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INTRODUCCI”N A LA ESTADÕSTICA
Curso 2014/ Problemas del Tema 2
OBSERVACI”N: Los problemas marcados con un asterisco deben resolverse utilizando EXCEL.
1.- Calcula la media muestral, la mediana muestral, la moda muestral, el primer y el tercer cuartil muestrales, el rango muestral y el rango intercuartÌlico muestral para los siguientes conjuntos de datos:
a) El n˙mero de quejas recibidas en el departamento de atenciÛn al cliente de una compaÒÌa elÈctrica en las ˙ltimas diez semanas:
13 15 7 16 8 4 21 12 3 15
b) Las predicciones para el IPC (en puntos porcentuales) del prÛximo aÒo de un paÌs realizadas por nueve servicios de estudios diferentes:
3 : 2 3 : 1 4 : 3 3 : 7 3 : 5 3 : 7 3 : 4 3 3 : 6
2.- Para calcular la varianza muestral de un conjunto de 7 observaciones, un investigador ha elaborado la tabla siguiente:
Xi Xi X (Xi X)^2 18 13 19 14 25 15 8
a 3 2 9 c 8
b 9 4 81 d 64
a) Determina cu·les son los valores a; b; c; d que faltan en esta tabla, y deduce cu·l es la varianza muestral. b) Calcula el rango intercuartÌlico muestral e indica si, en este caso, coincide con la desviaciÛn tÌpica muestral.
3.- Los dos gr·Öcos de tallo y hojas siguientes se han obtenido a partir de dos muestras de datos de una variable numÈrica:
0a 0b 1a 1b
a) Compara la variabilidad de las dos muestras utilizando el rango intercuar- tÌlico muestral.
P b)^ Llamando^ X^1 ; :::; X^6 a las seis observaciones de la primera muestra, calcula 6 i=1 Xi^ (es decir, la suma^ X^1 +^ X^2 +^ X^3 +^ X^4 +^ X^5 +^ X^6 );^ calcula^
P 6
i=1 X
2 i (es decir, la suma X 12 + X 22 + X 33 + X 42 + X 52 + X 62 ), y deduce cu·l es la desviaciÛn tÌpica muestral de la primera muestra.
P^ c)^ Llamando^ Y^1 ; :::; Y^7 a las siete observaciones de la segunda muestra, calcula 7 i=1 Yi, calcula^
P 7
i=1 Y^
2 i , deduce cu·l es la desviaciÛn tÌpica muestral de la segunda muestra, y compara la variabilidad de las dos muestras utilizando la desviaciÛn tÌpica muestral.
*4.- El gestor de una planta de embotellado de agua mineral quiere asegurarse de que el proceso de embotellado de agua en botellas de 1 litro se realiza de modo satisfactorio. Para ello, ha examinado el volumen de agua (en litros) que realmente contienen 40 botellas envasadas en esta planta. En la hoja ìProblema 4îdel archivo EXCEL adjunto se encuentran los datos que ha obtenido el gestor, bajo la columna denominada ìPlanta 1î.
a) Calcula la media, la mediana, la moda, el primer cuartil, el tercer cuartil, el rango, el rango intercuartÌlico, la varianza, la desviaciÛn tÌpica y el coeÖciente de variaciÛn muestrales, indicando la unidad de medida de cada uno de ellos. b) En otra planta de embotellado se ha realizado un an·lisis similar, tomando una muestra de 35 botellas. En la hoja ìProblema 4î del archivo EXCEL adjunto se encuentran los datos correspondientes bajo la columna denominada ìPlanta 2î. b1) Analiza si la media, la mediana y la moda muestrales obtenidas con los datos de la Planta 2 son similares a la media, la mediana y la moda muestrales obtenidas con los datos de la Planta 1. b2) Compara la variabilidad de las dos muestras utilizando una medida de variabilidad que tenga la misma unidad de medida que las observaciones y que estÈ basada en los cuartiles muestrales. b3) Compara la variabilidad de las dos muestras utilizando una medida de variabilidad que tenga la misma unidad de medida que las observaciones y que estÈ basada en las desviaciones cuadr·ticas respecto a la media muestral. b4) Explica en quÈ situaciones podrÌa ocurrir que las medidas de variabili- dad utilizadas en los subapartados b2 y b3 llevaran a conclusiones diferentes.
5.- Una investigadora analiza el gasto de las familias espaÒolas en productos de alimentaciÛn en el aÒo 2000, y para ello dispone de una muestra formada por los gastos en alimentaciÛn de n familias en ese aÒo expresados en euros. Otro investigador va a realizar un estudio similar con las mismas observaciones, pero expresadas en pesetas, es decir, si llamamos X 1 ; :::; Xn a las observaciones de la investigadora y X 1 ; :::; X n a las observaciones del investigador, se tiene que X i = cXi para i = 1; :::; n; siendo c = 166: 386 :
a) Llamemos X; S X^2 , SX y CVX a la media, la varianza, la desviaciÛn tÌpica y el coeÖciente de variaciÛn muestrales obtenidos por la investigadora, y llamemos X; S^2 X , SX^ y CVX^ a la media, la varianza, la desviaciÛn tÌpica y el coeÖciente de variaciÛn muestrales obtenidos por el investigador. Si conocemos X; S^2 X , SX y CVX ; øpodemos anticipar cu·les ser·n los valores de X; S X^2 , SX^ y CVX^?
