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II. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
2.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Las razones trigonométricas se utilizan fundamentalmente en la solución de triángulos
rectángulos, recordando que todo triángulo rectángulo tiene un ángulo de
0 90 y sus ángulos
interiores suman
0
- La notación que se acostumbra es la siguiente.
Tomamos el ángulo α para definir las razones trigonométricas de la siguiente manera:
c
a
hipotenusa
cateto opuesto
sen α = =
a
c
cateto opuesto
hipotenusa
cscα= =
c
b
hipotenusa
cateto adyacente
cosα = = sec
hipotenusa c
cateto adyacente b
b
a
cateto adyacente
cateto opuesto
tan α= =
a
b
cateto opuesto
cateto adyacente
cotα= =
Nota: Véase que las razones cot α, sec α, csc α son recíprocas de la tan α, cos α, sen α
respectivamente.
2.2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo rectángulo implica obtener la medida de todos sus ángulos y de
todas las longitudes de sus lados. En donde se utilizan las razones trigonométricas y el
teorema de Pitágoras fundamentalmente, el cuál se enuncia así: “en todo triángulo
rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus
catetos”.
0 0
EJEMPLOS
Determinar los lados y ángulos faltantes en cada caso.
1) Resolver el siguiente triángulo cuando los catetos miden 3 y 4 unidades.
Para obtener la hipotenusa aplicamos el teorema de Pitágoras
2 2 c = 3 + 4
c = 9 + 16 = 25
c = 5
Para calcular los ángulos α y β , podemos hacerlo de la siguiente manera:
tan α=
tan 0. 75
− 1
0
y como
0 0
despejando
0 0 0
0
por lo tanto
0
0
β = 53. 13 ; c = 5
2 2 c = a + b
c a b …( ) I
2 2 2 = +
2 2 b = c − a
2 2 a = c − b
4) La torre Eiffel en su base cuadrangular mide 50 metros de lado, ¿cuál es su altura si una
persona que mide 1.8 m. de estatura, al mirar la punta mide un ángulo de elevación de
0
- 4?
Solución
Si 25
tan 85. 4
0 h
= h
0 25 tan 85. 4
h ≅ 310. 72 [ m ]
Altura de la torre = 310. 72 + 1. 8 = 312. 52 [ m ]
5) ¿Cuál es el área de un canal trapecial con la geometría que se muestra en la figura?
Solución
Determinando cuánto mide la altura “h”, el problema se resuelve. Dado que el canal es una
figura regular se tiene que:
h
h = =
0 0 ; 4 tan 60 4
tan 60
h ; h 6. 93 [ m ]
El área de un trapecio es “base mayor más base menor entre
dos y multiplicado esto por la altura”, es decir
EJERCICIOS
Resuelva los siguientes triángulos rectángulos:
1) Si b = 2. 5 y
0
α = 39 , encuentre a , c , β
2) Si a = 4 y b = 5 , obtenga c , α , β
h Área
B b
( ) [ ]
2
- 93 55. 44 2
Área = m
3) Un globo aerostático se eleva verticalmente desde el punto P (en el suelo), su ángulo de
elevación desde el punto Q (en el suelo también) situado a 250 m del punto P, cambia de
0 23 a
0
- Determine que tanto se eleva el globo durante este cambio.
4) El piloto de un avión de Mexicana debe aproximarse a la pista de aterrizaje en el D.F. en
un ángulo de
0 7 con respecto a la horizontal. Si vuela a una altitud de 9000m. ¿A qué
distancia de la pista debe iniciar su descenso?
5) En la siguiente figura se muestra un diseño de un tobogán, se pide calcular la longitud
total del tobogán
2.3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN CUALQUIER CUADRANTE
Un círculo con centro en el origen de coordenadas y de radio la unidad es llamado
círculo unitario. Sí sobre este círculo tomamos un punto P ( x , y ), el radio OP genera un
ángulo positivo de magnitud “ t ” radianes como se muestra.
