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- Que el paciente muera o no depende de cu´al sea su estado, y de cu´anto tiempo se tarde en atenderlo. Llamando X al tiempo (en minutos) que se tarda en atender al paciente, las situaciones posibles se reflejan en el siguiente diagrama de ´arbol: (^)
Paciente muy grave 0.
〈 (^) No muere si X < 10
Muere si X ≥ 10
Paciente grave 0.
〈 (^) No muere si X < 30
Muere si X ≥ 30
Paciente leve 0.85: No muere en ning´un caso
Como vemos, en dos de las cinco situaciones posibles el paciente muere. Para completar este diagrama con las probabilidades que faltan, hemos de tener en cuenta que, seg´un el enunciado, X es una v.a. con funci´on de densidad f (x) = 601 si x ∈ [0, 60] o f (x) = 0 en caso contrario. Por tanto:
P (X ≥ 10) =
10
f (x)dx =
P (X ≥ 30) =
30
f (x)dx =
As´ı pues, la probabilidad de que el paciente muera, que es la suma de las prob- abilidades correspondientes a las dos situaciones del diagrama de ´arbol en que el paciente muere, resulta ser:
P (Paciente muere) = 0. 8333 × 0 .05 + 0. 5 × 0 .10 = 0. 0917
NOTA: Este problema puede resolverse tambi´en utilizando el teorema de la probabilidad total. Sea A el suceso “el paciente muere antes de ser atendido”, B 1 el suceso “el paciente est´a muy grave”, B 2 el suceso “el paciente est´a grave” y B 3 el suceso “el paciente tiene una enfermedad leve”. De acuerdo con el enunciado, B 1 , B 2 y B 3 forman una partici´on del espacio muestral. As´ı pues, por el teorema de la probabilidad total:
P (A) = P (A | B 1 )P (B 1 ) + P (A | B 2 )P (B 2 ) + P (A | B 3 )P (B 3 ).
Seg´un el enunciado, P (B 1 ) = 0. 05 , P (B 2 ) = 0. 10. P (B 3 ) = 0.85. Por otra parte:
P (A | B 1 ) = P (X ≥ 10) =
10 f^ (x)dx^ = 5/6 = 0.^8333
P (A | B 2 ) = P (X ≥ 30) =
30 f^ (x)dx^ = 1/2 = 0.^5
P (A | B 3 ) = 0
Por tanto:
P (A) = 0. 8333 × 0 .05 + 0. 5 × 0 .10 + 0 × 0 .85 = 0. 0917
- En todo este ejercicio, llamaremos F (x) a la funci´on distribuci´on de una v.a. con distribuci´on normal de media 150 y desviaci´on t´ıpica 40.
a) Llamando t 1 al tiempo que tarda este alumno, sabemos que P (X ≤ t 1 ) = 0.8, es decir F (t 1 ) = 0. 8. Por otra parte, como la varianza de X es 1600, su desviaci´on t´ıpica es
1600 = 40. Por tanto:
t 1 = F −^1 (0.8) = INV.NORM(0.8; 150; 40) = 183.66 minutos
b) Llamando t 2 al tiempo que tarda este alumno, sabemos que P (X > t 2 ) = 0 .9, luego P (X ≤ t 2 ) = 0. 1 , es decir, F (t 2 ) = 0. 1. Por tanto:
t 2 = F −^1 (0.1) = INV.NORM(0.1; 150; 40) = 98.74 minutos
c) Sea W la v.a. “n´umero de estudiantes que tardan m´as de dos horas entre los cuatro escogidos”; llamando “´exito” al suceso “el estudiante tarda m´as de dos horas”, entonces W es el n´umero de ´exitos en 4 experimentos de Bernoulli, que supondremos independientes. En este caso, la probabilidad de “´exito” es la probabilidad de que un estudiante tarde m´as de dos horas, que es:
P (X > 120) = 1 − P (X ≤ 120) = 1 − F (120) =
= 1 − DISTR.NORM.N(120; 150; 40; 1) = 1 − 0 .2266 = 0. 7734
Por tanto, W tiene distribuci´on binomial Bi(4; 0.7734). As´ı pues, la probabilidad pedida es:
P (W = 3) =
3! × 1!
× 0. 77343 × 0. 22661 = 0. 41931
d1) Por la propiedad de linealidad de la distribuci´on normal, si llamamos Y a la v.a. tiempo (en minutos) que tarda el profesor en corregir la hoja de ejercicios, sabemos que Y tiene distribuci´on normal. Adem´as:
E(Y ) = 1 +
E(X) = 1 +
= 31 minutos
Var(Y ) = (
)^2 × Var(X) =
= 64 minutos^2
Por tanto, DT(Y ) =
64 = 8 minutos, luego Y ∼N(31; 8^2 ). d2) Llamando FY (x) a la funci´on de distribuci´on de Y , se tiene que:
P (Y > 30) = 1 − P (Y ≤ 30) = 1 − FY (30) =
= 1 − DISTR.NORM.N(30; 31; 8; 1) = 1 − 0 .4503 = 0. 5497