a) La Unidad de Calidad Docente del centro otorga a un profesor un ìcerti- Öcado de actividad docente satisfactoriaî si la media de las notas recibidas en los grupos que imparte es igual o superior a 6. øConseguir· la profesora MartÌnez este certiÖcado? b) El responsable de la Unidad de Calidad Docente est· considerando la posi- bilidad de modiÖcar el criterio utilizado para otorgar este certiÖcado, y darlo a un profesor cuando la media ponderada de las notas recibidas en los grupos que im- parte sea igual o superior a 6, obteniendo esta media ponderada con coeÖcientes de ponderaciÛn proporcionales al n˙mero de alumnos de cada grupo. b1) El n˙mero de alumnos en los grupos impartidos por la profesora MartÌnez ha sido el siguiente: 20 alumnos en el grupo A, 50 en el grupo B, 100 en el grupo C y 30 en el grupo D. Utilizando el nuevo criterio que est· considerando el responsable de la unidad, øconseguirÌa la profesora MartÌnez el certiÖcado de actividad docente satisfactoria? b2) El profesor LÛpez ha impartido clase en los mismos grupos que la pro- fesora MartÌnez. Los estudiantes del grupo A le han dado al profesor una nota de 7, los del grupo B una nota de 5.5 y los del grupo C una nota de 5. No se conoce to- davÌa la nota dada por los alumnos del grupo D. øCu·l es la mÌnima nota que deben dar los alumnos del grupo D al profesor LÛpez para que Èste consiga el certiÖcado de actividad docente satisfactoria, si este se otorga utilizando el nuevo criterio que est· considerando el responsable de la unidad?
8.- Un editor est· analizando el n˙mero de erratas que contienen los libros pu- blicados por su editorial, por lo que ha analizado las erratas contenidas en una muestra de 400 libros publicados por la editorial. En 119 de estos libros no se detectÛ ninguna errata, en 158 se detectÛ una errata y en los 123 restantes se detectaron dos erratas.
a) Calcula la media muestral del n˙mero de erratas. b) Calcula la desviaciÛn tÌpica muestral del n˙mero de erratas. c) Las medidas muestrales calculadas en los dos apartados anteriores, øson exactas o aproximadas? JustiÖca tu respuesta.
*9.- En la hoja ìProblema 9î del archivo EXCEL adjunto se indica el n˙mero de hijos de 70 familias de la PoblaciÛn A. a) Calcula la media, la mediana, la desviaciÛn tÌpica y el rango intercuartÌlico muestrales, e indica la unidad de medida de cada uno de ellos. b) En la PoblaciÛn B se ha seleccionado una muestra de 54 familias; de ellas, 21 no tenÌan ning˙n hijo, 17 tenÌan un hijo, 11 tenÌan dos hijos y 5 tenÌan tres hijos. Analiza si la muestra de la poblaciÛn B tiene m·s variabilidad que la muestra de la poblaciÛn A, utilizando una medida de variabilidad que indique variabilidad relativa a la media muestral.
10.- En el aÒo 1990 se obtuvo una muestra de 200 hombres que habÌan sido padres por primera vez ese aÒo, y se les preguntÛ su edad. La tabla siguiente
muestra los resultados obtenidos, agrupados en intervalos:
Edad Frecuencia (15; 25] (25; 35] (35; 45]
En el aÒo 2010 se obtuvo una muestra similar, obteniÈndose los resultados siguientes:
Edad Frecuencia (15; 25] (25; 35] (35; 45] (45; 55]
Con estos datos un analista aÖrma que ha aumentado la variabilidad de la edad a la que los hombres tienen su primer hijo, puesto que la desviaciÛn tÌpica de la muestra de 2010 es superior a la desviaciÛn tÌpica de la muestra de 1990. øEs correcta la aÖrmaciÛn de este analista? JustiÖca tu respuesta.
*11.- Se ha encuestado a 2000 hogares de una poblaciÛn. En la hoja ìProblema 11îdel archivo EXCEL adjunto se indica cu·ntos de estos hogares declararon tener una renta anual (en miles de euros) en cada uno de los intervalos siguientes: entre 20 y 30; entre 30 y 40; entre 40 y 50; y entre 50 y 70.
a) Calcula aproximadamente la media, la varianza, la desviaciÛn tÌpica y el coeÖciente de variaciÛn muestrales, e indica cu·l es la unidad de medida de cada uno de ellos. b) Otro investigador ha realizado este mismo an·lisis con los mismos datos, pero midiendo la renta anual en euros. Indica cu·les han sido los valores de la media muestral, la varianza muestral, la desviaciÛn tÌpica muestral y el coeÖciente de variaciÛn muestral que ha obtenido este investigador.
12.- Para calcular la covarianza muestral a partir de un conjunto de 5 observa- ciones, un investigador ha elaborado la tabla siguiente:
Xi Yi Xi X Yi Y 18 13 19 14 26
a 5 1 4 8
b 2 1 1 6
Determina cu·les son los valores a; b que faltan en esta tabla, calcula la covarianza muestral entre estas dos variables e indica quÈ informaciÛn aporta el valor obtenido.
13.- Una librerÌa ofrece en internet un cat·logo de libros a precio reducido. El propietario de la librerÌa quiere analizar si hay relaciÛn entre el precio de un libro y
