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TRIÁNGULO RECTÁNGULO
1. Razones trigonométricas En matemáticas, el término razón es sinónimo a división o cociente entre dos cantidades. Por lo tanto al referirse a las razones trigonométricas nos estamos refiriendo a las relaciones entre los lados de un triángulo.
Más específicamente, tratándose de un triángulo rectángulo, tendremos las siguientes definiciones aplicables a cualquiera de los ángulos A o B. (Ver la figura de referencia)
A
b Z c
C a B
En todo triángulo rectángulo se cumple que:
- El SENO (Sen ) de cualquier ángulo agudo es la razón entre el lado opuesto y la hipotenusa.
- El COSENO (Cos) de cualquier ángulo agudo es la razón entre el lado adyacente y la hipotenusa.
- La TANGENTE (Tg) de cualquier ángulo agudo es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente.
- La COTANGENTE (Ctg) de cualquier ángulo agudo es la razón entre el lado adyacente y el lado opuesto.
- La SECANTE (Sec) de cualquier ángulo agudo es la razón entre la hipotenusa y el ángulo adyacente.
- La COSECANTE (Csc) de cualquier ángulo agudo es la razón entre la hipotenusa y el lado opuesto.
2. Funciones trigonométricas.
Las seis razones definidas anteriormente se llaman Funciones Trigonométricas del ángulo en cuestión. Si nos basamos en la figura de arriba, las funciones trigonométricas quedarían representadas de la siguiente manera.
Con respecto al ángulo A Con respecto al ángulo B
c
a Sen A = c
b Sen B =
c
b Cos A = c
a Cos B =
b
a Tg A = a
b Tg B =
a
b Ctg A = b
a Ctg B =
b
c Sec A = a
c Sec B =
a
c Csc A = b
c Csc B =
.
Elaborado por: IQI. Juan A. Trejo Peña 2
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Resolver el triángulo rectángulo ABC, si <A= 35º10'y c=74. solución: B c= 74. a 35º 10’ C A b Sen 35º 10’ = a / 74.5 (^) a = 74.5 x .5760 = 42. Cos 35º 10’ = b/ 74.5 b= 74.5 x .8175 = 60. < B = 89º 60’ – 35º 10’= 54º 50’
2 .- Resolver el triángulo rectángulo ABC en el cual a=25.36 y A= 58º30' solución: B c a=25. 58º 30’ C A b Tan 58º 30’ = a / b b = 25.36 / 1.6318 = 15.
C^2 = (25.36)^2 + ( 15.54)^2 = 643.13 + 241.49 = 884.62 c = 29. < B = 89º60’ – 58º 30’ = 31º30’
3.- Resolver el triángulo rectángulo ABC en el cual a=44 y b=25. Solución: B
a= 44 c
C A b=
Tan A = a / b Tan A = 44/ 25 = 1.76 < A = 60º 24’ < B = 89º 60’ – 60º 24’ = 29º 36’ Sen 60º 24’ = 44 / c c = 44 / .8694 = 50.
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8.- Si Csc A=5/4 calcular sen A y Tan A Solución: B
a= 4 c=
C A b Csc A = 5 /4 c = 5 y a = 4 b^2 = 5^2 – 4^2 = 9 b = 3 Sen A = 4/5 = 0.8 y Tan A = 4/3 = 1.
9.- Si Cos B=0.375 calcular sen B y cot B Solución: B
a c
C A b Cos B = 0.375 < B = 68 º Sen 68º = 0.9272 y Cot B = Tan A Tan 22º =.
10.- Cot A= 3
(^3) calcular Cos A y Csc A
Solución: B
a c
C b A
Cot A = 3 / 3 b= 3 , a= 3 c^2 = 3 + 9 = 12 c= 3.
Cos A= 3 /3.4641 = .5000 y Csc A= 1 / Sen A = 1/ (3/3.4641)= 1.
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Aplicación de la solución de triángulos rectángulos en la solución de problemas
Las técnicas para la resolución de triángulos rectángulos pueden aplicarse para resolver diversas situaciones cotidianas de medición. En los siguientes ejemplos podrás apreciar algunas de estas aplicaciones.
