transformada z inversa Final, Monografías, Ensayos de Matemáticas

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TRANSFORMADA Z INVERSA

CON LA TRANSFORMADA Z INVERSA

SE OBTIENE LA SEÑAL DISCRETA EN

LOS INSTANTES DE MUESTREO X(KT).

METODOS DE DIVISIÓN DIRECTA

• El método consiste en arreglar la función X(z) en términos de

tanto el numerador como el denominador, dividir

algebraicamente el numerado entre el denominador y su

cociente mediante comparación con la definición de X(z)

encontrar la señal x(kT).

1

z



1 2 3

0

( ) (0) (1) (2) (3) ( )

k k

k

x k z x x z x z x z x k z



    



     



Solución:

Multiplicando numerador y denominador por

Dividiendo numerador entre denominador, se tiene,

Comparando con la definición de X(z), se obtiene que:

2

z



1

1 2

2

5 10

( )

1 0.

z z

X z

z z



 







 

1 2 3 4

X z ( ) 5 z 15 z 14.2 z 11.8 z

   

    

X (0) 0, x (1) 5, x (2) 14.2, x (3) 11.8, 

• Si se quiere obtener m´´as muestras de la señal, es mejor

aplicar Matlab de esta forma:

x=[1 zeros(1,40)]; %para k = 40 muestras

num=[0 5 10]; %coeficientes del numerador

den=[1 -1 0.16]; %coeficientes del denominador

y=filter(num, den, x) %obtención de las 40 muestras

k=0:40;

plot(k,y,'ro',k,y,'-')

xlabel('k')

ylabel('y(k)')

Su representación es la siguiente:

MÉTODO DE FRACCIONES PARCIALES

Consiste el método en expandir la función X(z) en fracciones

parciales con el fin de que queden términos más simples y

luego encontrar a cada fracción la trasformada Z inversa.

Ejemplo 2

Obtener la transformada Z inversa de:

3 2

3 2

5 26 44 29

( )

6 11 6

z z z

X z

z z z

  



  

Usando Matlab:

num=[5 26 44 29];

den=[1 6 11 6];

[r, p, k]= residue (num,den)

%Los resultados son:

r= [-2 -5 3], p=[-3 -2 -1], k=5,

Por tanto, las fracciones parciales quedan:

X z

z z z

Si se supone que:

entonces,

*Donde es el delta kronecker (delta de Dirac en control

continuo) cuya transformada z es igual a 1.

( )

k

v k  a

1 1 1 1 1

[ ] [ ( 1)] [ ( )] [ ] *1/ (1 )

k k

Z a z v k z Z v k z Z a z az

   

1 1 1

( ) 2( 3) 5( 2) 3( 1) 5

k k k

k

x k 

  

      

k



EJEMPLO 3

% EJEMPLO 3: POGRAMA EN MATLAB

Num=[0 3 -9 0]; %coeficientes del numerador

Den=[1 -1.8 1.05 -0.2]; %coeficientes del denominador

Xz=tf (num,den, -1); %función de transferencia en

términos de z

pole(Xz) % obtención de polos

% la función tiene un polo simple ne z = 0.8 y un polo doble en

z = 0.

% se debe reconstruir la función para aplicar el comando limit

de Matlab

Xz1 = sum(num.[z^3 z^2 z^1])/sum(den.[z^3 z^2 z^1]);

% a) cálculo del residuo para el polo simple

Syms z k

k1=limit ((z-0.8)Xz1z^(k-1),z,0.8)

% k1 = -220/3*4^k/(5^k)

% b) Cálculo del residuo para el polo doble

h = diff((z.0.5)^2Xz1z^(k-1),2) % segunda derivada

k2=limit(h,z,0.5)

% k2=20/9(87k+220+45*k^2)/(2^k)

x(k)=k1+k2=-220/34^k/(5^k)+20/9(87k+220+45k^2)/

(2^k).