T3 - Intro Estadística, Apuntes de Administración de Empresas

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INTRODUCCI”N A LA ESTADÕSTICA

TEMA 3: CONCEPTOS B¡SICOS SOBRE PROBABILIDAD

Curso 2014-

1. Experimentos aleatorios, resultados y sucesos

øPor quÈ es importante estudiar ìProbabilidadî para hacer an·lisis

estadÌstico?

Los estudios estadÌsticos habitualmente se basan en una muestra extraÌda de una poblaciÛn, y el azar interviene en el proceso de selecciÛn de la muestra entre toda la poblaciÛn. Muchas veces querremos saber si los resultados obtenidos con una muestra concreta pueden atribuirse al azar, o son realmente indicio de una caracterÌstica de la poblaciÛn. Para poder dar un criterio objetivo que nos permita decir si estamos ante una situaciÛn u otra (acotando el margen de error que estamos dispuestos a cometer) es necesario conocer las leyes de la probabilidad. Los conceptos de probabilidad que estudiaremos en este curso tambiÈn se utilizan en MicroeconomÌa, MacroeconomÌa, EconomÌa Financiera y en muchas otras disciplinas.

1. Experimentos aleatorios, resultados y sucesos

EJEMPLO 1: Supongamos que el experimento aleatorio consiste en

lanzar un dado. En este caso:

El espacio muestral es: S = f 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 g. Los sucesos b·sicos son: f 1 g, f 2 g, f 3 g, f 4 g, f 5 g, f 6 g. Otros sucesos que podemos considerar son:

A = ìEl resultado es un n˙mero parî = f 2 , 4 , 6 g B = ìEl resultado es menor que 4î = f 1 , 2 , 3 g C = ìEl resultado es mayor o igual que 3î = f 3 , 4 , 5 , 6 g

1. Experimentos aleatorios, resultados y sucesos

EJEMPLO 2: Supongamos que el experimento aleatorio consiste en

analizar cu·ntos clientes llegan a un establecimiento comercial en un

dÌa. En este caso:

El espacio muestral lo forman todos los n˙meros enteros no negativos, es decir: S = f 0 , 1 , 2 , ...g Hay una cantidad inÖnita (pero numerable) de sucesos b·sicos: f 0 g, f 1 g, f 2 g, ... Otros sucesos que podemos considerar son:

A = ìLlegan menos de 2 clientesî = f 0 , 1 g B = ìLlegan 100 clientes o m·sî = f 100 , 101 , 102 , ...g

1. Experimentos aleatorios, resultados y sucesos

Operaciones con sucesos:

Complementario del suceso A: suceso formado por todos los elementos de S que no est·n en A; se representa como A. UniÛn de los sucesos A y B: suceso formado por todos los elementos de S que est·n en A o est·n en B; se representa como A [ B. IntersecciÛn de los sucesos A y B: suceso formado por todos los elementos de S que est·n en A y est·n en B; se representa como A \ B.

Gr·Öcamente, las operaciones con sucesos pueden representarse con

diagramas, llamados habitualmente ìdiagramas de Vennî.

1. Experimentos aleatorios, resultados y sucesos

Otras deÖniciones importantes sobre sucesos, que tambiÈn pueden

representarse con diagramas de Venn:

Suceso vacÌo: es el que no est· formado por ning˙n elemento; se representa como ?. Se dice que el suceso A est· contenido en el suceso B cuando todos los elementos de A est·n tambiÈn en B; se representa como A  B. Se dice que n sucesos A 1 , ..., An son colectivamente exhaustivos cuando la uniÛn de todos ellos es el espacio muestral. Se dice que dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes cuando la intersecciÛn de los dos es el vacÌo. Se dice que tres sucesos A, B y C son mutuamente excluyentes cuando la intersecciÛn de cada dos de ellos es el vacÌo, es decir, cuando A \ B = ?, A \ C =? y B \ C = ?. En general, se dice que n sucesos A 1 , ..., An son mutuamente excluyentes cuando la intersecciÛn de cada dos de ellos es el vacÌo, es decir, cuando Ai \ Aj = ?, para i, j = 1 , 2 , ..., n, con i 6 = j.

2. La probabilidad y sus postulados

Este apartado del tema lo dividiremos en dos partes:

(^1) DeÖniciÛn de funciÛn de probabilidad, indicando cu·les son las propiedades b·sicas (ìpostuladosî) que se exigen para que a una funciÛn se le pueda llamar ìde probabilidadî. (^2) AsignaciÛn de probabilidades cuando el espacio muestral S es Önito, y todos los resultados posibles tienen la misma probabilidad (ìregla de Laplaceî), y estudio de las ìtÈcnicas de recuentoî para aplicar la regla de Laplace.

2.1. DeÖniciÛn de funciÛn de probabilidad

Se llama funciÛn de probabilidad sobre un espacio muestral S a

cualquier funciÛn que asigne a cada suceso A un n˙mero real, que

representaremos como P(A) y llamaremos ìprobabilidad de Aî, que

cumpla los tres postulados siguientes:

(^1) P(A) est· siempre comprendido entre 0 y 1. (^2) P(S ) = 1. (^3) Si A 1 , ..., An son sucesos mutuamente excluyentes, entonces

P(A 1 [ A 2 [


[ An ) = P(A 1 ) +


+ P(An ) Y esta propiedad se cumple tambiÈn si se tiene una familia inÖnita numerable de sucesos mutuamente excluyentes.