Se conviene que se generan ángulos positivos si son
medidos a partir del eje “ x ” y girando en el sentido
contrario a las manecillas del reloj hasta el radio OP
como lo marca la flecha y ángulos negativos girando en
el sentido de las manecillas del reloj.
Bajando la perpendicular al eje “ x ” desde el punto P , se tiene el triángulo rectángulo
OPQ , donde podemos definir la razones trigonométricas sent y cos t por ejemplo.
y sent = ; y = sent
cos
x t = ; x =cos t
Por lo que el punto P ( x , y )puede expresarse
como P ( cos t , sent )como se muestra en la figura.
Por Pitágoras 1 1 2
2 2
De un triángulo equilátero:
♦ Tener cuidado con el cuadrante que contiene al ángulo solicitado para determinar
correctamente el signo de la razón trigonométrica solicitada.
♦ El conocimiento de la razón trigonométrica del seno de un ángulo es suficiente para
determinar las restantes razones con la aplicación previa del teorema de Pitágoras
para conocer el lado restante.
♦ Los valores que toman las razones trigonométricas, se repiten cada 2 π radianes, esto
significa por ejemplo que el sen ( t + 2 π ) = sent y cos( t + 2 π ) =cos t , etc., para todo
ángulo t ∈ \ , ya que 2 π indica una vuelta completa en el círculo unitario.
♦ Se recomienda tener presente algunas identidades trigonométricas como las que se
enlistan a continuación:
α
α α
α β
α β α β
α α α
α α β
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
π
π
2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 tan
2 tan tan 2
1 tan tan
tan tan tan
cos 2 cos
2 2 cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos
cos cos
csc cot 1 ( )
sec tan 1 ( )
cos 1 ( )
cos
cos 2
sen
sen sen
sen sen
sen sen
sen sen sen
sen sen sen
t t identidad Pitagórica
t t identidad Pitagórica
sent t identidad Pitagórica
t sent
sen t t
0 sen = 2
0 sen
cos 30
0
2
cos 60
0
tan 30
0 = (^3) 1
tan 60
0 = =
EJEMPLOS
1) Determinar las razones trigonométricas sent , cos t ,tan t ,cot t ,sec t y csc t para los ángulos
Solución
Ángulo sen (t) cos (t) tan (t) cot (t) sec (t) csc (t) Cuadrante
0 0 1 0 indefinida 1 indefinida I
1 1 2 2 I
1 0 Indefinida 0 indefinida 1 I
II
π 0 − 1 0 indefinida − 1 indefinida II
1 1 − 2 − 2 III
− 1 0 indefinida^0 indefinida^ − 1 III
IV
2 π 0 1 0 indefinida 1 indefinida IV
2) Obtenga los valores de las razones trigonométricas seno, tangente y secante para los
ángulos
0 0 0 0 75 , 150 , 230 y 283 aproximando el resultado a 4 cifras decimales.
