Ejercicios de Trigonometría: Triángulos Rectángulos e Identidades, Apuntes de Matemáticas

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Emilio

Martínez

Ros

C D

A

B

D

30º 45º 30 m

αα αα

r=

O cos αααα

sen αααα

tg αααα

cotg αααα

sec αααα

cosec αααα

Trigonometría Plana

Trigonometría es la parte de las Matemáticas que tiene por objeto el estudio de las relaciones existentes entre los ángulos y los lados de un triángulo. Esta rama de las Matemáticas es especialmente útil en Física para el estudio de fuerzas, fenómenos vibratorios y ondulatorios, etc. y en Topografía para la medida de terrenos, distancias entre puntos inaccesibles, etc. También se usa en otros campos como Astronomía, Navegación, ...

1. Ángulos. Unidades para su medida

1.1 Ángulos y arcos

Dos semirrectas n y s con origen común O dividen al plano en dos regiones, α y β. Cada una de estas regiones es un ángulo. Las semirrectas n y s son los lados de ambos ángulos y O el vértice.

Si trazamos una circunferencia con centro en el vértice O y radio cualquiera, los lados n y s la cortan en dos puntos, respectivamente A y B. Estos, determinan sobre la circunferencia dos arcos, en la figura contigua dibujados con distinto trazo.

Como a cada ángulo corresponde un arco de circunferencia y recíprocamente, para identificar un ángulo concreto, en adelante dibujaremos además de sus lados, su arco correspondiente.

1.2 Unidades para la medida de ángulos

Un ángulo y su arco de circunferencia correspondiente utilizan la misma medida. Para obtener esta, existen varias unidades de medida, de las cuales las más utilizadas son:

• El grado sexagesimal , que con sus submúltiplos, el minuto y el segundo , constituyen el Sistema Sexagesimal de medida de ángulos.
• El radián , que es la unidad de medida de ángulos en el Sistema Internacional.

α

s

n

β O β

s O A

n

B

s O n

s α β O n

Como la longitud de la circunferencia es 2πr, ésta contiene 2π veces la longitud del radio. Por tanto, 360º=2π rad, equivalencia esta que nos va a permitir pasar de grados a radianes y viceversa.

Ejemplos

1. Expresa en radianes 25º

25º=25· 360

2 π rad= 36

5 π rad≅0,44rad

1. Expresa en grados 12

5 π rad

5 π rad=

 

π

π 2

Con mucha frecuencia se identifica un ángulo con su medida, por lo que, a partir

de ahora, observarás expresiones como α=15º, ∠(n,s)=30º, AOB=π rad, Aˆ =45º, etc.

Por otra parte, siempre que omitamos la unidad en que viene dado un ángulo, daremos por supuesto que esta es radianes, nunca grados. Así por ejemplo,

α= 2

3 π

2

3 π rad, α=15=15rad≠15º, ...

1.3 Ampliación del concepto de ángulo

Ángulos orientados

Partiendo de un punto cualquiera de una circunferencia podemos volver a él, siguiendo la circunferencia, de dos maneras:

• En sentido negativo: Si lo hacemos como las agujas de un reloj.
• En sentido positivo: Si lo hacemos al contrario que las agujas de un reloj.

Asimismo, diremos que un ángulo es positivo si lo es el sentido de recorrido de su arco correspondiente y negativo en caso contrario. En cualquiera de ambos casos, estaremos hablando de ángulos orientados en los que habrá primer lado (aquel desde donde parte el arco) y segundo lado (aquel a donde llega).

Sentido positivo

Sentido negativo

s O n

∠(n,s)=+75º n es el primer lado s es el segundo lado

s O n

∠(s,n)=-75º s es el primer lado n es el segundo lado

Ángulos de barrido

Hasta ahora, solamente hemos considerado arcos y ángulos cuya medida en valor absoluto es menor o igual que 360º (2π rad). Vamos a continuación a ampliar el concepto de arco y ángulo, para lo cual, supongamos que nos desplazamos en la circunferencia de la figura contigua, partiendo del punto A y girando en sentido positivo:

• Si paramos en el punto P el arco recorrido es AP. Sea m su medida.
• Si damos una vuelta completa a la circunferencia y continuamos hasta llegar a P, el arco recorrido medirá m+360º.
• Si damos k vueltas antes de detenernos en P, entonces el arco recorrido medirá m+k·360º. El ángulo correspondiente a estos arcos mayores que una circunferencia ya no se puede considerar como una región angular, sino como un ángulo de barrido. Repitiendo el proceso anterior, pero desplazándonos en sentido negativo, obtenemos ángulos de barrido negativos. Ejemplos de ángulos de barrido los puedes encontrar viendo moverse una aguja de un reloj u observando el funcionamiento de un radar. 2. Razones trigonométricas de un ángulo

2.1 Definiciones

Sea α el ángulo orientado de la figura de la izquierda. Fijado un sistema de coordenadas, situamos α de forma que coincidan su vértice con el origen del sistema y su 1er^ lado con la parte positiva del eje de abcisas.