11.- Una escalera de 9 mts. está apoyada contra la pared; qué altura alcanza si forma con el suelo, supuesto horizontal, un ángulo de 72º. Solución:
9 h
72º
Sen 72º = h / 9 h = 9x .9511 = 8.56 mts.
12.- A 87.5 mts. de la base de una torre el ángulo de elevación a su cúspide es de 37º20'; calcular la altura de la torre, si la altura del aparato con que se midió el ángulo es de 1.5 mts. Solución:
h
37º 20’
Tan 37º 20’ = h/ 87.5 h = 87,5 x .7627 = 66. Altura de la torre = 66.74 + 1.5 = 68.24 Mts.
13.- A 75 mts. de la base de una antena el ángulo de elevación a su parte más alta es de 34º20'; calcular la altura de esta antena, si la altura del aparato con que se midió el ángulo es de 1.5 mts
Solución:
x
34º 20’
75
Tan 34º 20’ = x / 75 x = 75 x .6830 = 51.23 Mts Altura x + 1.5 = 51.23 + 1.5 = 52.73 mts.
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2.5 h
17.- ¿Cuál es el radio de una circunferencia inscrita en un pentágono regular de 2 cm. de lado? Solución:
r
Angulo central = 360 / 5 = 72º Angulo agudo del triángulo rectaángulo es 36º
Tan 36º = 1 / r r = 1 / .7265 = 1.38 Cm.
18.- Calcular el perímetro y el área de un octágono regular inscrito en una circunferencia cuyo diámetro es de 5 cm. Solución:
2.5 22º 30’
x
Angulo central = 360º / 8 = 45º El ángulo agudo del triángulo rectángulo es 22º 30’. Sen 22º 30’ = x / 2.5 x = 2.5 x .3826 =.
El lado es 2 x .9567 = 1. y la altura es h = 2.5 x Cos 22º 30’ = 2.5 x .9239= 2.31.
Perímetro es 8 x lado = 8 x 1.9133= 15.
Area del octágono= Area del triángulo rectángulo x 16 Area del octágono= (.9567 x 2.31 )/2 x 16 = 17.68 cm^2.
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19. Un buque B está navegando hacia el sur con velocidad de 36 Km/hr. A las 12 horas un faro F se ve hacia el Este y a las 12:30 hrs. se le ve en la dirección norte–noreste. Hallar la distancia del buque al faro en el momento de la primera observación.
Solución: N
O B 12 h 30’ F E x d B x
B’ d
22º30’
S B’
d = 36 km/h x .5 h = 18 km
Tan 22º 30’ = x / 18 18 x Tan 22º30’ = 18 x .4142 = 7.46 km.
20.- Un buque B está navegando hacia el sur con velocidad de 36 Km/hr. A las 12 horas un faro F se ve hacia el Este y a las 12:30 hrs. se le ve en la dirección norte–noreste. Hallar la distancia del buque al faro en el momento de la primera observación. Solución:
h
28º 47 º
30 d
Tan 47º = h / d h = d x Tan 47º h = 1.0724 x d ( 1 ) Tan 28º = h / ( d +30) (^) h = .5317 d + 15.95 ( 2 )
Como h = h 1.0724d = .5317 d + 15.95 .5407 d = 15. Entonces d = 29.50 mts.
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Elaborado por: IQI. Juan A. Trejo Peña 10
y b.- (3,4) P(3,4) Solución:
x
Dist= 9 + 16 = 5 T. de Pitágoras Sen = Ord. / Dist =4/5=.8 Cot = Abs. / Ord.=3/4=. Cos = Abs. / Dist. =3/5=.6 Sec = Dist. / Abs.=5/3=1. Tan = Ord. / Abs. = 4/3=1.333 Csc = Dist. / Ord.=5/4 =1.
y c.- (–3,7) Solución: P(-3,7)
x
Dist= 9 + 49 = 58 = 7.
