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Matemáticas para la Economía y la
Empresa
Facultad de Comercio y Gestión
Universidad de Málaga
Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas)
1
LLección 2ección 2 :: Teoría deTeoría de
Funciones DerivablesFunciones Derivables
1. Introducción1. Introducción
1.1. Funciones escalares y vectoriales1.1. Funciones escalares y vectoriales
DEFINICIÓN Una función real de variable real es de la forma , donde a cada valor se le asigna otro valor de :
Ejemplos
f : D ⊂ R → R
x ∈ D
x → f ( x )∈ R
2 2
2 1 1
Ln x
f R R f x
f R R f x x
R
f : D ⊂ R → R
Una función es una relación que transforma números en números. Por ejemplo f(x)=2x, significa que a cada número le asocio el doble. Así a 1 se le asocia el 2 , al 3,6 , etc.
1. Introducción1. Introducción
1.1. Funciones escalares y vectoriales1.1. Funciones escalares y vectoriales
DEFINICIÓN Una función escalar de varias variables de la forma , donde a cada vector de n variables se le asigna valor de :
Ejemplos:
1 2 1 2 1
2 2 2 1 2 1 2
2 3 1 3 1
D x x R x
x
x x
f D R R f x x
f R R f xyz x yz
f : D ⊂ Rn^ → R x = ( x 1 ,..., xn )∈ D
x = ( x 1 ,..., xn )→ f ( x 1 ,..., xn )∈ R
R
f : D ⊂ Rn^ → R Una función de variasvariables es una relación
que transforma vectores en números. Por ejemplo f(x,y)=x + y, significa que a cada vector le asocio el resultado de sumar sus componentes. Así al ( 1,
- se le asocia el 2 , etc.
Dominio de la función : Donde tiene sentido definirla.
1. Funciones escalares y vectoriales1. Funciones escalares y vectoriales
DEFINICIÓN Una función vectorial es de la forma , donde a cada vector de n variables se le asigna otro vector de , con m componentes:
Para cada , donde las funciones son funciones escalares ( funciones componentes de ).
Ejemplo:
Y el dominio está definido por:
f xyz x y
f xyz x z
f D R R f xyz x z x y f f D R R
son: (, , )
: , ( , ,) ( , ),donde , :
2
2 1
3 1 2 3 2 2
f : D ⊂ Rn^ → R^ m
m
x = ( x 1 ,..., xn )→ f ( x 1 ,..., xn )=( w 1 ,..., wm )∈ R
n x = ( x 1 ,..., xn )∈ R
Rm
i = 1 ,..., m , w 1 (^) = f 1 ( x 1 ,..., xn ),K, wm = fm ( x 1 ,..., xn )
f i : D ⊂ Rn → R f
f : D ⊂ Rn^ → R^ m
D = {( x , y , z )∈ R^3 / x − y ≥ 0 }.
1. Funciones escalares y vectoriales1. Funciones escalares y vectoriales
Operaciones de funciones vectoriales:
Sean dos funciones escalares y. Para cualquier :
calculadelasiguienteforma: ( )() ( ( )).
verificaque ( ) .Enesecaso,paracualquier ,lacomposiciónse
podremoscalcular compuestacon ,ylodenotaremospor ,sise
Composicióndefunciones:dadas : : ,
Productodeunescalarporunafunción:( )( ) ( ).
Sumadefunciones:( )( ) ( ) ( ).
x x
x
x x
x x x
g f g f
f D H D
f g g f
f D R R y g H R R
f f
f g f g
n m m k
o
o
f , g : D ⊂ Rn^ → R^ m α ∈ R x ∈ D
1. Funciones escalares y vectoriales1. Funciones escalares y vectoriales
Ejemplo:
Para cualquier :
De esta forma:
: , ( , , )^1
3
1 2 3 1 2 3 3
1 2 1 2 1 2 2 3
y
g H R R gy y y y y y
f D R R f x x Lnx Lnx x x ¿Se puede calcular
?
3 3 1 2 3
1 2 2 1 2 H y y y R y
D x x R x x
g o f
f D H
D R f f D R g R ⊂
( , ) ( ) Sepuedecomponer con.
1 2
1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 f x x H f D H f g
f x x Lnx Lnx x x y x x y ⇒ ∈ ⇒ ⊂ ⇒
( x (^) 1 , x 2 )∈ D
( ) ( )^1
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
x x
Lnx Lnx x x
g o f x x g f x x gLnx Lnx x x
2.2. DerivabilidadDerivabilidad..
2.1. Derivadas Parciales.2.1. Derivadas Parciales.
Dada una función real de variable real , la derivada de f en un punto , que se denota por , representa la tendencia de variación de la función si variamos dicho valor :
INTERPRETACIÓN: El valor numérico obtenido representa la variación infinitesimal de la función en.