A continuación, trazamos una circunferencia con centro en O y radio cualquiera r. Siendo P(x,y) el punto de corte del segundo lado de α, s, con la circunferencia, definimos las razones trigonométricas del ángulo α de la siguiente forma:

Seno de α Coseno de α Tangente de α

senα= r

y cosα= r

x tgα= x

y

Cosecante de α Secante de α Cotangente de α

cosecα= y

r secα= x

r cotgα= y

x

Las tres recuadradas se llaman razones trigonométricas fundamentales.

O A

P

O A

P

α

s

n

O

α

s

O n

α

s

n

P(x,y) r

O

2.2 Signo de las razones trigonométricas de un ángulo

Teniendo en cuenta que el primer lado de un ángulo siempre se situa en la parte positiva

del eje de abcisas, se dice que el ángulo pertenece o está en el  

4 cuadrante

3 cuadrante

2 cuadrante

1 cuadrante

º

º er

er

si su segundo

lado está entre  

lapartenegativadelejedeordenadasylapartepositivadelejede abcisas

lapartenegativadelejedeabcisasylapartenegativadelejedeordenadas

lapartepositivadelejedeordenadasylapartenegativadelejedeabcisas

lapartepositivadelejedeabcisasylapartepositivadelejedeordenadas .

Basta observar las figuras de arriba para concluir los resultados de la tabla siguiente.

r=1 senα=y cosα=x tgα= (^) x^ y^ cosecα=^ y^1 secα=^ x^1 cotgα=^ xy α está en 1er^ cuadrante + + + + + + α está en 2º cuadrante + - - + - - α está en 3er^ cuadrante (^) - - + - - + α está en 4º cuadrante - + - - + -

2.3 Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo

Identidades trigonométricas

De la propia definición de cada una de las razones trigonométricas se deduce que:

• tgα= α

α cos

sen

• cotgα= α

α

α tg

sen

cos

• cosecα= senα

• secα= cosα

Por otra parte, puesto que el triángulo de la figura contigua es rectángulo, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que (senα)^2 +(cosα)^2 =1. En la práctica, las potencias de las razones trigonométricas suelen escribirse así: (senα)^2 =sen^2 α, (cosα)^3 =cos^3 α, ... De esta forma, la igualdad anterior, conocida como fórmula fundamental de la Trigonometría, es sen^2 α+cos^2 α=

s

n

r=1^ P(x,y) O

Primer cuadrante

s

n

P(x,y) r= O

Segundo cuadrante

s

n P(x,y)

r=1 O

Tercer cuadrante

• • s

n P(x,y)

O r=

Cuarto cuadrante

r=1^ P(x,y) O

α

Dividiendo la fórmula fundamental de la Trigonometría por cos^2 α, se tiene:

α

α

α

α

α 2 2

2 2

2

cos

cos

cos cos

sen , es decir, 1+tg^2 α=sec^2 α

Dividiendo nuevamente la fórmula fundamental, esta vez por sen^2 α, se tiene:

α

α

α

α

α 2 2

2 2

2

sen

sen

cos sen

sen , es decir, 1+cotg^2 α=cosec^2 α

Ejemplos sobre la utilización de las fórmulas anteriores

1. Simplifica la expresión cos^2 α· α

• α cotg

1 tg^2

cos^2 α· α

• α cotg

1 tg^2 = cos^2 α· α

α cotg

sec^2 =cos^2 α·

α

α

α

sen

cos

cos

2

α

α cos

sen =tgα

1. Demuestra la igualdad secα-cosα=tgα·senα

secα-cosα= cosα

-cosα= α

α

α

α

α

− α cos

sen cos

sen cos

1 cos^22 ·senα=tgα·senα

Obtención de las razones de un ángulo a partir de una de ellas

Si conocemos una razón cualquiera de un ángulo y el cuadrante en que se encuentra este, las identidades trigonométricas anteriores nos van a permitir obtener las restantes razones trigonométricas de dicho ángulo. Veamos algunos ejemplos:

1. Sabiendo que cosα= 3

y que 270º<α<360º, obtén las restantes razones de α.

cosα= 3

secα= 2

sen^2 α=1-cos^2 α=1- 9

= ⇒senα=- 3

= − cosecα=- 5

tgα= α

α cos

sen

3

− cotgα=- 5

1. Sabiendo que tgα=- 4

y que α∈2º cuadrante, obtén las restantes razones de α.

tgα=- 4

cotgα=- 3

sec^2 α=1+tg^2 α=1+ 16

= ⇒secα=- 4

= − cosα=- 5

tgα= α

α cos

sen ⇒senα=cosαtgα=- 5

cosecα= 3

α∈2º cuadrante

α∈4º cuadrante

1. Sabiendo que tgα= 3 y que 0º<α<90º, calcula cos(180º+α)

Como se observa en la figura contigua, α y 180º+α son ángulos asociados con tangentes iguales. tg(180º+α)=tgα= 3 sec^2 (180º+α)=1+tg^2 (180º+α)=1+3=4⇒

sec(180º+α)=- 4 =-2 cos(180º+α)=- 2

3.2 Ángulos complementarios

Dos ángulos entre 0º y 90º se llaman complementarios si suman 90º. Si uno de

ellos es α, evidentemente el otro es entonces 90º-α.

Observando con atención la figura contigua, descubrimos que

sen(90º-α)=cosα y cos(90º-α)=senα,

y de estas igualdades deducimos que

tg(90º-α)= α

α

−α

− α sen

cos cos( 90 º )

sen( 90 º ) =cotgα

cotg(90º-α)= α

α

−α

− α cos

sen sen( 90 º )

cos( 90 º ) =tgα

sec(90º-α)= α

−α sen

cos( 90 º )

=cosecα

cosec(90º-α)= α

−α cos

sen( 90 º )

=secα

Ejemplos

1. Sabiendo que sec60º=2, calcula cosec330º cosec330º=-cosec30º=-sec60º=-
2. Sabiendo que cotgα=4 y que 0º<α<90º, calcula tg(270º-α) tg(270º-α)=tg(270º-α-180º)=tg(90º-α)=cotgα= 4. Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo

4.1 Razones trigonométricas de los ángulos más utilizados

La obtención de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera es, en general, difícil y no puede hacerse por medio de métodos elementales.

O

180+α α

180º+α∈ 3 er^ cuadrante

330º y 30º son asociados 30º y 60º son complementarios

90º-α y α son complementarios 270º-α∈ 3 er^ cuadrante y 270º-α-180º∈ 1 er^ cuadrante son asociados

P(a,b)

O

α

90º-α

Q(b,a)

Existen sin embargo algunos ángulos, frecuentemente utilizados, cuyas razones pueden calcularse de forma más o menos sencilla. A continuación vamos a conocerlos.

Ángulos extremos de los cuadrantes

Basta observar las figuras de arriba para deducir los resultados de la tabla siguiente:

Seno Coseno Tangente Cosecante Secante Cotangente 0º 0 1 0 No existe 1 No existe 90º 1 0 No existe 1 No existe 0 180º 0 -1 0 No existe -1 No existe 270º -1 0 No existe -1 No existe 0

Ángulos 30º, 45º y 60º

30º

El triángulo OSP de la figura adjunta es equilátero, con lo

que, sen30º= 2

BP =.

Además, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo OBP, tenemos

OB cos 30 º 4

1 OB 1

OB

2 2 2  = ⇒ = − = ⇒ = = 

El triángulo OBP es rectángulo isósceles ya que

cos45º= OB = BP=sen45º, con lo que, aplicando el teorema de Pitágoras, cos^2 45º+cos^2 45º=1⇒2cos^2 45º=1⇒

⇒cos^2 45º= 2

⇒ cos 45 º= = =sen45º

Al ser 60º complementario de 30º, resulta que

sen60º=cos30º= 2

y cos60º=sen30º= 2

P(1,0)

r= O

0º

P(0,1)

r= O

90º

P(0,-1)

O^ r=

270º

P(-1,0)

r=

O

180º

O

30 º B S

P

30º

r=

O

45º B

P r=

sin cos tan

4.2 Razones trigonométricas de los restantes ángulos

Razones trigonométricas como sen33º, cos2, ... no es posible hallarlas con métodos sencillos, pero afortunadamente, para su obtención, disponemos de las calculadoras. Estas poseen las teclas , con las que podremos calcular seno, coseno y tangente de cualquier ángulo. Para ello, debemos en primer lugar escoger el modo adecuado al tipo de unidades ( DEG →grados, RAD →radianes) con la tecla y en segundo lugar escribir el ángulo y pulsar la tecla correspondiente. Aunque la calculadora te sirve para calcular cualquier razón trigonométrica, es imprescindible que sepas obtener, sin usarla, las razones de los ángulos más utilizados.

