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Dpto. de Estad´ıstica e I.O. Biometr´ıa. Grado en Farmacia
MODELOS DE DEPENDENCIA DE UNA VARIABLE
1. Funciones reales en una variable
Comenzamos definiendo lo que es una aplicaci´on entre dos conjuntos, para posteriormente definir las funciones reales de una variable.
Definici´on: Llamamos aplicaci´on a una correspondencia entre 2 conjuntos A y B tal que a todo elemento de A se le asocia un ´unico elemento de B llamado imagen de aquel. Se representa:
f :A → B x → y = f (x)
Al conjunto A se le denomina conjunto inicial o Dominio y al conjunto B se le llama conjunto final o Codominio.
Definici´on: Dados 3 conjuntos A, B, C y 2 aplicaciones f : A → B, g : B → C se define la aplicaci´on compuesta de f con g (g ◦ f ) como una aplicaci´on de A en C que opera de la siguiente forma:
(g ◦ f )(x) = g[f (x)]
Definiciones: Llamamos funci´on a toda aplicaci´on tal que su Dominio y Codominio son conjuntos num´ericos. Adem´as si los conjuntos A y B son subcon- juntos de R (recta real), la aplicaci´on se denomina funci´on real de una variable real.
Normalmente, el alumno habr´a estudiado el caso A ⊂ R (generalmente un inter- valo). En este primer tema estudiaremos las funciones reales cuyo dominio es un conjunto A ⊂ Rn, y en particular nos centraremos en el caso tal que A ⊂ R^2 ; a este ´ultimo tipo de funciones se les denomina funciones reales de dos variables.
2. L´ımite y Continuidad
Definici´on: Sea f : A → R (A intervalo de R), se dice que l ∈ R es el l´ımite de la funci´on f en el punto x 0 (y se representa como l´ım x→x 0 f (x) = l), si:
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 tal que si 0 < |x − x 0 | < δ ⇒ |f (x) − l| < ε
En palabras, podemos decir que el l´ımite de una funci´on en un punto x 0 es el n´umero real l del que la funci´on queda pr´oximo a medida que la variable x se aproxima a x 0 , pero nunca llega a coincidir con ´el.
Operaciones con l´ımites:
l´ım x→x 0 [f (x) ± g(x)] = l´ım x→x 0 f (x) ± l´ım x→x 0 g(x)
l´ım x→x 0 [f (x) · g(x)] = l´ım x→x 0 f (x) · l´ım x→x 0 g(x)
Si l´ım x→x 0 g(x) 6 = 0 ⇒ l´ım x→x 0 [ f g^ ((xx)) ] = xl´→ımx 0 f (x) xl´→ımx 0 g(x) Si K ∈ R ⇒ l´ım x→x 0
K = K
Definici´on: Decimos que l+^ ∈ R es el l´ımite por la derecha de una funci´on en el punto x 0 (y se representa como l´ım x→x+ 0
f (x) = l+), si:
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 tal que si x − x 0 < δ (x > x 0 ) ⇒ |f (x) − l| < ε
Definici´on: Decimos que l−^ ∈ R es el l´ımite por la izquierda de una funci´on en el punto x 0 (y se representa como l´ım x→x− 0
f (x) = l−), si:
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 tal que si x − x 0 < δ (x < x 0 ) ⇒ |f (x) − l| < ε
Si l+^ = l−^ = l ⇒ ∃ l´ım x→x 0 f (x) = l
Si l+^6 = l−^ ⇒ @ l´ım x→x 0 f (x)
Definici´on: Se dice que una funci´on f es continua en un punto x 0 si:
l´ım x→x 0 f (x) = f (x 0 )
Para que la funci´on sea continua en el punto x 0 han de darse 3 requisitos:
∃ l´ım x→x 0 f (x)
f est´e bien definida en x 0
l´ım x→x 0 f (x) = f (x 0 )
Si falla alguna de los 3 anteriores requisitos diremos que f es discontinua en el punto x 0. Llamamos funci´on continua a una funci´on que es continua en todos los puntos de su dominio.
Si f y g son derivables en x 0 y adem´as g(x 0 ) 6 = 0 ⇒ (f /g) es derivable en x 0 y se cumple que:
(f /g)′(x 0 ) =
f ′(x 0 )g(x 0 ) − g′(x 0 )f (x 0 ) (g(x 0 ))^2
Si f es derivable en x 0 , y g es derivable en f (x 0 ) ⇒ (g ◦ f ) es derivable en x 0 y se cumple que:
(g ◦ f )′(x 0 ) = g′(f (x 0 ))f ′(x 0 )
Definici´on: Llamamos derivada por la derecha de la funci´on f en el punto x 0 (y la representamos como f ′(x+ 0 )) al siguiente l´ımite:
f ′(x+ 0 ) = l´ım h→ 0 +
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
= l´ım x→x+ 0
f (x) − f (x 0 ) x − x 0
Definici´on: Llamamos derivada por la izquierda de la funci´on f en el punto x 0 (y la representamos como f ′(x− 0 )) al siguiente l´ımite:
f ′(x− 0 ) = l´ım h→ 0 −
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
= l´ım x→x− 0
f (x) − f (x 0 ) x − x 0
Si f ′(x+ 0 ) = f ′(x− 0 ) ⇒ f es derivable en x 0 y se dice que x 0 es un punto regular
Si f ′(x+ 0 ) 6 = f ′(x− 0 ) ⇒ f no es derivable en x 0 y se dice que x 0 es un punto singular
Relaci´on entre continuidad y derivabilidad.
f derivable en x 0 ⇒ f continua en x 0 :
Consecuencia: Antes de estudiar la derivabilidad de una funci´on en un pun- to es recomendable estudiar la continuidad en dicho punto, ya que si no hay continuidad, no hay derivabilidad.