Sen = Ord. / Dist = 7/7.62=.9186 Cot = Abs. / Ord.= -3/7 = -. Cos = Abs. / Dist. = -3/7.62 = -.3937 Sec = Dist. / Abs.= 7.62/-3= -2. Tan = Ord. / Abs. = 7/-3= -2.333 Csc = Dist. / Ord. = 7.62/7=1.
y d.- (0,8/5) Solución: P(0,8/5)
x
Dist = 8/
Sen = Ord. / Dist = (8/5) / (8/5) = 1 Cot = Abs. / Ord. = 0 / 8/5 = 0 Cos = Abs. / Dist. = 0/ 8/5 = 0 Sec = Dist. / Abs.= (8/5)/ 0 = ∞∞∞∞ Tan = Ord. / Abs. = 8/5 / 0 = ∞∞∞∞ Csc = Dist. / Ord. = (8/5)/(8/5)= 1
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Elaborado por: IQI. Juan A. Trejo Peña 11
e.- (–1,–5) Solución:
x
P (-1,-5)
Dist = 1 + 25 = 26 = 5. Sen = Ord. / Dist = -5/5.1 =-.98 Cot = Abs. / Ord.= -1/-5 = 1/5=. Cos = Abs. / Dist. = -1/5.1=.1961 Sec = Dist. / Abs.= 5.10/-1 = -5. Tan = Ord. / Abs. = -5/-1 =5 Csc = Dist. / Ord. =5.10/-5 =-1.
y
f.-. (2,–6) Solución:
x
(2,-6)
Dist. = 4 + 36 =6.
Sen = Ord. / Dist = -6/ 6.32 = -.9494 Cot = Abs. / Ord.= 2/-6 = -. Cos = Abs. / Dist. = 2/6.32 = .3165 Sec = Dist. / Abs.=6.32/2=3. Tan = Ord. / Abs. = -6/2 = -3 Csc = Dist. / Ord.= 6.32/-6= -1.
g.-. (0,–2/3) Solución:
x
(0,-2/3)
Sen = Ord. / Dist =- 2/3 / 2/3 = -1 Cot = Abs. / Ord.=0/- 2/3 = 0 Cos = Abs. / Dist. = 0 / 2/3 = 0 Sec = Dist. / Abs.= 2/3 / 0 = ∞∞∞∞ Tan = Ord. / Abs. = -2/3 / 0 =- ∞∞∞∞ Csc = Dist. / Ord. = 2/3 / -2/3 = -
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Elaborado por: IQI. Juan A. Trejo Peña 13
EJERCICIOS PROPUESTOS.
Basándote en la disposición de los elementos de un triángulo de acuerdo con la figura de la izquierda, calcula lo que se te pide.
A
b Z c
C B
a
Dada 4
Sec A = calcula: todas las funciones trigonométricas
restantes del ángulo A
Sen A = Ctg A =
Cos A = Csc A =
Tg A =
A
b c
C B
a
Calcula las funciones trigonométricas restantes si se tienen que
Cos A =
Sen A = SecA =
Tg A = Csc A =
Ctg A =
A
b c
C B
a
Calcula las funciones del ángulo B si se tiene que Tg A = 5
Sen B = Sec B =
Cos B = Csc B =
Ctg B =
Elaborado por: IQI. Juan A. Trejo Peña 14
B
Los siguientes ejercicios tiene por finalidad que practiques la aplicación de las reglas de cálculo de elementos en el triángulo rectángulo. No olvides que para el mejor aprovechamiento de esta práctica, tienes que dominar las definiciones de las funciones trigonométricas. a c Las letras utilizadas en cada ejercicio, corresponden a la posición propuesta en la figura de la derecha. C b A b .......................................................................................................................................................
- 1.- Dado A = 15º , c = I. Resuelve cada uno de los siguientes triángulos rectángulos. - 2.- Dado B = 67º , a = - 3.- Dado B = 50º , b = - 4.- Dado a = .35 , c =. - 5.- Dado a = 273 , b = - 6.- Dado A = 38º , a = 8. - 7.- Dado B = 75º , c =. - 8.- Dado b = 58.6 , c = 76. - 9.- Dado A = 9º , b = - 10.- Dado a = 3.414 , b = 2, - 11.- Dado A = 84º 16’ , a =. - 12.- Dado A = 46º 23’ , c = 5287. - 13.- Dado a = 529.3 , c = 902, - 14.- Dado B = 23º 9’, b = 75. - 15.- Dado A = 72º 52’ , b =
- 16.- Dado B = 18º 38’ , c = 2.
- 17.- Dado a = .0001689 , b =.
- 18.- Dado A = 31º 45’ , a = 48.