Ejemplos

1. sen33º:

(Modo DEG )

1. cos2:

(Modo RAD )

5. Operaciones recíprocas al cálculo de razones

Hasta aquí hemos aprendido, dado un ángulo, a calcular sus razones trigonométricas, pero, ¿qué ocurriría si no dispusiésemos del ángulo y sí de una de sus razones?, ¿sabríamos obtener dicho ángulo? Para ayudarnos a resolver estas cuestiones, definimos como sigue las operaciones recíprocas al cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo:

Sea x un número real cualquiera. Arcoseno de x: arcsenx={ángulos cuyo seno es x} Arcocoseno de x: arccosx={ángulos cuyo coseno es x} Arcotangente de x: arctgx={ángulos cuya tangente es x} Arcocosecante de x: arccosecx={ángulos cuya cosecante es x} Arcosecante de x: arcsecx={ángulos cuya secante es x} Arcocotangente de x: arccotgx={ángulos cuya cotangente es x}

Ejemplos

Casos que debemos saber resolver sin calculadora

1. arcsen 2

={30º+k·360º, k∈Z}∪{150º+k·360º, k∈Z}

1. arctg-1={135º+k·360º, k∈Z}∪{315º+k·360º, k∈Z}={135º+k·180º, k∈Z}
2. arcsec2=arccos 2

={60º+k·360º, k∈Z}∪{300º+k·360º, k∈Z}

1. arcsen0={0+k·2π, k∈Z}∪{π+k·2π, k∈Z}={0+k·π, k∈Z}

Mode

3 3 sin 0,

2 cos -0,

sin cos tan

1. arccosec-1=arcsen-1={ 2

3 π +k·2π, k∈Z}

1. arccos0={ 2

π +k·2π, k∈Z}∪{ 2

3 π +k·2π, k∈Z}={ 2

π +k·π, k∈Z}

Casos en los que es necesario usar la calculadora y ... algo más

Si el valor dado corresponde a una de las tres razones fundamentales, el proceso es muy sencillo, basta con escribirlo y, a continuación, pulsar la tecla seguida de la razón de que se trate, , o. Ahora bien, si el valor dado corresponde a la cosecante, secante o cotangente, se introduce su valor en pantalla, se pulsa la tecla , con lo que se obtiene la razón inversa, y se continua la operación de la misma forma que antes.

1. arcsen0,4:

(Resultado en grados, modo DEG ) arcsen0,4={23,578178º+k·360º, k∈Z}∪{180º-23,578178º+k·360º, k∈Z}= ={23,578178º+k·360º, k∈Z}∪{156,421822º+k·360º, k∈Z}

1. arccos-0,6:

(Resultado en radianes, modo RAD ) arccos-0,6={π-0,92729522+k·2π, k∈Z}∪{π+0,92729522+ k·2π, k∈Z}= ={2,214297434+k·2π, k∈Z}∪{4,068887874+k·2π, k∈Z} Piensa sobre como llegar al mismo resultado a partir de,

1. arctg-4:

(Resultado en grados, modo DEG ) arctg-4={180º-75,963757º+k·180º, k∈Z}={104,036243º+k·180º, k∈Z} Piensa sobre como llegar al mismo resultado a partir de,

1. arcsec3:

(Resultado en grados, modo DEG ) arcsec3={70,528779º+k·360º, k∈Z}∪{360º-70,528779º+k·360º, k∈Z}= ={70,528779º+k·360º, k∈Z}∪{289,471221º+k·360º, k∈Z}

Como hemos podido observar en los ejemplos, el ángulo que aparece en la pantalla de una calculadora cuando intentamos calcular arcoseno, arcocoseno o arcotangente de un número, está comprendido siempre entre –90º y 180º. Parece claro entonces, que el procedimiento más sencillo para calcular arcoseno, arcocoseno o arcotangente de un número es aquel que consiste en hallar, mediante la calculadora, el ángulo del 1er^ cuadrante que resulta al hacer arcoseno, arcocoseno o arcotangente repectivamente del valor absoluto del número, para, a partir de el y mediante procedimientos que ya conoces, hallar los ángulos buscados.