4. Diferencial
Mediante el concepto de diferencial de una funci´on se pretende dar sentido formal a la idea de variaci´on infinitesimal de una funci´on (es decir, medir el incremento suficientemente peque˜no de una funci´on). Este concepto est´a muy ligado al de derivada.
Partimos de f : A → R derivable en x 0 ∈ A. La derivada de la funci´on en un punto hemos visto en la secci´on anterior que ven´ıa dada por la expresi´on:
f ′(x 0 ) = l´ım h→ 0
f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
lo cual nos permite escribir la expresi´on anterior como:
f ′(x 0 ) = f (x 0 + h) − f (x 0 ) h
siendo ε(h) una funci´on residual”tal que l´ım h→ 0 ε(h) = 0. Operando se tiene:
4 f (x 0 ) = f (x 0 + h) − f (x 0 ) = f ′(x 0 )h − ε(h)h
donde a:
4 f (x 0 ) se le denomina incremento de la funci´on en x 0
f ′(x 0 )h es el diferencial de f en x 0 y se representa como df (x 0 )
ε(h)h es un infinit´esimo.
Esta es la definici´on de diferencial de una funci´on en un punto, veamos ahora el diferencial de una funci´on.
4.1. Igualdad de Leibnitz
Cuando la funci´on f es derivable, se define el diferencial de f como:
df (x) = f ′(x)h (3)
Esta expresi´on normalmente se presenta en los textos como: df (x) = f ′(x)dx por la siguiente raz´on: Si f (x) = x ⇒ f ′(x) = 1 y aplicando la expresi´on (3) se tiene dx = h. Si adem´as llamamos a f (x) = y y aplicamos df (x) = f ′(x)dx tendremos:
dy = f ′(x)dx ⇒ f ′(x) = dydx
Esta expresi´on es conocida como Igualdad de Leibnitz y su importancia radica en que permite expresar la derivada de una funci´on como cociente de dos funciones diferenciales y no necesariamente como un l´ımite.
5.3. Periodicidad
Si para alg´un valor T la funci´on verifica f (x + T ) = f (x) sea cual sea el valor de x, se dir´a que la funci´on es peri´odica de per´ıodo T. Ejemplos:
f (x) T senx 2 π cosx 2 π tgx π sen(kx) 2 π/k cos(kx) 2 π/k tg(kx) π/k
5.4. Crecimiento y Decrecimiento
Definici´on: f : A → R se dice que es mon´otona creciente en el punto x 0 (x 0 ∈ A) si existe un entorno del punto x 0 , E(x 0 ), tal que dado x ∈ E(x 0 ) se cumple que:
x < x 0 ⇒ f (x) ≤ f (x 0 ) x > x 0 ⇒ f (x) ≥ f (x 0 )
Definici´on: f : A → R se dice que es estrictamente creciente en el punto x 0 (x 0 ∈ A) si existe un entorno del punto x 0 , E(x 0 ), tal que dado x ∈ E(x 0 ) se cumple que:
x < x 0 ⇒ f (x) < f (x 0 ) x > x 0 ⇒ f (x) > f (x 0 )
Definici´on: f : A → R se dice que es mon´otona decreciente en el punto x 0 (x 0 ∈ A) si existe un entorno del punto x 0 , E(x 0 ), tal que dado x ∈ E(x 0 ) se cumple que:
x < x 0 ⇒ f (x) ≥ f (x 0 ) x > x 0 ⇒ f (x) ≤ f (x 0 )
Definici´on: f : A → R se dice que es estrictamente decreciente en el punto x 0 (x 0 ∈ A) si existe un entorno del punto x 0 , E(x 0 ), tal que dado x ∈ E(x 0 ) se cumple que:
x < x 0 ⇒ f (x) > f (x 0 ) x > x 0 ⇒ f (x) < f (x 0 )
Problema: Dada las definiciones de crecimiento y decrecimiento de un funci´on en un punto, para estudiar estas caracter´ısticas hay que considerar un entorno de x 0 (puede ser un intervalo centrado en x 0 ) y comparar los valores de la fun- ci´on dentro de este intervalo, lo cual, es poco operativo. Por esta raz´on y para estudiar el crecimiento o decrecimiento de la funci´on, se exige que la funci´on sea derivable y se utiliza el siguiente resultado.