Solución
Para obtener los valores de las razones trigonométricas cuando el ángulo está dado en
grados, puedes hacerlo con tu calculadora científica, usando el MODO en grados (DEG)
Ángulo sen tan sec Cuadrante
0 75 0.^96593.^73213.^8637 I 0 150 0.^5 −^0.^5774 −^1.^1547 II 0 230 −^0.^76601.^1918 −^1.^5557 III 0 283 −^0.^9744 −^4.^33154.^4454 IV
sen sen sen
Como cada π
son
0 60 ;^
0 120 3
cos 120 cos 60 3
cos
0 0 = =− =− =−
Como cada π
son
0 45 ;
0 225 4
( ) ( )
tan 45
tan 225
cot 225 4
cot 0 0
0 =− −
( ) 0. 8660 2
cos 210 cos 30
0 0 =− =− =−
( ) ( ) (^2) 1
sec 300 sec 60
0 0 = = =
cot ( 135 ) cot( 45 ) 1
0 0 − = =
EJERCICIOS
1) Determinar las razones trigonométricas tangente, cotangente, secante y cosecante para
los ángulos π π π π π π
2) Obtener los valores de las razones trigonométricas coseno, cotangente y cosecante para
los ángulos
0 0 0 0 75 , 150 , 230 , 283
3) Obtenga los valores de las razones trigonométricas seno, tangente y secante para los
ángulos 1. 2 , 2. 4536 ,− 0. 2731 ,− 4. 27 , 0. 5731
4) Encuentre los valores de las seis razones trigonométricas del ángulo β generado por el
segmento de recta OP cuyas coordenadas son O ( 0 , 0 )y P ( 3 , − 4 )
5) Sin usar calculadora obtenga los valores de las siguientes razones trigonométricas:
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 ,tan 315 ,sec 150 ,csc 120 ,cot 225 6
cos (^) − −
π sen π
2.4. LEY DE LOS SENOS Y LEY DE LOS COSENOS
Para resolver triángulos que no son rectángulos (que no tienen un ángulo de
0 90 ) se
hace uso de las leyes de los senos y/o de los cosenos. Los triángulos con estas
características, se llaman oblicuángulos y pueden tener 3 ángulos agudos o dos ángulos
agudos y uno obtuso como se muestra:
Resolver un triángulo significa obtener las longitudes de sus lados y la medida de cada
uno de sus ángulos. Para lograr esto, es necesario conocer (datos) al menos tres elementos
del triángulo y uno de ellos debe ser un lado (L), recordando también por geometría
elemental que la suma de sus ángulos internos es
0 180 (
0
Las combinaciones de datos pueden ser:
- Conocer dos ángulos y un lado (AAL).
- Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA).
- Conocer dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL).
- Conocer tres lados (LLL).
Ley de los senos: “Dos lados cualesquiera son proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos”.
Se acostumbra escribir como
α β sen γ
c
sen
b
sen
a = =
Ley de los cosenos: “El cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados menos el doble de su producto por el coseno del
ángulo que forman”.
2 cos
2 cos
2 cos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
c a b ab
b a c ac
a b c bc
El lado “c” puede calcularse con:
γ sen α
a
sen
c = ; 0 0
- 37
sen 114. 63 sen
c
0
0
sen
sen c 4. 24
3) Un avión vuela de la Ciudad de México a Puebla de los Angeles, que está a 120 Km de
distancia, luego cambia su dirección
0 40 y se dirige a la Ciudad de Perote como se muestra
en la figura.
a) Si la distancia entre México y Perote es de 300 Km ¿Qué distancia hay de Puebla a
Perote?
b) ¿Qué ángulo debe girar el piloto para volver a la Ciudad de México?
Solución
a) Aplicando la ley de los senos:
sen sen γ
0
0
= =
sen
sen γ
−
- 2571
1
γ sen
0
- 9
Y como = −( + ) = − =
0 0 0
0
- 1
La distancia entre Puebla y Perote la podemos calcular sabiendo que:
sen β sen γ
a 120
Despejando = = = 0
0
sen
sen
sen
sen a
198 Km
b) El ángulo que debe girar el piloto para volver a la Ciudad de México es
= − = − =
0 0 0
0
- 1
4) Resolver el triángulo a = 3 , b = 2 ,
0
Solución
Caso (LAL). Aplicando la ley de los cosenos:
2 cos γ
2 2 2 c = a + b − ab
2 2 2 0 c = 3 + 2 − 23 2 cos 50
9 4 12 cos 50 13 12 ( 0. 64 )
2 0 c = + − = −
2 c =
c = 5. 32 = 2. 31
Una vez conocido el tercer lado, podemos decidir aplicar la ley de senos o de cosenos para
completar la solución del triángulo.