- 19.- Dado b = 617.57 , c = 729.
- 20.- Dado B = 82º 6’ 18”, a = 89.
- 21.- Dado A = 55º 43’ 29” , c =
- 22.- Dado B = 31º 47’ 7” , a = 7.
- 23.- Dado a = 99.464 , c = 156.
- 24.- Dado A = 43º 21’ 36”, b =.
- 25.- Dado B = 79º 14’ 31” , b = 84218.
- 26.- Dado B = 67º 39’ 53”, c =
- 27.- Dado b = 5789.72 , c = 24916.
- 28.- Dado A = 26º 12’ 24”, c = 4696422.
- 29.- Dado B = 14º 55’ 42” , b =.
- 30.- Dado a = 672.3853, b = 384. - 1.- a = 1.8117 b = 6. RESPUESTAS - 2.- b = 11.7793 c = 12. - 3.- a = 16.782 c = 26. - 4.- A = 34º 22’7” b =. - 5.- A = 33º 8’ 56” c = 499. - 6.- b = 10.3547 c = 13. - 7.- a = .003624 b =. - 8.- A = 39º 49’ 25” a = 48. - 9.- a = 148.407 c = 948. - 10.- A = 49º 53’55” c = 4. - 11.- b = .000336374 c =. - 12.- a = 3821.55 b = 3641. - 13.- A = 35º 53’55” b = 731. - 14.- a = 176.533 c = 191. - 15.- a = 20455.6 c = - 16.- a = 2.40898 b =. - 17.- A = 19º 31’57” c = - 18.- b = 77.6330 c = 91. - 19.- A = 32º 10’16” c = 388. - 20.- b = 644.109 c = 650. - 21.- a = 34308 b = 223381. - 22.- b = 4.48174 c = 8. - 23.-A = 39º 21’54” b = 121. - 24.- a = .00247181 c =. - 25.- a = 16001.6 c = 85725. - 26.- a = 3624500 b = - 27.- A = 76º 33’49” a = 24234. - 28.- a = 207302 b = - 29.- a = .507624 c =. - 30.- A = 60º 14’13” c = 774.
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Elaborado por: IQI. Juan A. Trejo Peña 16
- Un faro de 117 pies de altura se encuentra sobre una colina de 245 pies .Calcula cuál es la máxima distancia del horizonte visible desde este faro. Considera la Tierra como un círculo. NOTA: El radio de la Tierra es de 3960 millas aprox.
- Una escalera de doce metros de longitud puede colocarse de tal manera que alcance una ventana de diez metros de altura de un lado de la calle y, haciendo girar la escalera sin mover su base, puede alcanzar una ventana que está a seis metros de altura en el otro lado de la calle. Halla el ancho de la calle.
- Calcula cuánto mide el radio del círculo inscrito y el del círculo circunscrito en el pentágono regular cuyos lados miden 25 cm. Cada uno.
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Elaborado por: IQI. Juan A. Trejo Peña 17
- Para una nueva carretera debe excavarse un túnel bajo una montaña que tiene 260 pies de altura. A una distancia de 200 pies de la base de la montaña, el ángulo de elevación es de 36º. A una distancia de 150 pies y del otro lado de la montaña, el ángulo de elevación es de 47º. Calcula la longitud del túnel.
8.- El pie de una escalera de cinco metros de largo dista 1.9 metros de una pared vertical en la cual se apoya; halla el ángulo formado por ambas. A = 22º 21' 1"
9.- ¿Cuál es la altura del sol sobre el horizonte en el momento en que la longitud de la sombra de una varilla vertical sea el doble de la longitud de la varilla? A = 26º 33' 54"
10.- La escalera de un carro de bomberos puede extenderse hasta una longitud máxima de 24m. Cuando se levanta un ángulo de 65º. Si la base de la escalera está a dos metros sobre el suelo, ¿qué altura sobre éste puede alcanzar la escalera? h = 23.
11.- Desde el extremo de una torre de 42m. de altura, el ángulo de depresión al extremo de otra es de 21º 50’. Si entre ambas torres hay una distancia de 72 m, calcula la altura de la segunda torre. h = 13.1535 m
12.- Desde la cúspide de un faro de 52m. de altura se observa que los ángulos de depresión a dos botes alineados con él son de 16º 10’ y 35º respectivamente. Encuentra la distancia entre los botes. d = 105.1109 m
13.- A una distancia de 105 pies de la base de una torre, se observa que el ángulo de elevación a su cúspide es de 38º 25’. Halla su altura. h = 83.
