dimensión mxn y cuyos elementos se obtengan sumando los
elementos homólogos de A y de B.
A =
[
a
11
L a
1 n
M M
a
m 1
L a
mn
]
B =
[
b
11
L b
1 n
M M
b
m 1
L b
mn
]
entonces A ± B = C
En donde
C =
[
a
11
± b
11
L a
1 n
± b
1 n
M M
a
m 1
± b
m 1
L a
mn
± b
mn
]
=
[
c
11
L c
1 n
M M
c
m 1
L c
mn
]
Es decir,
a
ij
b
ij
=
c
ij
, en donde
c
ij
= a
ij
ij para toda i y toda j.
Ejemplo
Propiedades: La suma de matrices es ley de composición interna.
· Asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C
· Comutativa : A+B = B+A
· Elemento neutro : ( matriz cero 0 m×n
) , 0+A = A+0 = A
· Elemento Simétrico : ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0
Ejemplo: Dadas las matrices A = (a ij
) y B = (b
ij
) de dimensiones 3x4 y siendo
a ij
= i - j y b ij
= (-1)
i+j
j-
, calcular A + B
A + B =
2.2.- Producto de un número por una matriz.-
Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la
matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.
PROPIEDADES :
Ejemplo: Sean dos matrices A y B de dimensiones 3x4 tales que
a ij
= i + 2j y b ij
= 2i - j calcular la matriz 3A - 2B y -2A + 3B
3 A − 2 B = 3 ⋅
=
=
− 2 A + 3 B =
2.3.- Producto de matrices.
Dos matrices A y B son multiplicables solo si el número de columnas de la matriz
multiplicando (A) es igual al número de filas de la matriz multiplicadora (B)
La matriz resultante tendrá igual número de filas que la matriz multiplicando (A) y el mismo
número de columnas que la matriz multiplicadora (B). A mxr
.B rxn
= C mxn
Para calcular el elemento cij se multiplicara cada término de la fila i de A por cada término
correspondiente de la columna j de la matriz B y luego se sumaran todos los productos
obtenidos.
Ejemplos:
A.C C.A ya que
no es multiplicable mientras que
si lo es.
B.C C.B ya que
mientras que
es de diferente orden.
A.D D.A ya que
mientras que
− 1 0
2 3
⋅
2 3
1 0
=
− 2 − 3
7 6
Los dos productos son realizables, sus resultados tienen igual dimensión, pero son diferentes.
En los casos especiales en que A.B = B.A se dice que las matrices son permutables.
En este caso se verifica que (A + B)
2
= A
2
2
Si no son permutables (A + B)
2
= (A + B) x (A + B) = A
2
2
Matriz inversa.
Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada An y la representamos por A
, a la matriz que verifica
la siguiente propiedad : A
·A = A·A
= I
Decimos que una matriz cuadrada es "regular" si su determinante es distinto de cero, y es "singular" si
su determinante es igual a cero.
Propiedades de la inversión de matrices
- La matriz inversa, si existe, es única.
A
A=A·A
=I
∃ A
− 1
⇔| A |≠ 0
(A·B)
=B
A
- (A
)
=A
(kA)
=(1/k·A
- (A
t
)
=(A
)
t
A
− 1
=
1
| A |
⋅( Adj ( A ))
t
Observaciones
Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A = I, en tal caso, podemos decir
que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha".
Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular.
La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es única.
Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa realiza funciones análogas.
MÉTODOS PARA HALLAR LA MATRIZ INVERSA:
a).-. Por el método de Gauss
El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una
triangularización superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la
inversa.
Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos que no
siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango máximo
al aplicar el método de Gauss para realizar la triangularización superior. Si al aplicar el método
de Gauss (triangularización inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa.
Método de Gauss
Sea A = ( a
i j
) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A , que
denotaremos como A
, seguiremos los siguientes pasos:
Paso 1. Construir la matriz ampliada
[
A | I
]
la matriz A y la matriz identidad I.