Para α : 2 cos α
2 2 2 a = b + c − bc , despejando bc
b c a
cos
2 2 2
cos =
− cos 0. 0346
1
0
- 02
Y como = −( + ) = − =
0 0 0
0
- 98
5) Resolver el triángulo a^ =^3 , b^ =^6 , c =^4
Solución
Caso (LLL). Aplicando la ley de los cosenos para α :
2 cos α
2 2 2 a = b + c − bc , despejando bc
b c a
cos
2 2 2
Sustituyendo valores:
cos
2 2 2
=
− cos 0. 9
1
0
- 8
EJERCICIOS
Resolver cada triángulo con la información dada:
0 0
a = 3. 1 , α= 39 , β= 63
0
a = 42 , b = 23 , α= 31. 33
0
a = 14. 1 , b = 21. 2 , γ= 58. 75
4) a = 23 , b = 34 , c = 29
5) En el lago de Chapultepec se localizan dos embarcaderos, el P y el Q cuya distancia
entre ellos es de 315 metros, desde el embarcadero P girando un ángulo de
0 60 se tiene una
distancia de 493 m hasta la cafetería del lago R, según se muestra en la figura. ¿Cuál es la
distancia desde el embarcadero Q hasta la cafetería del lago R?
6) Sobre el margen de un río se localizan dos bancos de materiales T y U separados uno
del otro 0.8 Km. y en la otra margen del río se localizó un sitio V en donde se construirá un
embarcadero. Los ángulos VTU y VUT miden
0 63 y
0 38 respectivamente, se desea
determinar de que banco de materiales resultará más conveniente traer el material por su
cercanía.
2.5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Recordemos que la gráfica de una función inyectiva y = f ( ) x y de su inversa
y f ( ) x
− 1
= , tienen la característica de que si ( a , b ) es un punto de la gráfica de la función
y = f ( ) x , entonces el punto de coordenadas ( b , a ) es un punto de la gráfica de su inversa
y f ( ) x
− 1
= y que estos puntos ( a , b ) y ( b , a ) están situados simétricamente respecto a la
gráfica de la recta y = x , esto es, que la gráfica de y f ( x )
− 1 = es una reflexión de la gráfica
de la función y = f ( ) x respecto de la recta y = x.
Pero resulta que como ninguna de las funciones trigonométricas es inyectiva, es
necesario restringir su dominio para hacerlas inyectivas y poder definir su inversa como
función.
EJEMPLOS
1) En la función y = senx , su dominio y su rango son D = ( −∞,∞) (todos los reales) y
R = [− 1 , 1 ](los reales entre -1 y 1 inclusive), para que la inversa de esta función sea también
una función, es necesario restringir su dominio a
D conservando su rango
R = [− 1 , 1 ] y definiendo la inversa como y = arcsen ( x ), se lee “función arco-seno de x ” o
también como y sen ( ) x
− 1 = , se lee “función seno inverso de x ”, cuyas gráficas son:
4) Determinar el valor de la función
−
2
sen :
Solución
Sea
−
2
α sen , entonces se busca un ángulo α comprendido en el intervalo
− ≤ ≤ ó lo que es lo mismo, entre
cuyo seno sea 2
, esto es: 2
sen α = lo
cual resulta que α debe estar entre 0 y
(ver figura) pues 2
es una razón positiva, luego
el único ángulo dentro del intervalo
cuyo seno es 2
es 3
Por el Teorema de Pitágoras
2 2 c = − = − = =
5) Obtener el valor de la expresión
tan
1 sen :
Solución
Si (^)
−
2
tan
1
θ , entonces
tan θ = , donde este ángulo “ θ ” debe estar dentro del intervalo
y como la razón 2
es positiva entonces “ θ ” debe estar entre 0 y
(ver figura),
por lo tanto
5
tan
1 = =
sen sen θ
Por el Teorema de Pitágoras
2 2 a = + =
EJERCICIOS
Obtenga las gráficas de las funciones:
1) y = cot( ) x y de su inversa y ( x )
1 cot
−
2) y = sec( ) x y de su inversa y ( x )
1 sec
−
3) y = csc( ) x y de su inversa y ( x )
1 csc
−
4) Encuentre el valor de la expresión tan ( 3 )
1 −
−
5) Obtenga el valor de
−
5
tan
1 sen