InterpretaciÛn de los tres postulados:

(^1) Las probabilidades se miden de 0 a 1 (a veces se expresan en %). (^2) La probabilidad del espacio muestral S es 1, es decir el 100%, lo que es lÛgico pues S contiene todos los resultados posibles. (^3) Cuando se consideren sucesos que no tengan elementos comunes dos a dos, entonces la probabilidad de la uniÛn de todos ellos es la suma de las probabilidades de cada uno de ellos.

2.1. DeÖniciÛn de funciÛn de probabilidad

EJEMPLO 4: Consideremos el fenÛmeno aleatorio ìresultado

obtenido al lanzar una moneda perfectaî.

En este caso el espacio muestral es:

S = fcara, cruzg

Los sucesos son los subconjuntos de S, es decir, ?, fcarag, fcruzg y S. La funciÛn de probabilidad debe asignar un valor comprendido entre 0 y 1 a cada uno de estos sucesos. En este caso, la funciÛn de probabilidad adecuada para modelizar este fenÛmeno es:

P(?) = 0 P(fcarag) = 0. 5 P(fcruzg) = 0. 5 P(S ) = 1

Es f·cil comprobar que esta asignaciÛn satisface los postulados que se exigen a una asignaciÛn de probabilidades.

2.1. DeÖniciÛn de funciÛn de probabilidad

EJEMPLO 4 (Cont.): Supongamos ahora que tenemos una moneda

imperfecta, en la que el 75% de las veces se obtiene cruz. Ahora

consideramos el fenÛmeno aleatorio ìresultado obtenido al lanzar esta

moneda imperfectaî.

El espacio muestral sigue siendo el mismo que antes: S = fcara, cruzg Por tanto, tambiÈn los sucesos son los mismos que antes. Sin embargo, la funciÛn de probabilidad adecuada para modelizar este fenÛmeno es: P(?) = 0 P(fcarag) = 0. 25 P(fcruzg) = 0. 75 P(S ) = 1 Esta asignaciÛn tambiÈn satisface los postulados que se exigen a una asignaciÛn de probabilidades.

2.1. DeÖniciÛn de funciÛn de probabilidad

EJEMPLO 5 (Cont.):

Para poder obtener las probabilidades de los cuatro sucesos b·sicos, es necesario disponer de informaciÛn adicional. Supongamos que sabemos que los cuatro sucesos b·sicos que forman S tienen la misma probabilidad, y llamemos p a esta probabilidad. øPodemos deducir cu·l ha de ser necesariamene el valor de p, utilizando los postulados de la probabilidad? La respuesta es que sÌ, ya que tendr· que cumplirse que:

P(S ) = P(fss, sn, ns, nng) = P({ss}) + P({sn}) + P({ns}) + P({nn}) = p + p + p + p = 4 p

Como la probabilidad de S ha de ser 1, esta igualdad implica que 1 = 4 p, luego p = 0. 25. Como hemos indicado antes, a partir de este resultado podemos deducir la probabilidad de cualquier suceso utilizando el tercer postulado de la probabilidad.

2.1. DeÖniciÛn de funciÛn de probabilidad

EJEMPLO 5 (Cont.):

Si llamamos A al suceso ìel Ìndice subir· el primer dÌaî, entonces: P(A) = P({ss, sn}) = P({ss}) + P({sn}) = 0. 25 + 0. 25 = 0. 5 Y llamando B al suceso ìel Ìndice subir· el segundo dÌaî, entonces: P(B) = P({ss, ns}) = P({ss}) + P({ns}) = 0. 25 + 0. 25 = 0. 5 Con estas deÖniciones, A [ B resulta ser el suceso ìel Ìndice subir· el primer dÌa o subir· el segundo dÌaî, y su probabilidad es: P(A [ B) = P({ss, sn, ns}) = P({ss}) + P({sn}) + P({ns}) = 0. 25 + 0. 25 + 0. 25 = 0. 75 Por tanto, en este caso se tiene que: P(A [ B) 6 = P(A) + P(B) ObsÈrvese que esto no contradice los postulados de la probabilidad ya que A y B no son sucesos mutuamente excluyentes, puesto que la intersecciÛn entre A y B no es el vacÌo, sino que A \ B = fssg.

2.2. Regla de Laplace y tÈcnicas de recuento

AsÌ pues, en este caso la probabilidad de cada uno de los posibles

resultados es 1 n , como cabÌa esperar. En general, si un suceso A tiene

j elementos, que podemos llamar ω i 1 , ω i 2 , ..., ω ij , entonces como

A = f ω i 1 g [ f ω i 2 g [


[ f ω ij g

utilizando nuevamente el tercer postulado se tiene que

P(A) = P( ω i 1 ) + P( ω i 2 ) +


+ P( ω ij )

n

n

n

j

n

n˙mero de elementos de A

n˙mero de elementos de S

n˙mero de resultados posibles contenidos en A

n˙mero total de resultados posibles

2.2. Regla de Laplace y tÈcnicas de recuento

Al numerador tambiÈn se le llama a veces como ìcasos favorables

para Aî, y al denominador ìcasos posiblesî, por lo que la expresiÛn

anterior queda:

P(A) =

casos favorables para A

casos posibles

Esta asignaciÛn de probabilidades recibe el nombre de regla de

Laplace, y es la que debe utilizarse siempre que tengamos un n˙mero

Önito de resultados posibles, y todos ellos con la misma probabilidad.

Para ponerla en pr·ctica se requiere poder contar los elementos que

hay en determinados conjuntos (los conjuntos A y S de cada

situaciÛn); por esta razÛn, estudiaremos ahora las llamadas ìtÈcnicas

de recuentoî, que nos permiten contar los casos favorables y posibles

en muchas situaciones.