INV

1/x

0. 4 INV sin 23,

0. 6 INV cos 0,

0. 6 +/- INV cos 2,

4 INV tg 75,

4 +/- INV tg -75,

3 1/x INV cos 70,

A continuación, utilizando las relaciones existentes entre los distintos elementos, vamos a ver, mediante ejemplos, los cuatro casos posibles de resolución de triángulos rectángulos.

1 er^ caso: Los datos son un ángulo agudo y la hipotenusa

a=10, Cˆ =40º:

Bˆ =90º-40º=50º

b acos Cˆ a

b cos Cˆ= ⇒ = =10cos40º≅10·0,766=7,

c asen Cˆ a

c sen Cˆ= ⇒ = =10sen40º≅10·0,643=6,

2º caso: Los datos son un cateto y un ángulo agudo

b=6, Bˆ =49º:

Cˆ =90º-49º=41º

7 , 95 0 , 75471

sen 49 º

senBˆ

b a a

b sen Bˆ = ⇒ = = ≅ ≅

tg 49 º

tgBˆ

b c c

b tg Bˆ= ⇒ = = ≅ ≅

3 er^ caso: Los datos son la hipotenusa y un cateto

a=25, b=20:

c= 25 2 − 202 = 625 − 400 = 225 =

36 º 52 ' 5

Cˆ arccos 5

a

b cos Cˆ= = = ⇒ = ≅

Bˆ^ ≅90º-36º52'=53º8'

4º caso: Los datos son los dos catetos

b=8, c=24:

a= 8 2 + 242 = 64 + 576 = 640 ≅25,

3 Cˆ arctg 3 71 , 6 º 8

b

c tg Cˆ= = = ⇒ = ≅

Bˆ^ ≅90º-71,6º=18,4º

6.3 Aplicaciones

La resolución de triángulos rectángulos es de gran utilidad en el estudio de numerosos problemas geométricos (cálculo de longitudes, áreas, volúmenes, etc. de figuras geométricas), problemas físicos (estudio de fuerzas, movimientos, etc.) o problemas topográficos (medida de extensiones de tierra, distancias entre puntos y objetos de la superficie terrestre, ángulos, etc.).

C A

B a=10 (^) c

b

40º

C A

B a (^) c

b=

49º

C A

B a=25 (^) c

b=

C A

B

c=

b=

A continuación, vamos a ver algunos de entre los muchos ejemplos de estos problemas que podrían proponerse.

1. La base de un triángulo isósceles mide 10 m y el ángulo opuesto 50º. Halla el área del triángulo. Consideremos que el triángulo es el de la figura.

tg 25º= 10 , 7225 m 0 ' 4663

tg 25 º

AH

AH

Área de ABC= BH ·AH=5 · 10,7225=53,6126 m^2

1. Calcula el lado de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 8 m de radio. Consideremos que el octógono es el de la figura.

AOB= 45 º 8

Trazando la apotema OM , el triángulo AOB queda dividido en dos triángulos rectángulos iguales, el OAM y el OMB.

AOM= 2

AOB

sen22º30'= AM 8 ·sen 22 º 30 ' OA

AM

⇒ = =3,06147 m

El lado del octógono es AB = 2 AM= 2 · 3 , 06147 = 6 , 123 m

1. Un cuerpo cuyo peso es de 50 Kp cae por un plano inclinado de 30º. Halla las fuerzas tangencial y normal al plano. Consideremos el problema planteado en la figura adjunta. El peso PQ se descompone en las fuerzas PS y PR, paralela y normal al plano, respectivamente.

sen30º= 2

|PS| |PQ|sen 30 º 50 · |PQ|

| PS|

⇒ = = =25 Kp

cos30º= 25 3 2

|PR| |PQ|cos 30 º 50 · |PQ|

| PR|

⇒ = = = Kp

1. Para determinar la altura de un faro, a 50 m de distancia en horizontal del centro de su base se dispone un teodolito, aparato topográfico destinado a la medición de ángulos, y desde el mismo se lanza una visual al punto más alto del faro, observándose que dicha visual forma un ángulo de 38º32' con la horizontal. Considerando que el anteojo del teodolito se encuentra a 1,70 m de altura sobre el suelo, calcula la altura del faro.

B H C

A

25º 25º

5 m 5 m

M

O

E

8 m

A B

C

D

F

H

G

P

30º

30º

30º Q

S

R