Teorema
Sea f : A → R derivable en x 0 ∈ A. Entonces:
(i) f es estrictamente creciente en x 0 ⇔ f ′(x 0 ) > 0
(ii) f es estrictamente decreciente en x 0 ⇔ f ′(x 0 ) < 0
5.5. M´aximos y M´ınimos
Definici´on: f : A → R continua en x 0 , (x 0 ∈ A), se dice que presenta un m´aximo relativo en x 0 si existe alg´un E(x 0 ) tal que ∀ x ∈ E(x 0 ) se verifica que: f (x) ≤ f (x 0 )
Definici´on: f : A → R continua en x 0 , (x 0 ∈ A), se dice que presenta un m´ınimo relativo en x 0 si existe alg´un E(x 0 ) tal que ∀ x ∈ E(x 0 ) se verifica que: f (x) ≥ f (x 0 )
De entre todos los m´aximos (m´ınimos), aquel para el cual la funci´on presente el mayor (menor) valor, se denomina m´aximo (m´ınimo) absoluto de la funci´on.
Teorema
Sea f : A → R, (2)−derivable en x 0 (x 0 ∈ A). Entonces:
(i) f presenta un punto extremo en x 0 ⇔ f ′(x 0 ) = 0 y f ′′(x 0 ) 6 = 0
(ii) Si f ′′(x 0 ) < 0 ⇒ f presenta un m´aximo relativo en x 0 Si f ′′(x 0 ) > 0 ⇒ f presenta un m´ınimo relativo en x 0
5.6. Concavidad y Convexidad. Puntos de Inflexi´on
Sea f : A → R, derivable en x 0 (x 0 ∈ A).
Se dice que f es c´oncava respecto al eje de abscisas en x 0 , si existe E(x 0 ) tal que la gr´afica de la funci´on queda por debajo de la recta tangente a ella en x 0. En caso contrario se dir´a que f es convexa respecto al eje de abscisas en x 0.
Llamamos punto de inflexi´on a aquel punto en el cual la funci´on cambia la convexidad por concavidad, o viceversa. En este punto la recta tangente corta
5.7.3. As´ıntotas Oblicuas (A.O.)
Si
l´ım x→±∞
f (x) x =^ m l´ım x→±∞ [f (x) − mx] = n
⇒ la recta y = mx + n es A.O. de f (x). Si hay A.H. no hay A.O. ya que en tal caso m = 0. Posici´on de la funci´on respecto de la A.O.: hay que estudiar el signo del siguiente l´ımite: l´ım x→±∞ [f (x) − (mx + n)]
y proceder de id´entica forma que en el caso de las A.H.
5.8. Desarrollo en Serie de Taylor
Los polinomios son las funciones m´as sencillas anal´ıticamente, debido a que son continuas y f´acilmente derivables. Por ello, se estudiaron m´etodos que per- mit´ıan aproximar una funci´on mediante un polinomio, al menos en las proxim- idades de un punto; es decir sustituir los valores de una funci´on por los de un polinomio en el entorno de un punto. Una primera soluci´on consist´ıa en usar el diferencial, en donde se sustitu´ıa la funci´on por la recta tangente en un entorno del punto.
Teorema de Taylor
Sea f : [a, b] → R funci´on (n)−derivable en [a, b] y tal que existe la deriva- da de orden n + 1 en (a, b). Entonces existe al menos un punto x 0 ∈ (a, b) tal que:
f (b) = f (a) + f ′(a)
b − a 1!
(b − a)^2 2!
(b − a)^3 3!
(b − a)n n!
(b − a)n+ (n + 1)!
Si en (4) consideramos b = x tenemos:
f (x) = f (a) + f ′(a)
x − a 1!
(x − a)^2 2!
(x − a)^3 3!
(a < x 0 < x)
La ecuaci´on (5) se conoce como Desarrollo en Serie de Taylor de f y muestra que la funci´on f se descompone como un polinomio de grado n (denominado Pn(x)),
y una funci´on residual llamada resto (llamada Rn(x)): f (x) = Pn(x) + Rn(x)
Pn(x) = f (a) + f ′(a)
x − a 1!
(x − a)^2 2!
+... + f (n)(a)
(x − a)n n!
Rn(x) = f (n+1)(x 0 )
(x − a)n+ (n + 1)!
(a < x 0 < x)
Notas:
La expresi´on (5) s´olo es v´alida en un entorno del punto a; de hecho, se puede comprobar que si x = a ⇒ Rn(a) = 0
Cu´anto mayor sea el grado de Pn(x), la aproximaci´on a f (x) ser´a m´as precisa, ya que l´ım n→∞ Rn(x) = 0
Si f es un polinomio de grado n se cumple que Rn(x) = 0 ∀ x
Resumen: El desarrollo de Taylor permite aproximar una funci´on f por un poli- nomio de grado prefijado n, en el entorno de un punto a, siendo el error de aproximaci´on el resto Rn(x)
Si se considera como caso particular que la aproximaci´on polin´omica se efect´ua en un entorno del origen, es decir, a = 0, la expresi´on dada en (5) queda como:
f (x) = f (0) + f ′(0)
x 1!
x^2 2!
x^3 3!
xn n!
xn+ (n + 1)!
(0 < x 0 < x)
La igualdad (6) recibe el nombre de Desarrollo de McLaurin de f