Paso 2. De la diagonal principal de la matriz A, se elige un a
ij
= 1 o se deberá convertir a
ij
/ a
ij
= 1, al cual denominaremos pivote.
Paso 3. La columna del pivote con operaciones elementales deberá de convertirse en ceros.
Paso 4. Dicho procedimiento se repite hasta obtener una expresión
[ I | B ]
. Entonces, por el
teorema anterior,
B
es
A
− 1
.
EJEMPLOS
Obtener la inversa, si existe, de la matriz
[
1 2 3
− 1 0 4
0 2 2
]
Paso 1 Paso 2 Paso 2
[
1 2 3 1 0 0
− 1 0 4 0 1 0
0 2 2 0 0 1
]
=
[
1 2 3 1 0 0
0 2 7 1 1 0
0 2 2 0 0 1
]
=
[
1 2 3 1 0 0
0 1
7
2
1
2
1
2
0
0 2 2 0 0 1
]
=
[
1 0 − 4 0 − 1 0
0 1
7
2
1
2
1
2
0
0 0 − 5 − 1 − 1 1
]
Paso 3 Paso 3
[
1 0 − 4 0 − 1 0
0 1
7
2
1
2
1
2
0
0 0 1
1
5
1
5
−
1
5
]
=
[
1 0 0
4
5
−
1
5
−
4
5
0 1 0 −
1
5
−
1
5
7
10
0 0 1
1
5
1
5
−
1
5
]
En consecuencia,
[
1 2 3
− 1 0 4
0 2 2
]
− 1
=
[
4
5
−
1
5
−
4
5
−
1
5
−
1
5
7
10
1
5
1
5
−
1
5
]
Observemos que
[
1 2 3
− 1 0 4
0 2 2
]
=
[
4
5
−
1
5
−
4
5
−
1
5
−
1
5
7
10
1
5
1
5
−
1
5
]
=
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]
y
[
4
5
−
1
5
−
4
5
−
1
5
−
1
5
7
10
1
5
1
5
−
1
5
]
=
[
1 2 3
− 1 0 4
0 2 2
]
=
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]
C.
Obtener la inversa, si existe, de la matriz
[
1 2 − 1
− 3 4 5
− 4 2 6
]
Siguiendo el método normal,
Paso 1 Paso 2 Paso 2
[
1 2 − 1 1 0 0
− 3 4 5 0 1 0
− 4 2 6 0 0 1
]
=
[
1 2 − 1 1 0 0
0 10 2 3 1 0
0 10 2 4 0 1
]
=
[
1 2 − 1 1 0 0
0 1
1
5
3
10
1
10
0
0 10 2 4 0 1
]
=
[
1 0 −
7
5
2
5
−
1
5
0
0 1
1
5
3
10
1
10
0
0 0 0 1 − 1 1
]
No puede continuar el procedimiento, y por lo tanto, la matriz no tiene inversa. Observemos que el
proceso pudo interrumpirse al final del Paso 1; al final del mismo, la matriz izquierda tiene dos filas
idénticas, y por consiguiente, el determinante de la matriz es cero (Propiedad 5), y no tiene inversa. El
determinante de la matriz original es cero también (Propiedad 6) y no tiene inversa.
Ecuaciones matriciales.
Una ecuación matricial es una ecuación en la que la incógnita es una matriz y no un numero.
X·B + X·C = X· (B+C)
A·X + C·X = (A+C) · X
X
2
X
2
X
2
- 5X = X·X – 5X·I = X· (X – 5I) = (X – 5I) ·X
- A·X – B = X A·X – X = B (A – I) ·X = B (A – I)
· (A – I) ·X = (A – I)
·B
X = (A – I)
· B
·A·X = A
· (A + B) X = A
·(A + B)
·(A.X) = A
·B (A
·A)·X = A
·B
I·X = A
·B X = A
·B