Caso varias Variables: Derivadas Parciales
Dada una función escalar (o una función vectorial ), el valor que toma la función en un vector las derivadas parciales medirán la variación de f si variamos el valor de cada una de sus variables por separado, sin modificar las otras variables.
f : D ⊂ R → R
x *∈ D
número h
f x f x h f^ x h^ =
= +^ −
→ ' (*) lim ( * ) (^ *) 0
f ' ( x )
f : D ⊂ Rn^ → R
x * = ( x 1 *,..., xn *)∈ D
x *∈ D
f : D ⊂ Rn^ → R^ m
2.2. DerivabilidadDerivabilidad..
2.1.2.1. DerivadasDerivadas ParcialesParciales..
DEFINICIÓN: Dada una función escalar , se define la derivada parcial i-ésima o la derivada parcial de f con respecto a la variable en un de la siguiente forma:
En la práctica: Se deriva respecto a esa variable considerando a las otras como si fueran constantes.
f : D ⊂ Rn^ → R
xi x = ( x 1 ,..., xn )∈ D
h
f x x x hx x f x x x x x
f (^) i i i n n i n h
( 1 ,..., ) lim 0 1 1 1 1
→
K K
Ejemplos (anteriores):
( )^1
3 ) (, ) cos( ) ( ) (, )
1 ) ( , ) 5 ( , )^15
2 2
2 1
2
1 2 1 2
3 1 2 1
g y
seny
x
y
g
x
g gxy y Lnxy gxy
f xy
y zx
x zy
z
f
y
f
x
f
f xyz x y zxy f xyz
x f
x
f
x
f
f x x x x f x x
2.2. DerivabilidadDerivabilidad..
2.1. Derivadas parciales.2.1. Derivadas parciales. GradienteGradiente..
Consideremos una función vectorial y sus m funciones componentes Cada una de las fi es una función escalar a la que se les puede calcular su vector gradiente:
DEFINICIÓN: Dada una función vectorial se define la matriz jacobiana de f en un como la matriz de orden nxm formada por los vectores gradientes de cada una de las funciones componentes de f en el x^0 :
f : D ⊂ Rn^ → R^ m
x^0 ∈ D
( )
0
0 2
0 1
2 0
0 2
2
0 1
2
1 0
0 2
1
0 1
1
0 0 2 0 1 0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x
n
m
m
m
n n
m
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
Jf f f f M
L
M M
L
f : D ⊂ Rn^ → R^ m
f i : D ⊂ Rn → R , f =( f 1 , f 2 ,..., fm ).
f 1 → ∇ f 1 , f 2 →∇ f 2 , ..., fn →∇ f n
2.2. DerivabilidadDerivabilidad..
2.1. Derivadas parciales.2.1. Derivadas parciales. JacobianaJacobiana..
Ejemplo: Calcular para la siguiente función vectorial:
z
f xyz y Lnz f x yz y z
x f xyz x z f xyz 1
1 (^ , , )^221 ( , , ) 2 4 2 3
2 2 4
3 2 f xyz x z y Ln z
f R R = + +
Jf ( x , y , z )
32
3 1 2 2 1
z x
z
y
x Jf xyz f f
2.2. DerivabilidadDerivabilidad..
2.1. Derivadas parciales.2.1. Derivadas parciales. JacobianaJacobiana..
2.2. DerivabilidadDerivabilidad..
2.2. Derivadas de orden2.2. Derivadas de orden superior.superior. HessianaHessiana..
Cada derivada parcial de una función escalar es otra función escalar, a la que se le pueden volver a calcular sus derivadas parciales. Estas derivadas parciales se denominan derivadas de segundo orden de la función f , y las denotamos por.
TEOREMA DE SCHWARZ: Sea una función escalar, con D abierto y tal que existe y es una función continua. Entonces, existe y se verifica que:
f : D ⊂ Rn^ → R
Derivadasdesegundoordende : ( )
esunafunciónescalar ( )sonsusderivadasparciales 2 j i j i
i j i
x
f x
f x x
f f
x
f x
f x
f f
xj x i
f ∂ ∂
∂^2
f : D ⊂ Rn^ → R
xj x i
f ∂ ∂
∂^2
xi x j
f ∂ ∂
∂^2
j i xix j
f x x
f ∂ ∂
