Apuntes de Transformada de Laplace, Apuntes de Matemáticas

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Transformaciones lineales

Definiciones básicas Definición

Transformación lineal

U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.

T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:

1. ∀u 1 , u 2 ∈ U, T (u 1 + u 2 ) = T (u 1 ) + T (u 2 )
2. ∀u ∈ U, λ ∈ K , T (λu) = λT (u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U, +) y (V , +).

Definiciones básicas Definición

Transformación lineal

U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.

T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:

1. ∀u 1 , u 2 ∈ U, T (u 1 + u 2 ) = T (u 1 ) + T (u 2 )
2. ∀u ∈ U, λ ∈ K , T (λu) = λT (u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U, +) y (V , +).

Definiciones básicas Definición

Transformación lineal

U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.

T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:

1. ∀u 1 , u 2 ∈ U, T (u 1 + u 2 ) = T (u 1 ) + T (u 2 )
2. ∀u ∈ U, λ ∈ K , T (λu) = λT (u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U, +) y (V , +).

Definiciones básicas Ejemplos

Cualquier función T : Rn^ → Rm, X → AX , es lineal.

El caso particular, f : R → R, x → ax, a ∈ R es lineal.

f : R → R, x → x^2 , no es lineal.

f : P 3 (R) → R^4 , p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + a 3 x^3 → f (p) = (a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ), es

lineal.

Fd (R, R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd (R, R) → F(R, R)

f → T (f ) = (^) dxdf (x) es lineal.

Definiciones básicas Ejemplos

Cualquier función T : Rn^ → Rm, X → AX , es lineal.

El caso particular, f : R → R, x → ax, a ∈ R es lineal.

f : R → R, x → x^2 , no es lineal.

f : P 3 (R) → R^4 , p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + a 3 x^3 → f (p) = (a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ), es

lineal.

Fd (R, R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd (R, R) → F(R, R)

f → T (f ) = (^) dxdf (x) es lineal.

Definiciones básicas Ejemplos

Cualquier función T : Rn^ → Rm, X → AX , es lineal.

El caso particular, f : R → R, x → ax, a ∈ R es lineal.

f : R → R, x → x^2 , no es lineal.

f : P 3 (R) → R^4 , p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + a 3 x^3 → f (p) = (a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ), es

lineal.

Fd (R, R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd (R, R) → F(R, R)

f → T (f ) = (^) dxdf (x) es lineal.

Definiciones básicas Ejemplos

Cualquier función T : Rn^ → Rm, X → AX , es lineal.

El caso particular, f : R → R, x → ax, a ∈ R es lineal.

f : R → R, x → x^2 , no es lineal.

f : P 3 (R) → R^4 , p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + a 3 x^3 → f (p) = (a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ), es

lineal.

Fd (R, R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd (R, R) → F(R, R)

f → T (f ) = (^) dxdf (x) es lineal.

Definiciones básicas Ejemplos

Sea V e.v sobre K, V = V 1 ⊕ V 2 y sean:

P 1 : V → V 1 , P 2 : V → V 2

v = v 1 + v 2 → P 1 (v ) = v 1 v = v 1 + v 2 → P 2 (v ) = v 2. Ambas son lineales y: Pi : Proyección de V sobre Vi

Definiciones básicas Ejemplos

Sea V e.v sobre K, V = V 1 ⊕ V 2 y sean:

P 1 : V → V 1 , P 2 : V → V 2

v = v 1 + v 2 → P 1 (v ) = v 1 v = v 1 + v 2 → P 2 (v ) = v 2. Ambas son lineales y: Pi : Proyección de V sobre Vi

Propiedades Propiedades

Propiedades

Sea T : U → V una transformación lineal. Se tiene entonces: 1 T ( 0 ) = 0 ∈ V 2 T (−u) = −T (u) 3 T es lineal si y sólo si ∀λ 1 , λ 2 ∈ K , ∀u 1 , u 2 ∈ U T (λ 1 u 1 + λ 2 u 2 ) = λ 1 T (u 1 ) + λ 2 T (u 2 )

Propiedades Propiedades

Propiedades

Sea T : U → V una transformación lineal. Se tiene entonces: 1 T ( 0 ) = 0 ∈ V 2 T (−u) = −T (u) 3 T es lineal si y sólo si ∀λ 1 , λ 2 ∈ K , ∀u 1 , u 2 ∈ U T (λ 1 u 1 + λ 2 u 2 ) = λ 1 T (u 1 ) + λ 2 T (u 2 )

Propiedades Caracterización de una T.L. Dada una combinación lineal ∑^ n i= 1

λi xi ∈ U y la transformación lineal, T : U → V. Si dim U = n y β = {ui }ni= 1 es base de U, u = ∑^ n i= 1

αi ui. α = (α 1 , ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β. Aplicando T : T (u) = T ( ∑^ n i= 1

αi ui ) = ∑^ n i= 1

αi T (ui ) Basta definir T sobre una base de U!

Propiedades Caracterización de una T.L. Dada una combinación lineal ∑^ n i= 1

λi xi ∈ U y la transformación lineal, T : U → V. Si dim U = n y β = {ui }ni= 1 es base de U, u = ∑^ n i= 1

αi ui. α = (α 1 , ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β. Aplicando T : T (u) = T ( ∑^ n i= 1

αi ui ) = ∑^ n i= 1

αi T (ui ) Basta definir T sobre una base de U!