14.- ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol cuando una torre de 103.74 pies de alto, proyecta una sombra de 167.38 pies de largo? A = 31º 47' 24"
15.- Si el diámetro de La Tierra es de 7,912 millas, ¿cuál es el punto de su superficie más lejanamente visible desde la cima de una montaña de 1.25 millas de alto? D = 99.4665mill
16.- Halla el ángulo de elevación de la ladera de una montaña que en una distancia horizontal de un octavo de milla alcanza una elevación de 238 pies. ( Una milla terrestre tiene 5,280 pies, y una marina: 6,080.20 pies.) A = 19º 49' 47"
17.- Calcula el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 18 cms. P = 108 cm
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Elaborado por: IQI. Juan A. Trejo Peña 19
32-.La tubería para un surtidor pasa bajo una casa rectangular, de la esquina Noreste hasta un punto situado a cuatro metros al sur de la esquina Noroeste. Las paredes que tienen dirección Este – Oeste, tienen 15 metros de largo. Se desea saber la longitud de tubería enterrada bajo la casa y el ángulo que forma con la pared Oeste. L = 15.52 m αααα = 75º 4’ 6”
33.- La torre del guardabosques tiene una altura de 90 metros. Desde ahí se percata de dos incendios; el primero se localiza en dirección Oeste, con un ángulo de depresión de 34.6º y el otro, hacia el Este con un ángulo de depresión de 58.3º. ¿Qué distancia lineal hay entre los dos incendios? D = 186.06 m
34.- Un observador advierte que desde cierta posición, el ángulo de elevación al extremo de un edificio es de 25º 10’; camina 50 metros hacia él y entonces el ángulo es de 52º ¿Qué distancia le falta para llegar al pie del edificio y cuál es la altura del mismo? D = 29 m h= 37.1185 m
35.- Una planta acuática de tallo vertical está a dos metros de la orilla y sobresale 80 cms. del agua. Cuando el viento la inclina, su extremo toca justamente la orilla; suponiendo que el tallo permanece recto, calcula la altura de la planta. h = 290 cm
36.- Un asta – bandera de doce metros de longitud está en lo alto de una torre. Desde un punto A cercano a ésta los ángulos de elevación al pie y al tope del asta son de 21º y 39º, respectivamente. Calcula la distancia de A a la torre y la altura de ésta. A = 28.17m h = 10.815m
37.- Un estadio de fútbol se planea con un ángulo ascendente en las gradas de 18º 20’ con respecto de la horizontal. Si cada 0.76 metros, medidos horizontalmente, puede haber una fila de asientos, ¿qué altura debe tener el estadio si se quieren colocar 24 filas de asientos? h = 6.044 metros
38.- Una playa tiene un ángulo de elevación uniforme de 13º 10’. La diferencia de mareas entre la marea alta y la baja es de 1.90 metros, ¿qué distancia se extiende el agua sobre la playa entre las dos mareas? d = 7.2622 m
39.- Calcula las funciones trigonométricas del ángulo cuyo lado terminal pasa por el punto P(-3,4)
40.- Calcula las funciones trigonométricas restantes, si el coseno de un ángulo es –4/
41.- Calcula todas las funciones trigonométricas de un ángulo cuyo lado terminal está en el tercer cuadrante, y las coordenadas de un punto de su línea terminal son P( -4, -8)
42.- Un punto de la línea terminal ,está en el segundo cuadrante a 13 unidades del origen; si su ordenada es 5, calcula todas las funciones trigonométricas de ese ángulo.
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Elaborado por: IQI. Juan A. Trejo Peña 20
43.- Halla los valores de las demás funciones trigonométricas en cada uno de los ejemplos siguientes: a) Sec A = 5/4 b) Ctg A = -12/5 c) Sen A = 15/ d) Cos A = -21/29 e) Csc A = 3 f) Tg A = 9/ g) Sec A = -7/2 h) Sen A = -1/5 i) Tg A = -
